Función exponencial - Aprende Matemáticas

Profr. Efraín Soto Apolinar.
Función exponencial
La función exponencial viene de la generalización de la función polinomial.
Si consideramos la función: y = x2 , por ejemplo, cabe preguntarnos, «¿cómo se comportaría la
función si cambiamos de lugar la base y el exponente?» Es decir, si escribimos: y = 2x , obtenemos otra
función que es completamente diferente a la función y = x2 .
Vamos a estudiar este tipo de funciones.
Concepto de función exponencial
La función exponencial se define a partir de la motivación anterior.
La única diferencia consiste en que la base no debe necesariamente ser 2. Puede ser cualquier
constante positiva diferente de cero o uno.
Función exponencial
Una función f es exponencial si se puede expresar en la forma:
Definición
1
f (x) = k · ax
donde a ∈ R es la base de la función exponencial, y es mayor a cero y distinta a uno.
Observa que si a = 0, entonces a x = 0, independientemente del valor que le asignemos a x.
De manera semejante, si a = 1, se sigue que a x = 1 para todo x.
Las siguientes funciones son exponenciales.
Ejemplo 1
• y = 3x
• y = 3 · 10− x
• y = 5 · 2x/3
• y = πx
2x
• y= √
5
x
2
• y = a·
, donde a es un número real.
7
Profesor:
Explique por qué
la base debe ser
un número positivo.
Observa que el valor de la base puede ser cualquier número real positivo. No necesariamente
debe ser un número entero.
Grafica la función exponencial:
y = 2x
Ejemplo 2
Calcula su dominio y su rango.
• Podemos tabular algunos valores para x y calcular los valores que le corresponden a y:
x
y
−3
−2
−1
0
1
2
3
0.125
0.250
0.500
1.000
2.000
4.000
8.000
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• La gráfica es inmediata a partir de la información anterior:
y
8
y = 2x
7
6
5
4
3
2
1
−3 −2 −1
0
1
2
3
4
x
• Como siempre es posible calcular el valor de y para cualquier valor de x, tenemos que el
dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales.
• Observa que la gráfica corta al eje y en el punto (0, 1).
• También es interesante ver que independientemente del valor de x los valores de y siempre
son positivos.
• Además, y nunca se hace cero. ¿Por qué?
• Entonces, el rango de esta función es el conjunto de todos los números reales positivos.
También es importante notar que los valores de y son siempre crecientes. Es decir, conforme x
crece, los valores de y crecen más.
En el ejemplo anterior el exponente era positivo, por eso los valores de y crecen.
Cuando el exponente cambia de signo, los valores de y decrecen.
Grafica la función:
y = 2− x
Ejemplo 3
Calcula su dominio y contradominio.
• De nuevo, hacemos una tabulación de diferentes valores de x y y:
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y
y = 2− x
8
7
x
y
−3
−2
−1
0
1
2
3
8.000
4.000
2.000
1.000
0.500
0.250
0.125
6
5
4
3
2
1
−3 −2 −1
0
1
2
3
4
x
• Observa que al cambiar el signo, el orden de los valores de y se invierten con respecto a la
gráfica de la función anterior.
• Geométricamente esto representa una reflexión respecto del eje y.
• En realidad, eso es ocasionado por el cambio de signo del exponente.
• Observa que de nuevo, la gráfica de la función corta al eje y en el punto (0, 1).
• Gracias a las leyes de los exponentes, podemos escribir:
x
1
1x
1
y = 2− x = x = x =
2
2
2
¿Qué pasará si dilatamos la gráfica de la función al multiplicarla por 3?, ¿cuál será la ordenada al
origen de esta gráfica?
En el siguiente ejemplo vamos a responder estas preguntas.
Grafica la función:
y = 3 · 2− x
Ejemplo 4
• Esta función se obtuvo multiplicando por 3 la anterior.
• Geométricamente esto equivale a una dilatación vertical.
• La gráfica cambia en que se «estiró» tres veces en la dirección vertical.
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y
8
7
x
y
6
−3 24.000
−2 12.000
−1 6.000
0
3.000
1
1.500
2
0.750
3
0.375
5
4
3
2
y = 3 · 2− x
1
−2 −1
0
1
2
3
4
5
x
• De nuevo, el dominio de esta función es el conjunto de los números reales.
• El contradominio es el conjunto de todos los números reales positivos.
• Gracias a las leyes de los exponentes, podemos escribir:
x
x
1
1
1
y = 3 · 2− x = 3 ·
=
3
·
=
3
·
x
x
2
2
2
Como puedes ver, la gráfica de la función exponencial se comporta de acuerdo al signo del exponente, pero también está afectada por el valor de la base.
Grafica en un solo sistema de ejes coordenados las siguientes funciones exponenciales:
Ejemplo 5
3 y = 2x
3 y = 2− x
3 y = 3x
3 y = 3− x
3 y = 4x
3 y = 4− x
• Podemos tabular para obtener tablas para apoyarnos en la graficación de las funciones.
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2− x
3− x
4− x
3x
y
4x
2x
8
7
6
5
4
3
2
y = 1x
1
−4
−3
−2
−1
x
0
1
2
3
4
5
• Observa que todas las gráficas de estas funciones cortan al eje y en el mismo punto.
• Se incluyó en la gráfica de la función y = 1 que corresponde al caso que no tiene variación,
es decir, ni crece ni decrece.
¿Cómo puedes asegurar que y nunca se hace cero?
Recuerda que la definición de potencia viene de la multiplicación repetida de la base.
Observa que para que si a 6= 0, entonces no importa cuántas veces multipliques el número a por
sí mismo, siempre vamos a obtener un valor distinto de cero.
También debes recordar que a0 = 1 para cualquier base a 6= 0.
Profesor:
Para que el producto de dos números sea cero, se requiere que al menos uno de ellos sea cero. De
otra forma, el producto será diferente de cero.
Sugiera repasar
las leyes de los
exponentes
en
caso necesario.
Entonces, independientemente del valor de x, el resultado de calcular a x 6= 0 para cualquier a 6= 0.
Y para cualquier x 6= 0 se cumple que 0x = 0.
De manera semejante, para cualquier x se cumple que 1x = 1. Porque no importa cuántas veces
multipliquemos el número 1 por sí mismo, siempre obtenemos 1.
Por eso se excluyen estas bases de la definición de función, pues carecen de interés. Sus gráficas
son demasiado sencillas: son rectas horizontales.
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Créditos
Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.
Albert
Einstein
Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más
que el autor.
Autor: Efraín Soto Apolinar.
Edición: Efraín Soto Apolinar.
Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.
Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.
Productor general: Efraín Soto Apolinar.
Año de edición: 2010
Año de publicación: Pendiente.
Última revisión: 07 de agosto de 2010.
Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.
Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean
divulgados entre otros profesores y sus alumnos.
Este material es de distribución gratuita.
Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:
efrain@aprendematematicas.org.mx
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