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Integrales
Las integrales que se manejan en el curso son relativamente sencillas
Z
f (t)dt = F (t) + C si y solo si
a
En general,
d(F (t) + C)
dF (t)
=
= f (t)
dt
dt
De una manera intuitiva se puede decir que los sı́mbolos
R
(1)
d se anulan mutuamente:
. . . dt y dt
si
Z
f (t)dt = F (t) + C
d de ambos lados de la igualdad conduce a
entonces la aplicación de dt
dF (t)
d(F (t) + C)
=
%
- = f (t) =
%
-f (t)dt
dt
dt
d
dt
Z
lo cual es el sólo si de la expresión (1). De manera equivalente, la aplicación de
R
. . . dt en
ambos lados de la igualdad
d(F (t) + C)
= f (t)
dt
trae consigo
%
d (F (t) + C)
dt = F (t) + C =
%
%
dt
%
Z
Z
f (t)dt
(2)
que es el si de la expresión (1). La expresión (2) implica que
dF (t)
d(F (t) + C)
dt =
dt =
dt
dt
en donde se ha utilizado la definición de diferencial:
Z
Z
dF =
Z
dF = F (t) + c
dF (t)
dt
(3)
R
R
d entonces el sı́mbolo de integral
ası́ que de la misma manera en que . . . dt, se anula con dt
se anula con la d de diferencial, aunque no debemos perder de vista la constante de integración
Z
dF = F + c
(4)
Algunos ejemplos de integrales son
Z
Z
(1)dt =
dt = t + C porque
d(t + C)
=1
dt
n+1
Z
d nt + 1 + C
n+1
t
si n 6= −1, entonces
tn dt =
+ C porque
n+1
dt
=
%
(n + 1) n+1−1
t
= tn
%
(n + 1)
(5)
En la ecuación (5) es necesario pedir que n 6= 1 porque de otra manera (n + 1)/(n + 1) no
estarı́a definido.
a
Seguramente en tu curso de Cálculo te obligarán a hacer integrales más complicadas que las que aparecerán
en el de Fı́sica I.
También se cumple que la integral es lineal
Z
Z
(c1 f1 (t) + c2 f2 (t) + . . . cn fn (t)) dt = c1
Z
f1 (t)dt + c2
Z
f2 (t)dt + . . . cn
fn (t)dt
(6)
Las expresiones (5) y (6), tienen una aplicación directa en el curso. Por ejemplo, si un componente de la fuerza que actúa sobre una partı́cula es constante digamos que para el componente
x, y si la masa de la partı́cula no cambia, entonces por la segunda ley de Newton se tiene que:
d dx
dt
m 2 = F −→ 2 =
dt
dt
dt
d2 x
d2 x
=
F
m
y por tanto
Z d dx
dt dt = dx(t) + C =
1
dt
dt
Z
F
F
dx(t)
F
dt = t + C2 −→
= t+C
m
m
dt
m
Nótese que la constante de integración C equivale a la velocidad inicial
%
F
dx(0)
= v0 = (0) + C
dt
m
Luego
dx(t)
F
= v0 + t
dt
m
de donde
Z
dx(t)
dt = x(t) + C3 =
dt
Z F
t dt
m
v0 +
La aplicación de la linealidad de la integral, expresión (6), y de la expresión (5) conduce a
x(t) + C3 = v0 t +
F 2
F 2
t + C4 −→ x(t) = v0 t +
t +C
2m
2m
La constante de integración C de la expresión anterior es el valor de x cuando t = 0
x(0) = x0 = %
v0 (0) +
F
%
(0) + C
2m
2
y entonces
x(t) = x0 + v0 t +
a
F 2
t = x0 + v0 t + t2
2m
2
que se reconoce como la ecuación de la posición en función del tiempo del movimiento uniformemente acelerado. En general si se conoce la fuerza que actúa sobre una partı́cula de masa
constate m como función del tiempo, F~ (t), basta con integrar dos veces F~ (t)/m y fijar las
constantes de integración para determinar la posición de la partı́cula ~r(t). Ocasionalmente,
en el curso se necesitarán integrales que impliquen un mayor esfuerzo que la aplicación de las
expresiones (5) y (6). Un resultado que es de mucha ayuda en la evaluación de estas integrales
es la regla de la cadena para integrales: si
Z
f (t)dt = F (t) + C
entonces
dg
por (3)
z }| {
dg(t)
dt =
dt
Z
f (g(t))
Z
f (g)dg = F (g(t)) + C = (F ◦ g)(t) + C
(7)
Para convencernos de este resultado se tiene que si
Z
f (t)dt = F (t) + C
entonces F 0 = f y de acuerdo con la regla de la cadena para la obtención de derivadas de
composiciones
d(f ◦ g)(t)
= (f 0 ◦ g)(t)g 0 (t)
dt
recuerda que (f ◦ g)(t) = f (g(t)) y que f 0 (t) =
df (t)
dt
(8)
se tiene que
f (g(t))
dg(t)
d(F ◦ g)(t)
d ((F ◦ g)(t) + C)
= F 0 (g(t))g 0 (t) =
=
dt
dt
dt
y al integrar los lados de la ecuación anterior se obtiene el resultado deseado:
dg
z }| {
dg(t)
dt =
f (g(t))
dt
Z
Z
f (g)dg = (F ◦ g)(t) + C
Como casos particularmente importantes de f para este curso se tiene
f (u) = un , con n 6= −1 luego
Z
Z
f (u)du =
Por ejemplo, para evaluar
un+1
u du =
+C
n+1
Z
n
la linealidad de la integral, expresión (6) nos
por la expresión (5) y entonces
n du(t)
Z
[u(t)]
dt
permite escribir
Z
dt =
n
[u(t)] du
Z
[u(t)]n+1
+ C (9)
n+1
=
(4t + 5)3 dt
(4t+5)3 dt =
Z
4
1
(4t+5)3 dt =
4
4
Z
(4t+5)3 (4dt)
La integral tiene la forma de la expresión (9)
con u(t) = 4t + 5, y por tanto du = 4dt y
entonces
du
Z
1
(4t + 5) dt =
4
3
Z
3
z}|{
(4t
+ 5) 4dt =
| {z }
1
4
Z
u3 du =
1 4
1
u + C = (4t + 5)4 + C
16
16
u(t)
Ejercicios
Evalúa las siguientes integrales y en todos los casos obtén el integrando derivando tus resultados
R
(3t +
2)2 dt
expandiendo el polino-
mio y por otra parte utilizando (9).
Idem para
R
t(2t2 + 2)3 dt
R
R
(5t + 2)1/2 dt
t2 (2t3 + 2)−1/2 dt
f (u) = 1/u, luego, se cumple
La integral de la función tangente es
que
Z
Z
Z
f (u)du =
Z
tan xdx =
du
= ln |u| + C
u
sen x
dx = −
cos x
Z
d cos x
= − ln | cos x|+C
cos x
Por otro lado, la integral de la secante es
y por la regla de la cadena exZ
presión (8)
Z
Z
sec ydy =
1 du
dt =
u(t) dt
Z
u
=
du
(sec y + tan y) sec y
dy
sec y + tan y
y debido a que
ln |u(t)| + C
(10)
d(sec y + tan y)
= sec y tan y + sec2 y
dy
se cumple
Z
Z
sec ydy =
sec2 y + sec y tan y
dy =
sec y + tan y
Z
d(sec y + tan y)
= ln | sec y + tan y| + C
sec y
Ejercicios
Evalúa las siguientes integrales y deriva tus resultados para volver a obtener el integrando
1
cot udu
1 + 6r dr
R
R
R
R
tan 5rdr
Finalmente, debido a que
d sen u = cos u
du
t dt
t2 − 1
deu = eu
du
d(− cos u)
= sen u
du
Se cumple que
sen(u(t))
du(t)
dt
dt
= − cos u(t)+C (11)
du
du
du
z }| {
Z
z }| {
Z
cos(u(t))
Z
du(t)
dt
dt
= sen u(t) + C (12)
Ejercicios
Evalúa las siguientes integrales
R
R
cos(ωt + φ)dt
sen(ωt + φ)dt
R
R
2
xe−x dx
ecos φ sen φdφ
z }| {
e(u(t))
du(t)
dt
dt
= eu(t) + C
(13)