Integral de Trayectoria (Campos escalares) Pensemos en un alambre ` del cual se conoce su densidad lineal (en gr/cm) en cada punto, por la función ρ. que asocia a cada punto p ∈ `, el número real ρ(p) = densidad del alambre, podemos suponer que la imagen del alambre coincide con la imagen de cierta función escalar λ : [a, b] → R3 . Si tomamos la partición a = t0 < t1 < ...tn = b cuya partición asociada es λ(t0 ), λ(t1 ), ..., λ(tn ) y en cada [ti−1 , ti ] tomamos i y bajo λ tenemos λ(i ) ∈ [λ(ti−1 ), λ(ti )] y la masa del alambre entre λ(ti−1 ), λ(ti ) es aproximadamente igual a la densidad del alambre en λ(i ) multiplicada por la longitud del alambre entre λ(ti ), λ(ti−1 ). Es decir Z Mi = masa del ti alambre en [λ(ti−1 ), λ(ti )] = ρ(λ(i )) × ρ(λ(t))kλ0 (t)kdt = ti−1 ρ(λ(i ))kλ0 (∗i )k(ti − ti−1 ) ∴ La masa total del alambre esta dada por M` = lı́m n→∞ n X ρ(λ(i ))kλ 0 (∗i )k(ti Z − ti−1 ) = a i=1 1 b ρ(λ(t))kλ0 (t)kdt Ahora supóngase que se tiene una barda cuya base tiene la forma de una curva c(t) = (x(t), y(t)) R y cuya altura f (x(t), y(t)). La integral c f ds representa el área de un lado de la barda. Definición.- La integral de trayectoria o la integral de f (x, y, z) a lo largo de la trayectoria c esta definida cuando c : I = [a, b] → R3 es de clase c1 y cuando la función compuesta t → (x(t), y(t), z(t)) es continua en I, definimos esta integral Z Z b f ds = f (x(t), y(t), z(t))kc0 (t)kdt c a Ejemplo.-Evaluar la integral de trayectoria √ α(t) = (ln(t), t, 8t) donde t ∈ [0, 3] y f (x, y, z) = ex + y + z 2 Sol. Tenemos que α0 (t) = ∴ Z Z f dt = α √ √ 8t) = eln(t) + t + ( 8t)2 = t + t + 8t = 10t v u 2 r √ ! √ !2 r u 1 2 2 1 2 1 + t2 + 2t 1 ⇒ kα0 (t)k = t = + 1 + = , 1, √ +1+ √ = |t| t t2 t t2 t t r (t + 1)2 t+1 = 2 t t f (α(t)) = f (ln(t), t, 3 (10t) 0 t+1 t Z dt = 3 Z 10(t+1)dt = 10 0 (t+1)dt = 10 0 2 3 t2 + t 30 2 = 10 9 + 3 = 75 2