Tema 6: FLEXIÓN: DEFORMACIONES

Tema 6: Flexión: Deformaciones
Tema 6: FLEXIÓN: DEFORMACIONES
x
+
y
Prof.: Jaime Santo Domingo Santillana
E.P.S.-Zamora – (U.SAL.) - 2008
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Tema 6: Flexión: Deformaciones
6.1.- INTRODUCCIÓN
Las deformaciones hay que limitarlas al igual que las tensiones, bien por razones de
seguridad, de mantenimiento o simplemente de estética.
Así, en numerosos casos, los elementos estructurales se dimensionarán aparte de a
Resistencia, limitando sus tensiones máximas, (tal y como hemos visto en el tema
anterior), a RIGIDEZ, haciendo que las deformaciones máximas no sobrepases unos
determinados valores admisibles.
En diferentes normativas se fijan los valores admisibles de las deformaciones para
diferentes elementos estructurales.
Con el estudio de las deformaciones de una viga a Flexión, calcularemos los GIROS (θz
, θy ) que sufren las secciones transversales alrededor del eje neutro y las FLECHAS o
DESPLAZAMIENTOS (y, z) de sus centros de gravedad.
θz
Flexión en plano xy
Flexión en plano xz
θy
z
z
y
x
x
y
y
z
Fig.6.1
Los métodos que desarrollaremos para el cálculo de las deformaciones son los
siguientes:
• Método de la Ecuación Diferencial de la Línea Elástica
• Método de la Ecuación Universal de la Línea Elástica
• Método de los Teoremas de Mohr
• Método energético del Teorema de Castigliano
• Método energético de los Trabajos Virtuales
Observación: Los dos métodos energéticos los estudiaremos más adelante, en el tema
9º, dado que son métodos de cálculo más generales y tienen su aplicación en el estudio
de las deformaciones, no sólo a Flexión, sino también en los casos de Tracción,
Compresión, Torsión, etc.
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Sección 6.2: Método de la Ecuación Diferencial de la Elástica
6.2.-MÉTODO DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA ELÁSTICA
Consideremos la viga de la figura sometida a Flexión Simple (Ry, Mz)
x
y
Línea elástica
x
y = y(x)
Fig.6.2
Según vimos en la sección 5.3.3. se denomina línea elástica: “al eje x de la viga (el que
pasa por los centros de gravedad de todas las secciones transversales), una vez
deformado”.
Tratemos ahora de calcular su ecuación: y = y(x)
Vimos también en dicha sección, que para el caso de Flexión Pura (sólo momentos
flectores), el radio de curvatura de la línea elástica venía dado por la ecuación (5.20):
1 Mz
=
r E .I z
pues bien, para el caso de la Flexión Simple (momentos flectores y fuerzas cortantes),
podremos utilizar la misma fórmula del radio de curvatura, pues la influencia que
ejercen las fuerzas cortantes es pequeña y la podremos despreciar en la mayoría de los
casos.
Por otra parte sabemos por Matemáticas que el radio de curvatura de una curva se puede
obtener de la expresión:
d2y
1
dx 2
=
(6.1)
r   dy  2  3/ 2
1 +   
  dx  
igualando las expresiones del radio de curvatura:
d2y
M
dx 2
= z (6.2)
3
/
2
E .I z
  dy  2 
1
+
   
  dx  
expresión obtenida que representa la “ecuación diferencial de la línea elástica”
La integración de esta ecuación diferencial, no lineal, presenta grandes dificultades y
dado que en la mayoría de los casos las deformaciones que se van a presentar, son
pequeñas, podremos hacer las siguientes simplificaciones:
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Tema 6: Flexión: Deformaciones
θz
x
θz
y = y(x)
y
tangente
Fig.6.3
dy
= tagϑz ≅ ϑz (para pequeñas deformaciones) → Giros de las secciones
dx
si las deformaciones son pequeñas: θz es pequeño → tag θz es pequeño → dy/dx es
2
 dy 
pequeño → 1 +   ≅ 1 y haciendo esta aproximación en la ecuación (6.2) quedará:
 dx 
2
d y Mz
d  dy  M
dϑ z M z
(6.3)
o bien:   = z →
(6.4)
=
=
2
dx
E .I z
dx  dx  E.I z
dx E.I z
Observación: con el sistema de ejes coordenados adoptado en el tema 5.2 para las vigas
a flexión, resultará que:
si M z > 0 →
si M z < 0 →
d2y
<0
dx 2
d2y
>0
dx 2
En efecto, supongamos: Mz >0
x2
x1
x
θ2
y
tag1
θ1
tag2
Fig.6.4
si x2 > x1 → dx > 0
y además según se ve en la fig.6.4 : ϑ2 < ϑ1 → dϑ < 0
dϑ
d2y
< 0 o lo que es lo mismo : 2 < 0
dx
dx
y lo mismo se comprobaría para el caso: Mz<0.
con lo cual se cumplirá :
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Sección 6.2: Método de la Ecuación Diferencial de la Elástica
En virtud de ello en las ecuaciones (6.3) y (6.4) deberemos introducir un signo (-)
quedando finalmente como Ecuación diferencial de la línea elástica :
M
d2y
=− z
2
E .I z
dx
(6.5)
dϑ z
M
=− z
dx
E.I z
o bien:
(6.6)
OBSERVACIONES:
1.- Integrando una vez la Ecuación diferencial de la línea elástica obtendremos los Giros
θz (ver ecuación 6.6). Si integramos dos veces dicha ecuación obtendremos las Flechas
y de los centros de gravedad de cada sección (ver ecuación 6.5) o lo que es lo mismo la
Ecuación de la línea elástica: y = y(x)
2.- La ecuación de la línea elástica: y = y(x), es una función continua (ver figura 6.5.a).
Si fuera discontinua (ver figura 6.5.b), es que se habría roto
Fig.6.5.a
Fig.6.5.b
3.- La ecuación de los giros: θz = θz (x), es también una función continua. Sería
discontinua sólo si la elástica presentase un punto anguloso (ver fig.6.5.c)
θ1
tag 1
θ2
tag
tagθ21
punto anguloso
Fig.6.5.c
En un punto anguloso se ha de verificar:
1
=∞
r
,entonces la ecuación (5.20), antes
1 Mz
=
= ∞ y para que esto se cumpla → M z = ∞ . Pero
r E.I z
éste valor nunca se va a dar.
mencionada, quedará:
4.- La ecuación diferencial de la elástica
d2y
será discontinua en los puntos en que
dx 2
Mz sea discontinuo.
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Tema 6: Flexión: Deformaciones
5.- Si en una sección de una viga es Mz = 0, la elástica presentará un punto de inflexión
en dicho punto
d2y
M
=− z =0 →
2
dx
E .I z
d2y
= 0 → puntos de inflexión de la elástica y = y ( x )
dx 2
6.- Si la viga hubiese estado sometida a flexión simple en el plano xz: Rz, My, las
ecuaciones diferenciales (6.5) y (6.6) de la elástica serían:
My
d 2z
=−
2
E .I y
dx
dϑ y
(6.7)
dx
=−
My
(6.8)
E .I y
7.- Si la viga estuviese sometida a flexión en ambos planos: xy y xz habría que calcular
por separado los giros y flechas relativos a ambos planos con las ecuaciones: (6.5),
(6.6), (6.7), y (6.8) . A continuación se compondrían vectorialmente los giros: θz, θy y
las flechas: y, z
giro total:
ϑ = ϑz + ϑ y
ϑ = ϑ z2 + ϑ y2
flecha total:
δ = y+z
δ = y2 + z2
z
Elástica en plano xx debida a la flexión My
z
y
x
δ
y
Elástica en plano xy debida a la flexión Mz
Fig.6.6
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Sección 6.3: Método de los Teoremas de Mohr
6.3.-MÉTODO DE LOS TEOREMAS DE MOHR
Primer Teorema de Mohr:
El primer teorema de Mohr nos permite calcular el ángulo θAB que forman entre sí dos
secciones A y B de una viga flexionada. Éste ángulo será el mismo que el que forman
las tangentes a la elástica en los puntos A y B
θAB
x
θB
A
tag en B
B
y
x
θAB
dx
θA
tag en A
A
B
x
Mz
Mz
Fig.6.9
La ecuación diferencial de la elástica es, según ecuación 6.6:
dϑ z
M
=− z
dx
E .I z
→ dϑ z = −
M z .dx
E .I z
e integrando esta ecuación entre los puntos A y B :
B
B
M z .dx
E .I z
A
∫ dϑ z = − ∫
A
B
M z .dx
E .I z
A
→ ϑz ( B ) − ϑz ( A) = − ∫
o bien :
B
M z .dx
E .I z
A
ϑ z ( AB ) = ϑ z ( A) − ϑ z ( B ) = ∫
(6.15)
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Tema 6: Flexión-Deformaciones
Caso particular:
En el caso de que el módulo de rigidez de la viga sea constante: E.Iz = cte, la ecuación
6.15. se podrá expresar también de la siguiente manera:
B
B
M .dx
ϑz ( AB ) = ϑz ( A) − ϑz ( B ) = ∫ z
= ( E .I z = cte) =
E .I z
A
∫M
z
.dx
A
E .I z
S M AB
=
E .I z
(6.16)
ecuación que nos dice: “el ángulo θz (AB) que forman entre sí dos secciones de la viga
flexionada, es igual al área del diagrama de momentos flectores comprendida entre A y
B: ( S M AB ) , dividido por el módulo de rigidez de la viga: E.Iz”
Observaciones:
1º.- En las expresiones del primer teorema de Mohr se consideran positivos los ángulos
θz que vayan en sentido horario, siempre que la sección A esté situada a la izquierda de
la sección B.
2º.- En el caso de una viga en la que conozcamos una sección que no gire (por ejemplo
casos de empotramientos), podremos conocer mediante este teorema, de forma directa,
el giro de cualquier otra sección de la misma
θB
A
θA=0
B
Fig.6.10
ϑ AB = ϑ A − ϑB = (como ϑ A = 0) = −ϑB
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Sección 6.3: Método de los Teoremas de Mohr
Segundo Teorema de Mohr:
El segundo teorema de Mohr nos da la distancia en vertical, δBA, que hay desde un
punto B de la elástica a la tangente en otro punto A de la elástica.
xB
dx
x
xA
x
B
A
D
C
B2
y
B0
dθ
B1 δ
BA
θ
tag en D
tag en C
B´
dx
x
tag en A
xB - x
B
A
x
Mz
Mz
Fig.6.11
Para calcular δBA haremos lo siguiente: por dos puntos C y D de la elástica, muy
próximos, situados a una distancia: x y x+dx respectivamente, trazamos las tangentes,
las cuales interceptan al segmento BB´= δBA en el segmento diferencial B1B2, cuya
longitud será:
B1 B2 = B1 B0 − B2 B0 = ( xB − x ).tagϑ − ( xB − x ).tag (ϑ − dϑ )
y para el caso de pequeñas deformaciones
B1 B2 ≅ ( xB − x ).ϑ − ( xB − x ).(ϑ − dϑ ) = ( xB − x ).d ϑ
sumando las longitudes de los segmentos diferenciales B1B2 al mover los puntos C y D
desde A hasta B, tendremos la longitud total δBA que queremos calcular. Así:
B
δ BA = BB´ = ∫ ( x B − x ).dϑ
A
y si finalmente se sustituye el valor absoluto de dθ obtenido en el primer teorema de
Mohr:
B
M .( x − x ).dx
(6.17)
δ BA = ∫ z B
E
.
I
z
A
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Tema 6: Flexión: Deformaciones
Caso particular:
En el caso de que el módulo de rigidez de la viga sea constante: E.Iz = cte, la ecuación
6.17. se podrá expresar también de la siguiente manera:
B
δ BA
M .( x − x ).dx
=∫ z B
= ( E .I z = cte) =
E .I z
A
B
∫M
z
.( xB − x ).dx
A
E .I z
=
QBM AB
E .I z
(6.18)
ecuación que nos dice: “la distancia en vertical: δBA que hay desde un punto B de la
elástica a la tangente en otro punto A de la misma, es igual al momento estático
respecto del primer punto B del área del diagrama de momentos flectores comprendida
entre ambos puntos: Q BM AB , dividido por el módulo de rigidez a flexión de la viga: E.Iz”
Observaciones:
1º.- En las expresiones del segundo teorema de Mohr, cuando δBA>0, indicará que el
punto B está situado por encima de la tangente en A, independientemente, en este caso,
del orden en que estén situados los puntos A y B.
2º.- En el caso de una viga en la que conozcamos una sección que no gire (por ejemplo
casos de empotramientos), podremos conocer mediante este teorema, de forma directa,
la flecha en un punto cualquiera de la misma.
tag en A
δBA = yB
A
x
B
y
Fig.6.12
3º.- Si la flexión de la viga fuera debida a un momento flector My y por tanto la elástica
estuviera en el plano xz las expresiones de los teoremas de Mohr: (6.15), (6.16), (6.17)
y (6.18), serían las mismas, sin más que cambiar:
Mz → M y
E.Iz → E.Iy
y los giros y flechas obtenidos serían:
θz → θ y
y → z
4º.- Si la flexión de la viga fuese debida a Mz y My conjuntamente se procedería de
forma análoga a lo indicado para los otros dos métodos expuestos.
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