SUCESIONES DE NÚMEROS REALES

SUCESIONES DE NÚMEROS REALES
Definición
Se define una sucesión de números reales como un conjunto de infinitos términos ordenados que se
obtienen mediante una aplicación entre el conjunto de los números naturales excepto el cero, en el conjunto
de los números Reales.
N* = N − {0}
Al término a n se denomina término general, y es una expresión en función de n que permite conocer
cualquier término de la sucesión conocida su posición(n).
Los términos de una sucesión se pueden encontrar en progresión aritmética, geométrica, o en
cualquier otro tipo de ley recurrente. Para el cálculo del término general de una sucesión habrá que tener en
cuenta el tipo de ley que relaciona los términos.
Ejemplo 1.
a.
b.
a = 5
5, 7, 9, 11, 13, ... Progresión aritmética:  1
⇒ a n = 5 + (n − 1) ⋅ 2 = 2n + 3
d =2
a = 2
2, 6, 18, 54, ... Progresión geométrica:  1
⇒ a n = 2 ⋅ 3 n −1
r
3
=

c.
 4, 8, 12, 16, ... : P. A. 4n
4n
4 8 12 16
⇒ an =
, , , , ... : 
5,
11,
17,
23,
...
:
P.A.
6n
−
1
6
n
−1
5 11 17 23

d.
a = 3
a1 = 3, a n−1 = a n + 5. Progresión aritmética:  1
⇒ a n = 3 + (n − 1) ⋅ 5 = 5n − 2
d=5
Operaciones con sucesiones
i.
Igualdad de sucesiones.
Se dice que dos sucesiones a n y b n son iguales, si son iguales término a término.
a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3, .... , ai = bi ∀ i ∈ N*
ii.
Suma ó resta de sucesiones
Se llama suma ó resta de las sucesiones de números reales (a n) y (b n) y se designa por
(a n) ± (b n) la sucesión dada por (a n ± b n)
Es decir:
a n = a1, a2, a3, ... a n, ...
b n = b1, b2, b3, ... b n, ...
(a n ± b n) = a1 ± b1, a2 ± b2, a3 ± b3, … a n ± b n, …
Propiedades de la suma:
- Asociativa
- Conmutativa
- Existencia de elemento neutro
- Existencia de elemento opuesto
1
iii.
Producto de un número real por una sucesión
Sea k un número real cualquiera y (an) una sucesión de números reales. Se llama producto del
número real k por la sucesión (an) y se denota por k·(an) a la sucesión (k · an).
a n = a1, a2, a3, ... a n, ...
k · a n = k · a1, k · a2, k · a3, ... k · a n, ...
El producto de una sucesión por un número real es una operación externa del conjunto de las
sucesiones.
Propiedades del producto por escalares. Sean k y h número reales y an y bn sucesiones de
número reales:
- (k + h) · (an) =k · (an) + h · (an)
- k · [(an) + (bn)] = k · (an) + k · (bn)
- (k · h) · (an) = k · (h · an)
- 1 · (an) = (an)
iv.
Producto de sucesiones
Se llama producto de sucesiones (an) y (bn) y se designa por (an) · (bn) la sucesión definida por
(an · bn)
a n = a1, a2, a3, ... a n, ...
b n = b1, b2, b3, ... b n, ...
(a n · b n) = a1 · b1, a2 · b2, a3 · b3, … a n · b n, …
Propiedades del producto de sucesiones:
- Asociaiva
- Conmutativa
- Elemento neutro
v.
Cociente de sucesiones. Sucesiones inversibles
Para que una sucesión tenga inversa se ha de cumplir que ninguno de sus términos sea nulo.
(an) tiene inversa si an ≠ 0 para todo n ∈ N*
Para poder dividir dos sucesiones, la sucesión del denominador debe ser inversible.
 1 
(a n )

= (a n ) ⋅ 
(b n )
 bn 
Sucesiones monótonas
•
•
•
•
Se dice que una sucesión es monótona cuando cumple una de las siguientes condiciones:
a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ … ≤ an ≤ an+1 ≤ … Monótona creciente
a1 < a2 < a3 < … < an < an+1 < … Monótona estrictamente creciente
a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ … ≥ an ≥ an+1 ≥ … Monótona decreciente
a1 > a2 > a3 > … > an > an+1 > … Monótona estrictamente decreciente
Para estudiar la monotonía de una sucesión se estudia la diferencia entre los términos an y an+1:
- Si an+1 − an > 0, La sucesión an es creciente
- Si an+1 − an < 0, La sucesión an es decreciente
Sucesiones acotadas
Sucesiones acotadas superiormente
Se dice que la sucesión de números reales (an) está acotada superiormente, si existe un número real k
tal que an ≤ k para todo n ∈ N*
2
Sucesiones acotadas inferiormente
Se dice que la sucesión de números reales (an) está acotada superiormente, si existe un número real k
tal que an ≥ k para todo n ∈ N*
Sucesiones acotadas
Se dice que una sucesión de números reales está acotada si está acotada superior e inferiormente.
Si una sucesión está acotada, su término general debe cumplir:
an ≤ k
Siendo en este caso +k una cota superior y −k una cota inferior.
En el conjunto de las sucesiones acotadas se cumplen las siguientes propiedades:
1.
2.
La suma de sucesiones acotadas, es otra sucesión acotada
El producto de dos sucesiones acotadas es otra sucesión acotada.
Sucesiones convergentes
Se dice que una sucesión (an) converge a un cierto valor L si casi todos los elementos de la sucesión
se encuentran en un entorno abierto de L, entendiendo por casi todos, que un número infinitos de terminos lo
cumplen y solo un número finito lo dejan de cumplir.
Para demostrar que una sucesión converge a L habrá que demostrar que existe un valor no a partir del
cual todos los términos por encima de el están en el entorno de L.
an −L < ε
ε ≡ Radio del entorno. Numero real positivo todo lo pequeño que queramos.
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