Intervalos característicos en distribuciones N(0,1) En una distribución normal, (-k,k) es el intervalo característico correspondiente a una probabilidad p si P(-k<z<k)=p, diremos que k es el valor crítico correspondiente a p. Habitualmente se designa p=1-α y k=zα/2 , esto es P(-z α/2<z<z α/2)= 1-α p nivel de confianza, α nivel de significación, k=z α/2 valor crítico. Ejemplo 1: Hallemos el intervalo característico de una distribución normal N(0, 1) correspondiente a la probabilidad p=0,9. P(-k<z<k)=p=0.9 2ϕ(k)-1=0.9 10.9 ϕ(k)= =0.95 2 En las tablas encontramos ϕ(1,64) = 0,9495, ϕ (1,65) = 0,9505. Por tanto, asignaremos a k el punto medio de los valores 1,64 y 1,65. Es decir, k = 1,645 y, por tanto, P (-1,645 < z < 1,645) = 0,9. Hemos encontrado un intervalo [-1,645; 1,645], simétrico respecto al O, dentro del cual hay un área del 90% del total. Ejemplo 2: Hallemos el intervalo característico de una distribución normal N(0, 1) correspondiente al 95%. P(-k<z<k)=p=0.95 2ϕ(k)-1=0.95 10.95 ϕ(k)= =0.975 2 En las tablas encontramos ϕ(1,96) = 0,975. Hemos encontrado un intervalo [-1,96; 1,96], simétrico respecto al O, dentro del cual hay un área del 95% del total. Ejemplo 3: Hallemos el intervalo característico de una distribución normal N(0, 1) correspondiente al 99%. P(-k<z<k)=p=0.99 2ϕ(k)-1=0.99 10.99 ϕ(k)= =0.995 2 En las tablas encontramos ϕ(2,57) = 0,9949, ϕ (2,58) = 0,9951. Por tanto, asignaremos a k el punto medio de los valores 2,57 y 2,58. Es decir, Zα/2 = 2,575 Principales valores críticos 1-α z α/2 0,9 1,645 0,95 1,96 0,99 2,575 Intervalos caracterísiticos en distribuciones N(μ, σ) En una distribución N( μ, σ ) el intervalo característico correspondiente a una probabilidad p=1 – α es (μ – Zα/2.σ , μ + Zα/2.σ) Ejemplo 1: Hallemos el intervalo característico de una distribución normal N(50, 6) correspondiente a la probabilidad p=0,9. Queda claro que hemos de consultar el ejemplo 1 para calcular Zα/2=1.645 (μ – Zα/2.σ , μ + Zα/2.σ) = (50 – 1,645*6 , 50 + 1,645*6) = = ( 50 – 9,87, 50 + 9,87) = (40,13, 59,87) Ejemplo2: Hallemos el intervalo característico de una distribución normal N(66, 8) correspondiente al 99%. Queda claro que hemos de consultar el ejemplo 3 para calcular Zα/2 = 2,575 (μ – Zα/2.σ , μ + Zα/2.σ) = (66 – 2,575*8 , 66 + 2,575*8) = ( 45,4, 86,6) Ejemplo3: La duración de un tipo de pilas eléctricas tienen una distribución normal con media 55 horas y desviación 6 horas. Hallar los intervalos caracterísiticos correspondiente a probabilidades 0,75; 0,90; 0,95 y 0,99 interpretando lo que significan. p Intervalo 0,75 (48,1, 61,9) 0,9 (45,13, 64,87) 0,95 (43,24, 66,76) 0,99 (39,55, 70,45)