Título: La desigualdad entre la media aritmética y geométrica en problemas de olimpiadas. Resumen: En el presente artículo se pretende mostrar la utilidad de una desigualdad tan elemental como la relación entre las medias aritmética y geométrica para resolver problemas de olimpiadas, se ofrece una demostración algebraica y una geométrica para esta relación en dos elementos, a continuación se ofrece la demostración realizada por Cauchy al caso general y se proponen problemas con soluciones de olimpiadas realizadas en diferentes países. Palabras claves: desigualdades, media aritmética, media geométrica, olimpiadas de Matemática. Summary: Presently article is sought to show the utility of such an elementary inequality as the relationship among the stockings arithmetic and geometric to solve problems of olympiads, he/she offers an algebraic demonstration and a geometric one for this relationship in two elements, next he/she offers the demonstration carried out by Cauchy to the general case and they intend problems with solutions of olympiads carried out in different countries. Key words: inequalities, half arithmetic, mediates geometric, olympiads of Mathematics. Desarrollo: Se conoce que la media aritmértica entre dos valores no negativos a y b se calcula como que y la media geométrica como entonces demostraremos . Usaremos una vía algebraica y una geométrica que nos permitirá analizar algunas de las interconexiones conceptuales que se establecen entre estas dos disciplinas de la Matemática. Vía algebraica: Conocemos que , si en la desigualdad que queremos demostrar multiplicamos por 2 y transponemos todo al miembro izquierdo, obtenemos cumple. Vía Geométrica: , factorizando tenemos , que se Utilizando el teorema de las alturas se A tiene que h D B es decir la media geométrica entre x, y. Por otra parte O x C y podemos percatarnos que , es decir la media geométrica, que en este caso es la hipotenusa del triángulo rectángulo AOD y la media geométrica es uno de sus catetos, entonces se tiene que . Esta desigualdad se cumple además si la cantidad de valores aumenta. Según Bulajich, Gómez y Valdés (2008), Cauchy probó esta desigualdad utilizando una inducción de la siguiente forma: 1. Probar que se cumple para dos números. 2. Probar que si se cumple para n elementos entonces se cumple para n – 1 elementos. 3. Probar que si se cumple para n elementos entonces se cumple para 2n elementos. En el caso que nos ocupa el primer paso está probado. Probaremos el segundo y el tercer pasos: 2) Tomamos n – 1 números no negativos y sea , como tenemos como premisa que se cumple para n elementos entonces: Entonces se cumple para n – 1 elementos. 3) sean 2n números reales no negativos A continuación analizaremos algunos problemas de olimpiadas donde se puede utilizar esta desigualdad. Problema 1. (Bulgaria, 1995) Sean SA, SB y SC las áreas de los heptágonos regulares A1A2…A7, B1B2…B7, C1C2…C7, respectivamente. Si se sabe que A1A2 = B1B3 = C1C4. Prueba que Solución: Si a = A1A2, b = B1B3 y c = C1C4, usando el teorema de Ptolomeo se deuce que ab + ac = bc. Usando esto concluimos que , y . Usando la desigualdad entre media aritmética y media geométrica concluimos que Problema 2. (Estonia, 1995) Sean a, b, c las longitudes de los lados de un triángulo y α, β y γ los ángulos opuestos a esos lados. Prueba que si r es el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo, entonces: . Solución: Sea S el área del triángulo, tenemos , , y Por la desigualdad entre la media aritmética y la geométrica y Multiplicando se cumple lo buscado. Problema 3. (Repúblicas Checa y Eslovaca, 2000) Prueba que para todos a, b reales positivos se cumple que: Solución: Haciendo resolver desigualdades, y pues (Esto es fundamental a la hora de en muchas ocasiones una adecuada transformación puede facilitarnos mucho la demostración. En este caso Que se puede transformar en: Aplicando dos veces la desigualdad entre la media aritmética y la media geométrica tenemos: Sumando las dos desigualdades miembro a miembro se tiene la desigualdad deseada. La igualdad se cumple si y solo si Problema 4. (Brasil, 2001) Prueba que , Solución: Vamos a transformar Aplicando la desigualdad entre la media aritmética y la media geométrica se tiene: Problema 5. (IMO, 2001) Prueba que para Solución: se cumple: Podemos percatarnos que la solución de la desigualdad es equivalente a demostrar: . Aplicado a los tres sumandos. Esta última desigualdad se puede transformar como: Entonces esto es equivalente a demostrar que: Aplicando dos veces la desigualdad entre la media aritmética y la media geométrica: Multiplicando miembro a miembro se tiene el resultado deseado. Problema 6. (Balcanes, 2002) Sean a, b, c reales positivos, prueba que: Solución: aplicando la desigualdad entre la media aritmética y la media geométrica Apliquemos dos veces más la desigualdad media aritmética – media geométrica ; ; entonces Problema 7. (Canadá, 2002) Prueba que , se cumple que . ¿Cuándo ocurre la igualdad? Solución: teniendo en cuenta que por podemos multiplicar la desigualdad con lo cual transformamos lo que queremos demostrar en: Transformando el miembro izquierdo, Si aplicamos media aritmética – media geométrica a cada sumando tenemos: Aplicando nuevamente la desigualdad media aritmética – media geométrica tenemos que: La igualdad si y solo si a = b = c. Problema 8. (Rusia, 2002) Prueba que , para Solución: Esta desigualdad puede ser transformada de la siguiente forma: Entonces la demostración de la desigualdad original se reduce a demostrar que Vamos a utilizar 3 veces la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica: , de la misma forma ; , sumando estas desigualdades se tiene la deseada. Problema 9. (Repúblicas Checa y Eslovaca, 2003) Demuestra que si , entonces . Solución: Esta desigualdad se puede transformar en , vamos a demostrar por partes utilizando la desigualdad entre la media aritmética y la media geométrica. , ,y de manera análoga . Sumando miembro a miembro obtenemos la desigualdad deseada. Problema 10. (Lista corta, OIM 2004) Si los números positivos satisfacen que la suma es 1, prueba , que: . Soludión: Haciendo Es evidente que equivalente a: , , , definimos ; , la desigualdad es . Usando la desigualdad media aritmética – media geométrica deducimos que: , usando la desigualdad media aritmética – media geométrica Problema 11. (Ucrania, 2004) Sean Solución: , con . Prueba que Por la desigualdad entre la media aritmética y la media geométrica esta última expresión: , de manera análoga ; ; por tanto Problema 12. (Kazajstán, 2009) Prueba que , se cumple que: Solución: La desigualdad se puede transformar multiplicando por , Utilizando la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica en ambos factores del miembro izquierdo tenemos: , entonces ; y además Entonces Y , sumando miembro a miembro tenemos la desigualdad que queremos demostrar. Problema 13. (Grecia, 2010) Si y prueba que , . ¿Cuándo ocurre la igualdad? Solución: La desigualdad se puede transformar en Por la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica ; , entonces: , por tanto es suficiente demostrar y que , que se cumple por ser . La igualdad se verifica si y solo si x = y = z = 1. Problema 14. (Prueba de selección de Cuba, 2006) Encuentra el mayor valor posible de k tal que para todo polinomio de grado n > 1 cuyas raíces son todas reales positivas se cumple que y determina en qué casos se cumple la igualdad. En este problema se establecen relaciones entre elementos propios del Álgebra como es el caso del trabajo con polinomios y la desigualdad entre las medias. Solución: Sean r1, r2, r3, … , rn las raíces de p(x). Según las fórmulas de Vieta se tiene n 1 n 1 ( 1)i a n que n 1 ( 1)i ( 1)i 1 i )1 i 1 r j1 ...r ji = rj1 ...rji 1 j1 ... ji n i 1 1 j1 ... n 1 n Una doble sumatoria con un total de 2n ji n 2 términos. Ahora por la i i 1 desigualdad Media Aritmética-Media Geométrica (aplicable porque los ri son positivos) se sabe que n 1 r ...r ji j1 i 1 1 j1 ... ji n n 2 n 1 2n 2 2 r ...r ji j1 i 1 1 j1 ... ji n Para simplificar la raíz (2n-2)-ésima obtenida en este punto nótese que n n 1 2 n 2 n 1 r ...r ji = 2n j1 i 1 1 j1 ... ji n 2n 2 n = 2( 2 n 2) rk 2 k 1 r ...r ji j1 i 1 1 j1 ... ji n i 1 1 j1 ... ji n r j1 ...r ji n = k 1 rk n 1 rk = a0 k 1 Una recopilación de los resultados obtenidos hasta el momento permite concluir que i ( 1) an i 1 2 n 1 n 1 i (2 n 2) ao i entonces ( 1) an 1 i 1 (2 n 2) 2 ao Se tiene que la constante k es (2n -2)2, y en este caso es fácilmente verificable, por las condiciones de la desigualdad Media Aritmética-Media Geométrica, que la igualdad en este caso es alcanzada cuando r1 = r2 = … = rn = 1 y solamente en ese caso, con lo que se obtienen además las condiciones de igualdad. Además, por existir igualdad par este valor de k, es claro que no puede encontrarse ninguno mayor. Problema 15. (Prueba de selección cubana, 2006) Sean a, b y c números positivos tales que 1 abc 33 ab + bc + ca = 1. Probar que 3 6( a b c ) 3 . abc Solución: Escribamos = 3 3 3 3 3 3 1 abc 1 3ab(ac bc) 3bc(ba ca) 3ca(ab bc) abc 3 3 3 3 3 3 como ab + bc + ca = 1 tenemos = 1 6a 2 bc 6ab 2 c 6abc 2 = abc 3 3 6(a b c) 3 4 3(ab) 2 3 (bc) 2 abc (ca) 2 3 3 3 1 3ab 3(ab) 2 3 3bc 3(bc) 2 abc 3ca 3(ca) 2 = . Es fácil ver que 3((ab)2 + (bc)2 + (ca)2) ≥ (ab + bc + ca)2 = 1 con lo que se prueba que 3 3 3 3 abc 3 1 1 , que es equivalente a que (abc)2 ≤ y por la 27 abc relación entre la media aritmética y la media geométrica se tiene que (abc) 2 = ab bc ca (ab)(bc)(ca) ≤ 3 2 = 1 . 27 La igualdad se cumple si y solo si a = b = c = 1 3 . Otros problemas donde se utiliza la desigualdad En los problemas que se muestran a continuación se evidencia la utilización de la desigualdad entre las medias en otros contextos, donde no se solicita explícitamente la demostración de una desigualdad. Esto muestra las relaciones internas que se establecen en el Álgebra. Problema 16. (Grecia, 2009) Determina que satisfacen el sistema Y tienen la menor suma posible. Solución: Sea la solución del sistema con la menor suma posible, entonces por la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica se tiene: , con la igualdad para Problema 17. (Grecia, 2010) Resolver en reales positivos el siguiente sistema: Solución: Por la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica se tiene que: La segunda ecuación se transforma en Usando la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica se tiene: , entonces Con la igualdad para Por (1) y (2), , que es posible cuando Por tanto la única solución Problema 18. (Rumanía, 2002) Sea , reales tal que , y , funciones . Demuestra que la ecuación tiene soluciones si y solo si las tienen ceros comunes. a) Resuelve la ecuación Solución: Por la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica tenemos: funciones Entonces se cumple la igualdad en esta desigualdad: y como , porque tiene que cumplirse la igualdad , entonces los valores de x tienen que ser ceros comunes. a) La ecuación puede escribirse en la forma: , por , tanto , considerando , tenemos , el resultado anterior implica que la solución está formada por las raíces comunes a las tres funciones , que son . Problema 19. (China, 2006) Sea y el máximo valor de la suma . Determina , donde Solución: Por la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica: , luego La igualdad se logra si y solo si , luego el máximo es . Problema 20. (Primera prueba selectiva de Cuba, curso 2006 – 2007) Hallar el valor mínimo posible de condición si son números reales que satisfacen la , con Solución: Sea A = x2 + y2 y B = x2 – y2 entonces x2 = xy = x2y2 = A B A B y y2 = , tenemos que 2 2 A B A B , notemos que debemos asumir que xy > 0. 2 2 Sustituyendo en la ecuación dada tenemos A = B A B A B (1) 2 2 De acuerdo a la relación entre la media aritmética y geométrica se cumple que A B A B 2 2 A B 2 A B 2 = A teniendo que A 2 2 A ByB 2 Reordenando (1) encontramos que 4a2 = B2(A2 – B2) y A2 = 2. B4 B2 4 luego B 2 obteniendo que B > 2. Ahora, (B2 – 8)2 0, y B4 16B2 – 64 = 16(B2 – 4), teniendo que teniendo entonces que x2 + y2 = A B4 B2 4 16 4. Finalmente notemos que x2 + y2 puede tomar el valor 4, por ejemplo para x = 2 2,y= 2 2. Problema 21. (Pruebas de selección Cuba, 2006) Una circunferencia de radio r y centro S está inscrita en el triángulo ABC. Una recta que pasa por el punto S interseca a los lados BC y CA en los puntos D y E respectivamente. Si P es el área del triángulo CED, probar que P 2r2. determina para qué casos se cumple la igualdad. Solución: El área A del triángulo CED satisface que C CE CD A = ACES + ACSD= ½ CE r + ½ CD r = r. 2 Por la desigualdad entre la media aritmética y la media CE CD CE CD por geométrica tenemos que r 2 D E S A B CE CD r. El producto de las longitudes de los lados de un triángulo no lo que A es menor que el doble del área del triángulo. En nuestro caso CE CD 2A, donde la igualdad se cumple si y solo si el ángulo del vértice C es recto, entonces A CE CD r igualdad se cumple si y solo si CE = CD y 2 A r y A2 2Ar2 donde A 2r2. La C = 900. Bibliografía: Beskin, N. M. (1980). División de un segmento en una razón dada. Moscú: Mir. Bulajich Manfrino, R. & Gómez Ortega, J. A. (2007). Desigualdades. Cuadernos de Olimpiadas de Matemáticas. México: Instituto de Matemáticas de la UNAM. Bulajich Manfrino, R. & Rubio Barrios, C. J. (2008). Las Olimpiadas Matemáticas en San Luis Potosí 1987 – 2005. Cuadernos de Olimpiadas de Matemáticas. México: Instituto de Matemáticas de la UNAM. Colectivo de autores (1995). Olimpiada Nacional de Bulgaria. Colectivo de autores (1995). Olimpiada Nacional de Estonia. Colectivo de autores (2000). Olimpiada Nacional de Repúblicas Checa y Eslovaca. Colectivo de autores (2001). Olimpiada Nacional de Brasil. Colectivo de autores (2001). Lista Corta de la IMO. Colectivo de autores (2002). Olimpiada Nacional de Rumanía. Colectivo de autores (2002). Olimpiada Nacional de Canadá. Colectivo de autores (2002). Olimpiada Nacional de Rusia. Colectivo de autores (2003). Olimpiada Nacional de Repúblicas Checa y Eslovaca. Colectivo de autores (2004). Lista Corta de la OIM. Colectivo de autores (2004). Olimpiada Nacional de Ucrania. Colectivo de autores (2009). Olimpiada Nacional de Kazajstán. Colectivo de autores (2010). Olimpiada Nacional de Grecia. Colectivo de autores (2009). Olimpiada Nacional de Grecia. Colectivo de autores (2006). Olimpiada Nacional de China. Davidson San Juan, L., Reguer Villar, R., & Frontela, R. (1987). Problemas de Matemática Elemental 1. La Habana: Pueblo y Educación. Davidson San Juan, L., Reguer Villar, R., & Frontela, R. (1995). Problemas de Matemática Elemental 2. La Habana: Pueblo y Educación. Davidson San Juan, & Recio, F. (1974). Los Concursos de Matemática. Primera parte. La Habana: Dirección de producción de medios de enseñanza. MINED. Davidson San Juan, & Recio, F. (1975). Los Concursos de Matemática. Segunda parte. La Habana: Dirección de producción de medios de enseñanza. MINED. Díaz González, M. (2004). Problemas de Matemática para los entrenamientos de la Educación Preuniversitaria I. La Habana: Pueblo y Educación. Díaz González, M. (2007). Problemas de Matemática para los entrenamientos de la Educación Preuniversitaria II. La Habana: Pueblo y Educación. Díaz González, M. (2011). Problemas de Matemática para los entrenamientos de la Educación Secundaria Básica III. La Habana: Pueblo y Educación. Hall, H. S., & Night, S. R. (1948). Álgebra Superior. México: Hispano – Americana. Mati, I. (2007). Classical Inequalities. En www.imocompendium.com