Método de Determinantes

Profr. Efraín Soto Apolinar.
Método de Determinantes
Este método es de los más inmediatos1 , además de que nos ayuda desde el principio a reconocer
si un S.E.L. tiene solución única o no.
Para empezar definimos el concepto de determinante:
Determinante
Sean a, b, c, d números reales. El arreglo de números:
a b
c d
Definición
1
se utiliza para denotar al determinante y su valor es igual a: a d − b c.
Entonces, por definición:
b = ad−bc
d a
c
Una forma de memorizar el concepto de determinante y cómo calcularlo consiste en observar que
multiplicamos las diagonales del arreglo de números, primero la que va de izquierda a derecha
(que es la manera como leemos) y de arriba hacia abajo (que nos arroja el primer producto: a d),
y después multiplicamos los otros dos números que no habíamos considerado: bc y restamos este
producto del anterior.
En un S.E.L. podemos tener, por ejemplo:
ax + by=m
cx +dy= n
el cual se puede escribir en forma matricial2 :
a
c
b
d
m
n
Para obtener la forma matricial de un S.E.L. basta escribir el mismo S.E.L. sin las variables. Es
decir, escribimos solamente los coeficientes.
De aquí se definen 3 determinantes:
3 El determinante principal:
a
∆ p = c
b = ad−bc
d m
∆ x = n
b = md−bn
d 3 El determinante auxiliar en x:
1 Descubierto por Gabriel Cramer (1 704 – 1 752), matemático suizo. Hay evidencia de que esta regla fue usada anteriormente por el Matemático Inglés Colin Maclaurin (1 689 – 1 746). [?]
2 En matemáticas, una matriz se define como un arreglo rectangular de números. El álgebra lineal es la rama de las
matemáticas que estudia estos objetos matemáticos, así como los vectores.
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3 El determinante auxiliar en y:
a
∆y = c
m = an−mc
n Para hacer más fácil las cosas, observa que en el determinante auxiliar de x hemos sustituido
los coeficientes de la variable x por el lado derecho de las ecuaciones del S.E.L., y de manera
semejante, para el determinante auxiliar de y se han sustituido los coeficientes de la variable y por
los números m, n, y el determinante se ha calculado como se definió anteriormente.
A partir de los determinantes podemos encontrar la solución del S.E.L.:
ax + by=m
cx +dy= n
En este caso:
x
=
y
=
∆x
= ∆p
∆y
= ∆p
m b n d md−bn
=
ad−bc
a b c d
a m c n an−mc
=
ad−bc
a b c d Para dar evidencia de que esto es verdad, vamos a volver a resolver el siguiente S.E.L.:
Resuelve:
Ejemplo 1
x + y = 10
x−y= 2
• Primero encontramos el determinante principal:
1
1 ∆p = = (1)(−1) − (1)(1) = (−1) − (1) = −2
1 −1 • Ahora calculamos el determinante auxiliar en x:
10
1 ∆ x = = (10)(−1) − (1)(2) = (−10) − (2) = −12
2 −1 • Y finalmente calculamos el determinante auxiliar en y:
1 10 = (1)(2) − (10)(1) = (2) − (10) = −8
∆y = 1
2 • Ahora podemos calcular la solución del S.E.L.:
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x
=
y
=
∆x
−12
=6
=
∆p
−2
∆x
−8
=
=4
∆p
−2
• Y ya sabemos que la solución es correcta3 .
Resuelve:
2x + y=6
x − 2y = 8
Ejemplo 2
• Calculamos primero el determinante principal:
2
1 = (2)(−2) − (1)(1) = (−4) − (1) = −5
∆p = 1 −2 • Ahora calculamos el determinante auxiliar en x:
6
1 = (6)(−2) − (1)(8) = (−12) − (8) = −20
∆x = 8 −2 • Y finalmente calculamos el determinante auxiliar en y:
2 6 = (2)(8) − (6)(1) = (16) − (6) = 10
∆y = 1 8 • Ahora podemos calcular la solución del S.E.L.:
x
=
y
=
∆x
−20
=4
=
∆p
−5
∆x
−10
=
= −2
∆p
−5
• Ahora vamos a verificar que la solución sea correcta:
2x+y = 6
x−2y = 8
⇒
⇒
2 (4) + (−2) = 6
4 − 2 (−2) = 8
La ventaja de usar este método consiste en que si el determinante principal es igual a cero, entonces podemos concluir inmediatamente que el S.E.L. no tiene solución única. Es posible que no
tenga solución, como es posible que tenga un número infinito de soluciones.
Resuelve:
2x − 3y = 7
4x − 6y = 0
Ejemplo 3
3 Este
S.E.L. ya se resolvió por varios métodos. Puedes ver la solución en las páginas ?? (método gráfico), ?? (eliminación)
ó ?? (sustitución).
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• Para resolver este S.E.L.4 vamos a calcular primero el determinante principal:
2 −3 = (2)(−6) − (−3)(4) = (−12) − (−12) = 0
∆ p = 4 −6 • Dado que ∆ p = 0, no podremos encontrar los valores de las variables x e y, porque tendremos división por cero.
• De aquí se concluye que el S.E.L. no tiene solución única.
• Para saber si el S.E.L. tiene un número infinito de soluciones o no tiene solución, calculamos
los otros dos determinantes auxiliares:
• Empezamos calculando el valor del determinante auxiliar de x:
7 −3 = (7)(−6) − (−3)(0) = (−42) − (0) = −42
∆x = 0 −6 • Y ahora calcumamos el determinante auxiliar en y:
2 7 = (2)(0) − (7)(4) = (0) − (28) = −28
∆y = 4 0 • En este caso tanto ∆ x como ∆y son distintos de cero, indicando que el S.E.L. no tiene solución.
• ¿Por qué? Observa que si multiplicamos la primera ecuación del S.E.L. por 2 obtenemos:
2x−3y = 7
⇒
4 x − 6 y = 14
• Y al compararla con la segunda ecuación del S.E.L. podemos concluir que se trata de un
S.E.L. formado por dos rectas paralelas distintas.
• En caso de que los determinantes auxiliares hubieran resultado ser iguales a cero, tendríamos que las dos ecuaciones que forman el S.E.L. serían la misma recta, y el S.E.L. tendría
en ese caso un número infinito de soluciones.
• Entonces, este S.E.L. no tiene solución.
Ejemplo 4
En la oficina municipal utilizan dos fotocopiadoras para preparar invitaciones para el día de
las madres. La máquina Y produce 600 fotocopias más por hora que la máquina X. Cuando
trabajan juntas producen 19 800 fotocopias en 3 horas. ¿Cuál es la velocidad de fotocopiado de
cada máquina?
• Sabemos que la máquina Y produce 600 fotocopias más por hora que la máquina X.
• Es decir, si x es la velocidad de fotocopiado de la máquina X y y es la velocidad de fotocopiado de la máquina Y, tenemos que:
y = x + 600
⇒
− x + y = 600
• Por otra parte, sabemos que en 3 horas las dos máquinas trabajando juntas producen 19 800
fotocopias:
3 x + 3 y = 19 800
4 Este
S.E.L. fue tomado de la fuente: [?] indicada en la bibliografía.
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• Entonces, el S.E.L. que modela nuestro problema es:
− x + y = 600
3 x + 3 y = 19 800
• Primero lo escribimos en forma matricial:
−1 1
3 3
600
19 800
• Ahora es más fácil encontrar los determinantes:
−1 1 = (−1)(3) − (1)(3) = (−3) − (3) = −6
∆ p = 3 3 • Dado que ∆ p 6= 0 sabemos que el S.E.L. tiene solución única.
• Ahora encontramos el determinante auxiliar en x:
600 1 = (600)(3) − (1)(19800) = (1800) − (19800) = −18000
∆x = 19800 3 • Y el determinante auxiliar en y:
−1
600 = (−1)(19800) − (600)(3) = (−19800) − (1800) = −21600
∆y = 3 19800 • Y la solución de este S.E.L. es:
x
=
y
=
∆x
−18 000
=
= 3 000
∆p
−6
−21 600
∆x
=
= 3 600
∆p
−6
• Ahora comprobamos que la solución esté correcta:
• Es evidente que la solución satisface la primera ecuación:
y = x + 600
⇒
3 600 = 3 000 + 600
• Ahora verificamos que satisfaga la segunda ecuación:
3 x + 3 y = 19 800
⇒
3 (3 000) + 3 (3 600) = 19 800
• Con lo que probamos que la velocidad de la fotocopiadora X es de 3 000 fotocopias por hora
y la fotocopiadora Y tiene una velocidad de 3 600 fotocopias por hora.
En la biblioteca de una primaria encontraron que hay 3 libros de química más que de física y la
suma de esos libros es 27. ¿Cuántos libros de cada una de esas materias hay?
• Vamos a denotar al número de física con la letra f y los de química por q.
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Ejemplo 5
Profr. Efraín Soto Apolinar.
• Sabemos que si a los libros de física le sumamos 3, obtenemos el número de libros de
química:
q = f +3
⇒
−f + q = 3
• Por otra parte, sabemos que sumamdos los libros de física y los de química en total son 27:
f + q = 27
• Nuestro S.E.L. es:
−f + q = 3
f + q = 27
• Es evidente que este S.E.L. se puede resolver rápidamente por el método de eliminación,
pero vamos a probar la solución por el método de determinantes.
• Ahora escribimos el S.E.L. en su forma matricial:
−1 1 3
1 1 27
• Para resolver este S.E.L., empezamos calculamos los determinantes:
−1 1 = (−1)(1) − (1)(1) = (−1) − (1) = −2
∆p = 1 1 3 1 = (3)(1) − (1)(27) = (3) − (27) = −24
∆f = 27 1 −1
3 = (−1)(27) − (3)(1) = (−27) − (3) = −30
∆q = 1 27 • Entonces, la solución de este problema es:
f
=
q
=
∆f
−24
=
= 12
∆p
−2
∆q
−30
=
= 15
∆p
−2
• Ahora vamos a verificar que esta solución satisface las condiciones del problema:
3 La primera condición: «...hay 3 libros de química más que de física», se cumple: 15 = 12 + 3
3 La segunda condición: «...la suma de esos libros es 27», también se cumple: 12 + 15 = 27
Cuando encuentres un S.E.L., primero observa qué método de solución te ayuda a resolverlo con
el mínimo esfuerzo.
Una buena idea consiste en calcular primero el determinante principal del S.E.L., porque esta
información te dirá si tiene solución única (en caso de que ∆ p 6= 0).
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Profr. Efraín Soto Apolinar.
Créditos
Albert
Einstein
Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.
Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más
que el autor.
Autor: Efraín Soto Apolinar.
Edición: Efraín Soto Apolinar.
Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.
Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.
Productor general: Efraín Soto Apolinar.
Año de edición: 2010
Año de publicación: Pendiente.
Última revisión: 22 de agosto de 2010.
Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.
Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean
divulgados entre otros profesores y sus alumnos.
Este material es de distribución gratuita.
Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:
efrain@aprendematematicas.org.mx
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