las ecuaciones de las ondas electromagneticas

ECUACIONES DE LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
CARLOS S. CHINEA
LAS ECUACIONES DE LAS ONDAS
ELECTROMAGNETICAS
Las ecuaciones de Maxwell implican que tanto el campo eléctrico como el
campo magnético se propagan en forma de ondas; ondas cuya amplitud
decrece al avanzar en medios de conductividad no nula. Veamos una forma
simple de obtener tales ecuaciones.
1.
2.
3.
4.
5.
El medio de propagación.
Ecuación de continuidad.
Las ecuaciones de onda.
La forma sinusoidal de las soluciones.
Referencias.
DIVULGACIÓN DE LA FÍSICA EN LA RED
MARCHENA, MAYO 2003
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1. El medio de propagación:
Para obtener la estructura matemática de las ondas electromagnéticas, es decir, las
ondas de propagación del campo eléctrico y del campo magnético, podemos partir
de las cuatro ecuaciones de Maxwell, que en el vacío y en el sistema CGS Gauss,
pueden expresarse por
r v
∇.E = 4πρ ,
r
v
v r 4π r 1 ∂E
∇∧H = J+
,
c
c ∂t
r r
1 ∂H
∇∧E =−
,
c ∂t
( J es la densidad de corriente,
velocidad de la luz)
r r
∇.H = 0
ρ es la densidad de carga eléctrica, c es la
r
r
Pueden definirse los vectores “Desplazamiento”, D , e “Inducción Magnética”, B ,
por la relación particular con el vector Campo Eléctrico y Campo Magnético,
respectivamente, de modo que las ecuaciones de Maxwell pueden expresarse por
r r
∇.D = ρ ,
r
r r
∂B
∇∧E = −
,
∂t
r
v r r ∂D
∇∧H = J+
,
∂t
Siendo el conjunto de las relaciones del desplazamiento
r
r r
∇.H = 0
r
D con el vector campo
eléctrico, y de la inducción magnética B con el vector campo magnético lo que
realmente define el tipo de medio en el que se efectúa la propagación del campo
electromagnético.
1.1. Medio lineal:
En un medio lineal las relaciones entre las componentes del vector desplazamiento
y del vector campo son relaciones lineales, esto es, puede escribir matricialmente
que
 D1   ε11
  
 D2  =  ε21
 D  ε
 3   31
la matriz cuadrada de paso
ε12
ε22
ε32
ε13   E1 
 
ε23 . E 2 
ε33   E 3 
ε = (εik )3 se llama “matriz dieléctrica del medio”.
Con una relación análoga respecto al vector “campo magnético” en los medios que
son lineales:
 B1   µ11 µ12
  
 B2  =  µ21 µ22
 B  µ
 3   31 µ32
la matriz cuadrada de paso
µ13   H1 
 
µ23 . H 2 
µ33   H 3 
µ = (µik )3 se llama “matriz inducción del medio”.
2.2. Medios homogéneos:
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Un medio se dice que es homogéneo si tiene las mismas propiedades
electromagnéticas en todos sus puntos, esto es, si las matrices dieléctrica y de
inducción son constantes.
Medio homogéneo
ε = const
⇔ 
µ = const
2.3. Medios isótropos:
Un medio se dice que es isótropo si todas las direcciones son equivalentes en la
propagación del campo. En un medio lineal e isótropo existe una proporcionalidad
directa entre las componentes del vector desplazamiento y el vector campo
eléctrico, o bien, entre las componentes del vector inducción magnética y el campo
magnético:
 ε 0 0


Medio isótropo y lineal ⇔ ε =  0 ε 0 ,
 0 0 ε


µ 0 0


µ= 0 µ 0
 0 0 µ


2.4. Los medios “dulces” o HLI:
Los medios que presentan estas tres características, es decir, homogeneidad,
linealidad e isotropía (HLI), se denominan “medios dulces”.
El ejemplo más simple de medio dulce o HLI es el vacío:
Constante dieléctrica e inducción magnética del vacío:
 ε0

ε0 =  0
0

Relaciones vectoriales:
0
ε0
0
0 

0 
ε 0 
r
r
D = ε0 E ,
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 µ0

µ0 =  0
 0

0
µ0
0
0

0
µ0 
r
r
B = µ0 H
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3. La ecuación de continuidad:
r
Se obtiene una relación muy sencilla entre la densidad de corriente J y la densidad
de carga eléctrica ρ sin más que aplicar el operador nabla a la última de las
ecuaciones de Maxwell, recordando que la divergencia del rotacional es cero:
r
r
v r r ∂D
r v r
r  r ∂D 
rr ∂ rr
r r ∂ρ
∇ ∧ H = J + ⇒ ∇. ∇ ∧ H = ∇  J +  ⇒ 0 = ∇J + ∇D ⇒ 0 = ∇ J +
∂t
∂t 
∂t
∂t

(
o sea:
)
r r ∂ρ
∇J +
=0
∂t
Esta es la ecuación de continuidad, que podemos integrar fácilmente con la
condición de proporcionalidad entre el vector densidad de corriente y el vector
campo eléctrico mediante la constante de conductividad del medio
r
r
J = σ.E
( σ :conductividad del medio de propagación)
Se tiene, en definitiva:
σ
− t
r r ∂ρ
r r ∂ρ
r r ∂ρ
ρ ∂ρ
ε0
∇J +
= 0 ⇒ ∇ σE +
= 0 ⇒ σ∇E +
=0⇒σ +
= 0 ⇒ ρ = ρ0 . ∈
∂t
∂t
∂t
ε0 ∂t
( )
Esta carga se hace prácticamente cero en cuanto pasen 4 constantes de tiempo,
por lo que pueden existir campos eléctricos y magnéticos sin que exista carga
eléctrica.
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4. Las ecuaciones de onda:
Si suponemos que se trata de un campo electromagnético propagándose en un
medio dulce, se pueden obtener fácilmente las ecuaciones diferenciales de
propagación tanto del campo eléctrico
r
r
E , como del campo magnético H :
a) Ecuación vectorial diferencial de onda para el campo eléctrico:
r
r r
∂B
Partimos de la segunda ecuación de Maxwell ∇ ∧ E = −
a la que hallamos el
∂t
rotacional:
r
r
r r
r ∂B
r r r r r
∂ r r
∇ ∧ ∇ ∧ E = −∇ ∧
⇒ ∇. ∇.E − ∇ 2 E = − ∇ ∧ B
∂t
∂t
(
)
O bien:
( )
( )
r r r r r
∂ r v
∇. ∇.E − ∇ 2 E = − µ ∇ ∧ H
∂t
si sustituimos ahora usando la cuarta de las ecuaciones de Maxwell, y tenemos en
cuenta que el gradiente de la divergencia es nulo, se tendrá:
r
r
r
r
r
r2 r
r2 r
∂  r ∂D 
∂J
∂2 D
∂E
∂2 E
 = − µ − µ 2 ⇒ −∇ E = − µσ
− ∇ E = − µ  J +
− µε 2
∂t 
∂t 
∂t
∂t
∂t
∂t
por tanto, queda
r
r
r2 r
∂E
∂ 2E
∇ E − µσ
− µε 2 = 0
∂t
∂t
b) Ecuación vectorial diferencial de onda para el campo ma gnético:
r
v r r ∂D
Partimos ahora de la tercera de las ecuaciones de Maxwell, ∇ ∧ H = J +
, a la
∂
t
r
r
que también aplicamos el rotacional: con la condición de J = σ.E :
(
)
( )
r
r r
r
r
∂ r r
∇ ∧ ∇ ∧ H = ∇ ∧ σE + ε ∇ ∧ E
∂t
o sea:
(
)
r r r r r
r r
∂ r r
∇ ∇.H − ∇ 2 H = σ∇ ∧ E + ε ∇ ∧ E
∂t
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Sustituyendo la segunda de las ecuaciones de Maxwell y anulando al gradiente de
la divergencia:
r
r
r2 r
∂H
∂ 2H
− ∇ H = −σµ
− εµ 2
∂t
∂t
Por tanto:
r
r
r2 r
∂H
∂2 H
∇ H − σµ
− εµ 2 = 0
∂t
∂t
Las ecuaciones diferenciales vectoriales que describen la propagación del campo
electromagnético en un medio dulce (lineal, homogéneo e isótropo), cuyos vectores
r
r
campo son E y H , con conductividad σ y constantes dieléctrica y de inducción
dadas por ε y µ , vienen dadas por las expresiones
r
r
r2 r
 σ ∂E ∂ 2 E 
∇ E − µε 
+ 2  =0
 ε ∂t ∂t 
r
r
r2 r
σ ∂H ∂ 2 H 
∇ H − µε 
+ 2 =0
∂t 
 ε ∂t
El estudio de las soluciones de estas ecuaciones diferenciales nos permitirá
determinar de qué forma se propaga el campo.
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5. La forma sinusoidal de las soluciones:
La solución de las ecuaciones de
condiciones de contorno impuestas.
onda
depende
fundamentalmente
de
las
Sin embargo, por el Teorema de la serie de Fourier o de la integral de Fourier,
sabemos que toda solución periódica o no periódica, respectivamente, puede
obtenerse como suma de senos y cosenos, y, por otra parte, al tratarse de
soluciones de ecuaciones lineales sabemos, por el teorema de superposición, que si
dos funciones son soluciones de la ecuación también los será su suma.
Así, entonces, la solución de la ecuación de onda del campo eléctrico será:
r
E = (E x , E y , E z ) =
= (E x ( x , y , z ). cos(ωt + ϕx ), E x (x , y , z ). cos(ωt + ϕy ), E z (x , y , z ). cos(ωt + ϕz )) =
(
[
]
[
]
[
]
iϕ
[
])
= E x ( x , y , z ). Re ∈iϕ x ∈i ωt , E y ( x, y , z ).Re ∈ y ∈iω t , E z ( x , y , z ).Re ∈i ϕ z ∈i ωt =
( [
]
[
])
[
r
= Re εx ∈i ωt , Re εy ∈i ωt , Re εz ∈iω t = Re ε. ∈i ωt
donde es:
]
r
ε = (εx , εy , εz )
y también:
iϕ
εx = E x (x , y , z ). ∈i ϕ x , εy = E y ( x , y , z ). ∈ y , εz = E x ( x , y , z ). ∈i ϕ z
y, separando las partes reales y las imaginarias:
εx = εxr + iεxi , εy = εy r + i εyi , εz = εzr + iεzi
r
ε = (εxr + εy r + εzr ) + i.(εxi + εyi + εzi ) = E r + iEi
En resumen:
[
]
[
]
r
r
r
r
r
E = Re εr ∈i ωt = Re (E r + iE i )(cos ωt − isenωt ) = E r cos ωt − E i senωt
y, en definitiva, es
r
r
r
E = E r cos ωt − E i senωt
Por analogía, se tiene para el campo magnético una expresión análoga:
r
r
r
H = H r cos ωt − Hi senωt
Las soluciones vectoriales de las ecuaciones diferenciales vectoriales de onda, han
de ser, pues:
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r
r
r
E = E r cos ωt − E i senωt
r
r
r
H = H r cos ωt − Hi senωt
que nos indican el carácter coplanario de los vectores
de los vectores
r r r
H, H r , Hi , por otra
Los vectores campo eléctrico,
r r r
E , E r , E i por una parte, y
r
E , y sus componentes real, Er , e imaginaria, Ei ,
están siempre en un mismo plano (γ, η).
Lo mismo ocurre con el vector campo magnético,
imaginaria
r
H , y sus componentes real e
H r y H i . También se encuentran estos vectores en un mismo plano.
Podemos, en definitiva, afirmar, a la vista de las ecuaciones de onda, que el campo
eléctrico se propaga en un plano y el campo magnético se propaga en otro plano.
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6. Referencias:
Básicos:
ADLER, Richard - CHU, Lan Jen, y FANO, Robert M.
Electromagnetic Energy Transmission and Radiation.
Edit John Wiley and Sons, Inc. 1968, New York.
PANOFSKY, Wolfgang y PHILIPS, Melba
Classical Electricity and Magnetism.
Edit Adisson-Wesley, 2ª Edición, 1962, Cambridge. Massachusetts
LANGMUIR, Robert V.
Electromagnetic Fields and Waves.
Edit Mc Graw Hill, 1961. New york
Ampliar:
FELSEN, L.B. y MARCUVITZ, N.
Radiation and scattering of Waves.
Edit IEE. 1994. Cambridge. N. Jersey
COLLIN, R.E.
Field Theory of Guided Waves
Edit IEE, 1991, Cambridge. New Jersey
BALANIS, C.A.
Advanced Engineering Mathematics
Edit John Wiley, 1989. New York
VAN BLADEL, J.
Singular Electromagnetic Fields and Sources
Edit Oxford University Press, 1991. Oxford, U.K.
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