Sintonización de controladores por ubicación de polos y ceros (PDF

Sintonización de controladores por
ubicación de polos y ceros
Leonardo J. Marín, Víctor M. Alfaro
Departamento de Automática, Escuela de Ingeniería Eléctrica, Universidad de Costa Rica
Apartado postal 2-10, 2060 UCR, San José, Costa Rica
{leomarin, valfaro}@eie.ucr.ac.cr
Resumen—Se presenta el método de sintonización por ubicación de polos y ceros, el cual permite calcular los parámetros
de los controladores PI y PID para procesos de primer y
segundo orden, de manera de logar una respuesta del servo
control con las características dinámicas deseadas. La efectividad
del procedimiento propuesto se compara con la del método
tradicional de ubicación de polos, utilizando varios ejemplos.
Index Terms—ubicación de polos, sintonización, controladores
PID
Figura 1. Sistema de control realimentado
I. I NTRODUCCIÓN
Un procedimiento utilizado en la sintonización de los controladores PID para procesos simples, consiste en la localización de los polos de lazo cerrado en una posición especifica,
procedimiento que se conoce normalmente como método de
ubicación de polos de Persson [1] y popularizado por Aström
y Hägglund [2].
Si bien los parámetros del controlador determinados con
este procedimiento, garantizan lograr la ubicación deseada de
los polos de lazo cerrado, esta no puede asociarse directamente
con las características dinámicas de la respuesta del sistema de
control, por no tomar en consideración la posición resultante
de los ceros del controlador.
Se supondrá en adelante el lazo de control mostrado en
la Fig. 1, en donde Gp (s) es la función de transferencia del
proceso controlado y Gc (s) la del controlador. En este sistema
las entradas son el valor deseado r(s) y la perturbación z(s),
y la salida la variable controlada y(s).
Se presentará más adelante un procedimiento sistemático
para la sintonización de los controladores PI y PID para el
control de procesos de primer y segundo orden, que contempla
la influencia de los ceros del controlador sobre la respuesta
del sistema de control, denominado método de sintonización
de controladores por ubicación de polos y ceros, el cual tiene
como base el procedimiento desarrollado por Marín [3].
II. M ÉTODO DE UBICACIÓN DE POLOS
A continuación se presentan en forma resumida las ecuaciones para la determinación de los parámetros de los controladores PI y PID, necesarios para ubicar los polos de lazo
cerrado en una posición determinada.
II-A. Proceso de primer orden, controlador PI
Si un proceso de primer orden dado por la función de
transferencia
kp
(1)
Gp (s) =
τs + 1
se controla con un controlador PI
1
Gc (s) = Kc 1 +
Ti s
(2)
la función de transferencia de lazo cerrado del servo control
está dada por la expresión
Myr (s) =
y(s)
Kc kp (Ti s + 1)
=
2
r(s)
Ti τ s + Ti (1 + Kc kp )s + Kc kp
(3)
siendo el polinomio característico del sistema de control
Kc kp
1 + Kc kp
2
s+
(4)
p(s) = s +
τ
Ti τ
Si se desea que este sea de la forma general
p(s) = s2 + 2ζωn s + ωn2
(5)
de manera que los polos de lazo cerrado se encuentren
localizados en
p
(6)
λ1,2 = −ζωn ± jωn 1 − ζ 2
igualando (4) y (5), se obtiene que los parámetros requeridos
del controlador son
2ζωn τ − 1
Kc =
(7)
kp
2ζωn τ − 1
Ti =
(8)
ωn2 τ
Con estos parámetros en el controlador, la función de transferencia de lazo cerrado resultantes es
Myr (s) =
(2ζωn − 1/τ )s + ωn2
s2 + 2ζωn s + ωn2
(9)
El sistema de control obtenido tiene los polos en la posición
especificada y un cero en s = −ωn2 /(2ζωn − 1/τ ).
IEEE CONESCAPAN XXVI, 12-14 setiembre, 2007, San José, Costa Rica
II-B.
Proceso de segundo orden, controlador PID
12
Si un proceso de segundo orden dado por la función de
transferencia
kp
kp
Gp (s) =
=
(10)
(τ1 s + 1)(τ2 s + 1)
(τ s + 1)(aτ s + 1)
10
8
Dcp
donde τ1 > τ2 , τ = τ1 y a = τ2 /τ1 , se controla con un
controlador PID
1
Gc (s) = Kc 1 +
+ Td s
(11)
Ti s
4
2
(13)
ζ=0,95
ωn2
+ 2ζωn s + ωn2
En este caso el sobrepaso máximo de la respuesta
√ 2
Mp = e−πζ/ 1−ζ
4
ζωn
4
5
6
7
8
9
10
ω* = τ ω
n
Figura 2. Distancia entre el cero y el polo vrs ω ∗
Proceso de primer orden, controlador PI
(17)
Kcn = Kc kp = 2ζω − 1
(22)
(23)
2ζω − 1
Ti
(24)
=
τ
ω∗ 2
III-A1. Distancia entre el cero y los polos: La distancia
entre el cero del controlador y la parte real de los polos de
lazo cerrado, está dada por la expresión
∗
Tin =
(18)
Dcp =
ω ∗ 2 − ζω ∗ (2ζω ∗ − 1)
1
− ζω ∗ =
Tin
2ζω ∗ − 1
(25)
De (25) se puede obtener que la distancia entre el cero y
los polos crece cuando 2ζω ∗ → 1 y la influencia del cero
disminuye. Como se observa en la Fig. 2, el cero se encuentra
alejado solo para valores bajos de ω ∗ , por lo que en general
no es posible suponer que su influencia es despreciable.
III-A2. Características de desempeño del sistema de control de lazo cerrado: Para evaluar la influencia del cero del
controlador sobre las características dinámicas del sistema
de control realimentado, se determinó el sobrepaso máximo
Mp , el tiempo al que este ocurre o tiempo al pico tp , y el
tiempo de asentamiento al 2 % ta2 , para 0, 5 ≤ ω ∗ ≤ 10, 0 y
0, 40 ≤ ζ ≤ 0, 95.
En la Fig. 3 se muestra la variación del sobrepaso máximo
Mp , el cual, como se aprecia, depende de la razón de amortiguamiento ζ y de la frecuencia natural ω ∗ . Además, se puede
observar que la influencia de ω ∗ es mayor cuando esta tiene
valores bajos.
(19)
(20)
depende solamente de la razón de amortiguamiento ζ y el
tiempo de asentamiento al 2 %
ta2 ≈
3
∗
Es práctica usual asociar la ubicación de los polos dominantes del sistema de control con las características dinámicas
de la respuesta a un cambio escalón en el valor deseado,
suponiendo que esta es similar a la de un sistema de segundo
orden subamortiguado con ganancia unitaria de la forma
s2
2
ω ∗ = ωn τ
M ÉTODO DE UBICACIÓN DE POLOS Y CEROS
Myro (s) =
1
(16)
La función de transferencia de lazo cerrado del servo control
tendrá ahora tres polos y dos ceros.
III.
0
Para lograr que la respuesta del servo control (3) sea similar
a la del sistema de segundo orden (19), la influencia del cero
del controlador sobre la respuesta del sistema debe ser mínima.
Esto es cierto solo si este cero se encuentra muy alejado hacia
la izquierda de los polos dominantes en el plano complejo.
Se utilizará la constante de tiempo del proceso τ para
normalizar la escala de tiempo del sistema y se emplearán
en adelante los siguientes parámetros normalizados:
igualando (12) y (13), se obtiene que los parámetros requeridos del controlador son:
τ1 τ2 ωn2 (1 + 2αζ) − 1
kp
2
τ1 τ2 ωn (1 + 2αζ) − 1
Ti =
τ1 τ2 αωn3
τ1 τ2 ωn (α + 2ζ) − τ1 − τ2
Td =
τ1 τ2 ωn2 (1 + 2αζ) − 1
−2
III-A.
de manera que los polos de lazo cerrado se encuentren
localizados en
p
λ1,2 =−ζωn ± jωn 1 − ζ 2
(14)
λ3 =−αωn
(15)
Kc =
ζ=0,60
0
el polinomio característico del sistema de control sería en este
caso
Kc kp
1 + Kc kp
τ1 + τ2 + Kc kp Td
2
3
s +
s+
p(s) = s +
τ1 τ2
τ1 τ2
τ1 τ2 T i
(12)
Si se desea que este tenga la forma general
p(s) = (s + αωn )(s2 + 2ζωn s + ωn2 )
ζ = 0,40
ζ = 0,45
ζ = 0,50
ζ = 0,55
ζ = 0,60
ζ = 0,65
ζ = 0,70
ζ = 0,75
ζ = 0,80
ζ = 0,85
ζ = 0,90
ζ = 0,95
mínimo
cero
ζ=0,40
6
(21)
de la constante de amortiguamiento ζωn .
2
IEEE CONESCAPAN XXVI, 12-14 setiembre, 2007, San José, Costa Rica
35
ζ=0,40
25
22.5
Mp
20
ζ=0,60
17.5
15
30
27.5
ζ=0,40
25
22.5
20
17.5
15
12.5
12.5
10
10
ζ=0,95
ζ=0,60
7.5
7.5
5
5
2.5
2.5
0
ζ = 0,40
ζ = 0,45
ζ = 0,50
ζ = 0,55
ζ = 0,60
ζ = 0,65
ζ = 0,70
ζ = 0,75
ζ = 0,80
ζ = 0,85
ζ = 0,90
ζ = 0,95
32.5
Mp
30
27.5
35
ζ = 0,40
ζ = 0,45
ζ = 0,50
ζ = 0,55
ζ = 0,60
ζ = 0,65
ζ = 0,70
ζ = 0,75
ζ = 0,80
ζ = 0,85
ζ = 0,90
ζ = 0,95
límite
32.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
ζ=0,95
0
1
2
3
4
5
6
7
8
t = t /τ
pn
ω* = τ ωn
9
10
11
12
13
14
15
p
Figura 3. Sobrepaso máximo vrs ω ∗
Figura 5. Sobrepaso máximo vrs tiempo al pico
35
ζ = 0,40
ζ = 0,45
ζ = 0,50
ζ = 0,55
ζ = 0,60
ζ = 0,65
ζ = 0,70
ζ = 0,75
ζ = 0,80
ζ = 0,85
ζ = 0,90
ζ = 0,95
32.5
30
27.5
ζ=0,40
25
22.5
Mp
20
17.5
Tdn =
IV.
2ζω ∗ a − a
Td
=
τ
2ζω ∗ − 1 + ω ∗ 2 a
(28)
P ROCEDIMIENTOS DE DISEÑO
A continuación se presentan los pasos a seguir para diseñar
los sistemas de control para logar el comportamiento dinámico
deseado utilizando el método de ubicación de polos y ceros.
15
12.5
ζ=0,60
10
IV-A. Proceso de primer orden, controlador PI
7.5
1. Determinar la ganancia kp y la constante de tiempo τ
del proceso controlado
2. Establecer las especificaciones de diseño: sobrepaso
máximo Mp y tiempo de asentamiento ta2 o sobrepaso
máximo y tiempo al pico tp .
3. Utilizar las especificaciones de diseño con la Fig. 4 o la
Fig. 5 según corresponda, para determinar la razón de
amortiguamiento ζ
4. Emplear Mp y ζ con la Fig. 3 para obtener la frecuencia
natural normalizada ω ∗
5. Calcular los parámetros del controlador PI (Kc , Ti ), con
(23) y (24)
6. Verificar el cumplimiento de las especificaciones de
diseño a partir de la respuesta del sistema de control
con los parámetros determinados.
ζ=0,95
5
2.5
0
0
1
2
3
4
t
a2n
=t
a2
5
/τ
6
7
8
9
Figura 4. Sobrepaso máximo vrs tiempo de asentamiento
En la Fig. 4 se muestra como se relaciona el sobrepaso
máximo Mp con el tiempo de asentamiento normalizado tan ,
y en la Fig. 5 la relación de este con el tiempo al pico
normalizado tpn .
Las Fig. 3 a 5 se pueden emplear como parte de un
procedimiento de diseño de controladores, para lograr un
sistema de control con, por ejemplo, un sobrepaso máximo
y un tiempo de asentamiento deseados.
IV-B. Proceso de segundo orden, controlador PID
1. Determinar la ganancia kp y las constante de tiempo τ1
y τ2 del proceso controlado (con τ1 > τ2 )
2. Hacer τ = τ1 y a = τ2 /τ1
3. Establecer las especificaciones de diseño: sobrepaso
máximo Mp y tiempo de asentamiento ta2 o sobrepaso
máximo y tiempo al pico tp .
4. Utilizar las especificaciones de diseño con la Fig. 4 o la
Fig. 5 según corresponda, para determinar la razón de
amortiguamiento ζ
5. Emplear Mp y ζ con la Fig. 3 para obtener la frecuencia
natural normalizada ω ∗
6. Calcular los parámetros del controlador PID (Kc , Ti ,
Td ), con (26) a (28)
III-B. Proceso de segundo orden, controlador PID
Como se indicó anteriormente, en este caso el sistema de
control de lazo cerrado tiene dos ceros y tres polos. Si se
escoge en (13) α = τ1 /(τ2 ω∗) se logra que un cero del
controlador cancele el polo real, reduciéndose la función de
transferencia de lazo cerrado del control PID de la planta de
segundo orden a (9).
Los parámetros requeridos del controlador PID son:
Kcn = Kc kp = 2ζω ∗ − 1 + ω ∗ 2 a
Tin =
2ζω ∗ − 1 + ω ∗ 2 a
Ti
=
τ
ω∗ 2
(26)
(27)
3
IEEE CONESCAPAN XXVI, 12-14 setiembre, 2007, San José, Costa Rica
7. Verificar el cumplimiento de las especificaciones de
diseño a partir de la respuesta del sistema de control
con los parámetros determinados.
V.
1.4
y1
y2
1.2
E JEMPLOS
1
En los siguientes ejemplos, se muestra como es posible
lograr el desempeño dinámico deseado del sistema de control
con el procedimiento de ubicación de polos y ceros propuesto
y la diferencia entre la respuesta lograda con este y la que se
obtendría con el método de ubicación de polos tradicional.
y(t)
0.8
0.6
0.4
0.2
Ejemplo V.1. Considérese un proceso controlado con la
función de transferencia
Gp (s) =
0
1
2
3
4
5
tiempo (s)
6
7
8
9
10
1, 25
0, 80s + 1
Se desean determinar los parámetros de un controlador PI de
manera que la respuesta del sistema de control a un cambio
escalón en el valor deseado tenga un sobrepaso máximo Mp =
20 % y un tiempo de asentamiento ta2 = 3 segundos.
Método de ubicación de polos
Utilizando (20) y (21) se obtiene que la razón de amortiguamiento debería ser ζ = 0, 456 y la frecuencia natural
ωn = 1, 645.
Empleando (7) y (8) los parámetros del controlador
serían
Kc1 = 0, 16
Ti1 = 0, 092
Figura 6. Respuestas del ejemplo 1
En este caso, el sobrepaso máximo y el tiempo de asentamiento obtenidos con el método de ubicación de polos
fueron Mp = 20, 33 % y ta2 = 3, 09s, y con el controlador
determinado mediante la técnica de ubicación de polos y ceros
Mp = 19, 63 % y ta2 = 2, 73s. En ambos casos se logran
respuestas con las característcas deseadas.
Ejemplo V.2. Considérese ahora un proceso diez veces más
lento dado por la función de transferencia
1, 25
Gp (s) =
8s + 1
Se desea que la respuesta del sistema de control a un cambio
escalón en el valor deseado tenga un sobrepaso máximo Mp =
10 % y un tiempo de asentamiento ta2 = 12 segundos.
Método de ubicación de polos
De (20) y (21) se obtiene que ζ = 0, 59 y ωn = 0, 565 y
con (7) y (8) los parámetros
y la función de transferencia de lazo cerrado resultante
es
2, 71(0, 092s + 1)
Myr1 (s) = 2
s + 1, 50s + 2, 71
Esta muestra que el cero del controlador está alejado de
los polos de lazo cerrado, por lo que se espera que su
influencia en la respuesta del sistema sea despreciable.
Método de ubicación de polos y ceros
El tiempo de asentamiento normalizado es tan =
3/0, 80 = 3, 75. Si se emplea la Fig. 4 con Mp = 20 y
tan = 3, 75, se selecciona una razón de amortiguamiento
ζ = 0, 50. Con esta y el sobrepaso máximo, de la Fig.
3 se obtiene que la frecuencia natural normalizada debe
ser ω ∗ = 2, 25.
Utilizando (23) y (24), se determina que los parámetros
normalizados son
Kcn = 1, 25
Kc1 = 3, 47
Kc2 = 1, 0
Ti1 = 1, 70
La función de transferencia de lazo cerrado resultante es
0, 32(1, 70s + 1)
s2 + 0, 67s + 0, 32
En este caso el cero del controlador se encuentra relativamente cerca de los polos de lazo cerrado, por lo que
se puede esperar que influya sobre las características de
la respuesta del sistema.
Método de ubicación de polos y ceros
Para este caso el tiempo de asentamiento normalizado
es tan = 1, 55. Si se emplea la Fig. 4 con este tiempo
y Mp = 10 se puede seleccionar ζ = 0, 80. Con esta y
Mp = 10 de la Fig. 3 se obtiene ω ∗ = 3, 20.
Utilizando (23) y (24), se obtiene que los parámetros del
controlador son
Myr1 (s) =
Tin = 0, 25
de donde se obtienen los parámetros requeridos para la
sintonización del controlador
Ti2 = 0, 20
La función de transferencia de lazo cerrado resultante es
Myr2 (s) =
0
1, 98(0, 20s + 1)
s2 + 2, 81s + 1, 98
En la Fig. 6 se muestran las curvas de respuesta de los dos
sistemas.
Kcn = 4, 12
Tin = 0, 40
Kc2 = 3, 30
Ti2 = 3, 22
y
4
IEEE CONESCAPAN XXVI, 12-14 setiembre, 2007, San José, Costa Rica
1.4
1.4
y
y1
y2
1
y
2
1.2
1.2
1
0.8
0.8
y(t)
y(t)
1
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
5
10
15
tiempo (s)
20
25
0
30
Figura 7. Respuestas del ejemplo 2
10
tiempo (s)
15
20
y la función de transferencia de lazo cerrado resultante
es
Myr1 (s) =
4, 11s2 + 11, 18s + 5, 09
10, 98s3 + 17, 29s2 + 13, 38s + 5, 09
Método de ubicación de polos y ceros
Para este caso el tiempo de asentamiento normalizado
es tan = 2, 0. Si se emplea la Fig. 4 con este tiempo y
Mp = 15 % se puede seleccionar ζ = 0, 65. Con esta
razón de amortiguamiento y Mp = 15 % de la Fig. 3 se
obtiene ω ∗ = 3, 0.
Utilizando (26) a (28), se obtiene que los parámetros del
controlador deben ser
Ejemplo V.3. Se empelará ahora un controlador PID para
controlar un proceso cuya función de transferencia es
1
Gp (s) =
(5s + 1)(s + 1)
Kcn = 4, 70
Tin = 0, 52
Tdn = 0, 12
Kc2 = 4, 70
Ti2 = 2, 61
Td2 = 0, 62
y
En este caso la función de transferencia de lazo cerrado
resultante es
Se desea que la respuesta del sistema de control a un cambio
escalón en el valor deseado tenga un sobrepaso máximo Mp =
15 % y un tiempo de asentamiento ta2 = 10 segundos.
Método de ubicación de polos
De (20) y (21) se obtiene que los polos dominantes deben
tener una razón de amortiguamiento ζ = 0, 517 y una
frecuencia natural ωn = 0, 774.
Para la ubicación del polo real se selecciona α = 1.
Entre mayor sea α, menor será la influencia de este
tercer polo, sin embargo como se ve en (16) la ganancia
del controlador aumenta y por lo tanto también el cambio
en la salida del controlador cuando se varíe el valor
deseado.
Empleando (16) a (18) se obtienen los parámetros requeridos del controlador
Ti1 = 2, 20
5
Figura 8. Respuestas del ejemplo 3
En este caso la función de transferencia de lazo cerrado
resultante es
0, 16(3, 22s + 1)
Myr2 (s) = 2
s + 0, 64s + 0, 16
En la Fig. 7 se muestran las curvas de respuesta de los dos
sistemas.
Ahora, el sobrepaso máximo y el tiempo de asentamiento obtenidos con el método de ubicación de polos fueron
Mp = 19, 35 % y ta2 = 8, 66s, y con el controlador
determinado mediante la técnica de ubicación de polos y ceros
Mp = 10, 02 % y ta2 = 12, 51s.
En este caso, solo la respuesta obtenida con el procedimiento de diseño propuesto, cumple con las especificaciones
de diseño.
Kc1 = 5, 09
0
Myr2 (s) =
7, 57s2 12,27s + 4, 70
13, 06s3 + 23, 24s2 + 14, 88s + 4, 70
En la Fig. 8 se muestran las curvas de respuesta de los dos
sistemas.
Con el método de ubicación de ceros y polos se obtiene
una respuesta con un sobrepaso Mp = 14, 4 % y un tiempo
de asentamiento ta2 = 8, 37s cumpliéndose con las especificaciones, mientras que con el método de ubicación de polos
tradicional la respuesta tiene un sobrepaso Mp = 24, 0 %, el
cual excede el valor especificado en un 9 %, y un tiempo de
asentamiento ta2 = 10s.
Si en el método de ubicación de polos se trata de disminuir
la influencia del polo real, utilizando por ejemplo α = 2, 6, el
valor de la ganancia del controlador se eleva a Kc1 = 10, 04
con lo que se duplicaría el cambio escalón que se produce en
Td1 = 0, 37
5
IEEE CONESCAPAN XXVI, 12-14 setiembre, 2007, San José, Costa Rica
la señal de salida del controlador cuando se cambie el valor
deseado, pudiendo llevarse el elemento final de control a una
posición extrema.
VI.
En el procedimiento de sintonización propuesto, las Fig. 3 a
5 muestran la relación de las especificaciones de diseño (Mp ,
Ta2 y Tp ) con la ubicación requerida de los polos y ceros del
sistema (ωn , ζ).
Los ejemplos presentados ilustran claramente las ventajas
de utilizar el procedimiento de ubicación de polos y ceros
de lazo cerrado propuesto, en vez del método tradicional que
solamente ubica los polos.
Nota: Copias ampliadas de las curvas para el diseño mediante el procedimiento de ubicación de polos y ceros (Fig. 3
a 5), se pueden obtener directamente de los autores.
C ONCLUSIONES
El método tradicional de sintonización de controladores por
ubicación de los polos del sistema de control de lazo cerrado,
permite localizarlos en la posición deseada. Sin embargo, esta
posición no puede asociarse directamente con las características dinámicas de la respuesta del sistema, ya que no considera
la influencia de los ceros del controlador.
El método de ubicación de polos y ceros propuesto, al tomar
en cuenta la influencia de los ceros del controlador, relaciona
la ubicación requerida de los polos y ceros del sistema de
control con las características dinámicas de su respuesta.
El nuevo procedimiento determina los parámetros requeridos de los controladores PI y PID, para controlar procesos de
primer y segundo orden, de manera de lograr que la respuesta
del sistema de control a un cambio escalón en el valor deseado
(servo control) cumpla con las especificaciones de diseño.
La distancia ente el cero y los polos de lazo cerrado
mostrada en la Fig. 2, es una indicación de su influencia sobre
la respuesta. Cuando esta distancia es grande, la influencia
del cero es baja y el método de ubicación de polos tradicional
permite obtener resultados satisfactorios. Sin embargo, cuando
esta es pequeña, la influencia del cero es grande y no puede
despreciarse. Por esta razón el procedimiento de ubicación de
polos no permite obtener una respuesta con las características
deseadas.
R EFERENCIAS
[1] P. Persson, “Towards autonomous pid control,” Ph.D. dissertation, Department of Automatic Control, Lund Institute of Technology, 1992.
[2] K. J. Aström and T. Hägglund, PID Controllers - Theory, Design and
Tuning. Instrumentation Society of America, 1995.
[3] L. J. Marín, Método de ubicación de polos y ceros para la sintonización
de controladores PID. Proyecto Eléctrico (Bachillerato), Escuela de
Ingeniería Eléctrica, Universidad de Costa Rica, 2005.
6