magnitudes y unidades si suplementarias

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MAGNITUDES Y UNIDADES “SI” SUPLEMENTARIAS
PROPUESTAS COMO “SI” BASICAS
Mario Melo Araya
Ex Profesor de la
UNIVERSIDAD DE CHILE
PROPIEDAD INTELECTUAL
Inscripción N° 208.853
Fecha: 21-Sep-2011
2011
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TEMA 9.
MAGNITUDES Y UNIDADES “SI” SUPLEMENTARIAS
PROPUESTAS COMO “SI” BASICAS.
Mario Melo Araya
Ex Profesor Universidad de Chile
melomarioqca@gmail.com
Introducción.
El Sistema Internacional de Unidades, o unidades SI, nombre adoptado en 1960 por la 11a
Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM), es una sistematización de las
magnitudes físicas y sus unidades de medida sobre la base de siete magnitudes y unidades
básicas. Dichas magnitudes son: la longitud, la masa, el tiempo, la corriente eléctrica,
la temperatura termodinámica, la cantidad de substancia y la intensidad luminosa; y
sus unidades de medida: el metro, el kilogramo, el segundo, el ampere, el kelvin, el
mol y la candela, respectivamente
Existen, además, otras dos magnitudes clasificadas como magnitudes SI suplementarias por
la CGPM. Son el ángulo plano y el ángulo sólido, cuyas unidades son el radián y el
estereorradián, respectivamente, mostradas en la Tabla 1
Tabla 1. Magnitudes y Unidades SI suplementarias
Magnitud
Unidad
Símbolo
Angulo plano
radián
rad
Angulo sólido
estereorradián sr
Este calificativo dejó abierta la posibilidad para que dichas magnitudes y unidades
fueran consideradas y utilizadas como básicas o como derivadas. En química y en física
usualmente son tratados como derivadas adimensionales, tratamiento reconocido por el
Comité Internacional de Pesas y Medidas (CIPM) en Octubre de 1980 (1,2).
En ISO 31 (1), el ángulo plano y el ángulo sólido son tratados como magnitudes
derivadas y se definen como las razones de dos longitudes y de dos áreas
respectivamente, con lo cual pasarían a ser magnitudes adimensionales. En tal caso, las
unidades coherentes de ambas magnitudes sería el número 1 (la adimensionalidad
significa dimensión 1). No obstante, se recomienda reemplazar este número por los
nombres especiales radián y estereorradián si se impone la necesidad de explicitar dichas
unidades; situación que requiere ser revisada, pues el número 1, metrológicamente, no
debe ser reemplazado por unidad alguna. Esta revisión y proposiciones son el objetivo de
este trabajo.
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Revisión y proposiciones.
Las incongruencias descritas en la Introducción se deben a las siguientes ecuaciones:
φ = s/r
[1]
Ω = A/r2
[2]
en donde φ es un ángulo del centro de un círculo de radio r, que subtiende un arco de
longitud s, y Ω, un ángulo sólido del centro de una esfera de radio r cuyo casquete
esférico tiene un área A. Según [1], el ángulo plano se define como la razón entre dos
longitudes y según [2], el ángulo sólido, como la razón entre dos áreas. Sin embargo,
un análisis riguroso de dichas ecuaciones permite observar las siguientes inconsecuencias:
a) Las definiciones del radián y del estereorradián, haciendo s = r y A = r2, conduce
a resultados incorrectos: φ = 1 y Ω = 1, respectivamente; en ningún caso φ = 1 rad
y Ω = 1 sr, como sería lo correcto.
b) La consideración de estos ángulos como magnitudes derivadas, resultaba de la
definición en términos de otras magnitudes físicas (longitud, en el caso del ángulo
plano y área, en el caso del ángulo sólido).
c) De acuerdo con dichas ecuaciones, el ángulo plano sería una longitud relativa y el
ángulo sólido, un área relativa, ambos adimensionales y, por lo tanto, sin unidades.
d) Un análisis dimensional demuestra que dichas ecuaciones no son dimensionalmente
homogéneas, como lo exige el Principio de Homogeneidad Dimensional.
Es posible, sin embargo, corregir las incongruencias y las inconsecuencias, mencionadas
anteriormente, con solo considerar, a dichos ángulos, como magnitudes básicas. Con esa
calidad, serían indefinibles en términos de otras magnitudes físicas; una característica
propia de las magnitudes básicas. El ángulo plano simplemente es el plano limitado
por dos semirrectas que parten de un origen común, como el centro de un círculo
por ejemplo. Y el ángulo sólido, el espacio generado por la rotación de un radio de
una esfera alrededor de un eje de la misma; o bien, el espacio limitado por los
infinitos radios alrededor de un casquete esférico. Las dimensiones de estas nuevas
magnitudes básicas podrían representarse por los símbolos P y S respectivamente.
Por otra parte, las ecuaciones [1] y [2], corregidas en la forma
φ /rad = s/r
Ω/sr = A/r2
[3]
[4]
permiten definir el radián y el estereorradián. En efecto, haciendo s = r, en la ecuación
[3], resulta φ = 1 rad; y haciendo A = r2, en la ecuación [4], resulta Ω = 1 sr. O
sea, el radián sería el ángulo del centro de un círculo cuyo arco es igual al radio; y el
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estereorradián, el ángulo sólido del centro de una esfera cuyo casquete esférico tiene un
área igual al cuadrado del radio. Ver Tabla 2.
Además, para un ángulo plano completo s = 2πr y, por lo tanto,
φo /rad = 2πr/r = 2π
de donde,
φo = 2π rad
y para un ángulo sólido completo A = 4πr2 y, por lo tanto,
Ωo /sr = 4πr2/r2 = 4π
Ωo = 4π sr
de donde,
Finalmente, habría que revisar y corregir, si fuera necesario, aquellas magnitudes físicas
que involucran a estos ángulos. Algunos resultados de esta revisión se hallan en la Tabla 3.
Los cambios propuestos sólo consideran el cumplimiento de la homogeneidad dimensional
de las ecuaciones.
Tabla 2. Nuevas Magnitudes y Unidades SI Básicas
MAGNITUD
Angulo Plano
SIMBOLO
α β
γ
φ θ ....
DEFINICIÓN
DIMENSION
UNIDAD
Plano de un círculo limitado
P
radian
rad
por dos radios.
Angulo del centro de un circulo
cuyo arco es igual al radio
Angulo Plano
Completo
φc
Angulo Sólido
Ω
φc
= 2π rad
.
Espacio limitado por todos
S
estereoradián
sr
los radios que rodean un
casquete esférico.
Angulo sólido con vértice en el
centro de una esfera que intercepta un casquete esférico de
Espacio generado por la
área igual al cuadrado de su ra-
rotación de un radio de una
dio.
esfera alrededor de un eje
de la misma.
Angulo Sólido
Completo
Ωc
Ωc = 4 π sr
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Tabla 3 Magnitudes y Unidades SI derivadas de acuerdo
con las proposiciones formuladas
Magnitud
Velocidad angular
Símbolo
Definición
ω
ω = dφ / dt
Número de ondas (w),
debe especificarse por medio
ciclos (c), revoluciones (r), ----
de subíndices
...........
Nr
Frecuencia
Frecuencia circular
ν, f
ω
f
Nw
Nc
Dimensión
Unidad
PT-1
rad s-1
T-1
s-1
P T-1
rad s-1
T
s
......
= 1/T = N/t
ω = αc f
Corresponde a la velocidad
Angular
Período
T
T = 1/f
Aceleración angular
α
α = d ω / dt
P T-2
rad s-2
Φ
M L2 T-3
W
Potencia radiante, Flujo de
Φ, P
energía radiante
= 1/n = t / N
= dQ / dt
Potencia emitida, transferida
o recibida como radiación
Intensidad radiante
I, Ie
Ie = dΦ / dΩ
M L2 T-3 S-1
W sr-1
Luminancia
L, Le
Le = dIe / dA
M T-3 S-1
W m-2 sr-1
dΦv
JS
cd sr = lm
= dΦv / dA
J S L-2
cd sr m-2 = lm m-2 = lx
= ∫ Φv dt
JST
cd sr s = lm s
Flujo Luminoso
Φv
Iluminancia
E, Ev
Ev
Cantidad de luz
Q, Qv
Qv
= Iv dω
REFERENCIAS.
1. ISO, International Organization for Standardization, Standard Handbook #
measurement. 2nd Ed. 1982, pp. 71
Units of
2. Mills, I.; Cvitas,T.; Homann, K.; Kallay, N.; Kuchitsu, K., International Union of Pure
and Applied Chemistry,
“Quantities Units and Symbols in Physical Chemistry”.
Blackwell Scientific Publications. 1987, pp. 66.
3. Melo M., QUIMICA BASICA, en el rigor del lenguaje matemático.
Estequiometría. 1987, Talleres Gráficos Editorial Universitaria.
Tomo I:
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