Integrando sobre curvas (Campos escalares)

Integrando sobre curvas (Campos escalares)
Definición 1. Una función α : [a, b] ⊂ R → Rn es suave por pedazos si existe una partición
P = {a = t0 < t1 < · · · < tk = b} del intervalo [a,b] tal que α tiene derivada continua (de
clase C 1 ) en cada subintervalo [ti−1 , ti ] para (i = 1, ..., k). A la imagen Γ = α([a, b]) de una
función α suave por pedazos la llamaremos curva suave por pedazos y diremos que α es una
parametrización suave por pedazos de Γ. A α(a) lo llamaremos punto final y a α(b) punrto final,
y si α(a) = α(b) decimos que α es cerrada
Ejemplo.-Parametrizar la curva que une los puntos en el plano (0, 0), (0, 1), (1, 1), (1, 0).
Solución.Una parametrización (suave por pedazos) para esta curva puede ser la función
α : [0, 4] ⊂ R → R2 definida como



(t, 0)




(1, t − 1)
α(t) =
(3 − t, 1)





(0, 4 − t)
si 0 ≤ t ≤ 1
si 1 ≤ t ≤ 2
si 2 ≤ t ≤ 3
si 3 ≤ t ≤ 4
Supongamos ahora que α : [a, b] ⊂ R → R2 es una parametrización inyectiva y de clase C 1 de
esta curva. Un metodo para aproximar a la longitud de la curva Γ consiste en tomar un número
finito de puntos de ésta (empezando y termoinando en los puntos inicial y final), digamos
P0 , ..., Pk ∈ Γ, y calcular la longitud entre cada dos consecutivos, es decir kPi − Pi−1 k. De esta
forma, la suma de todos estos números
k
X
kPi − Pi−1 k
i=1
1
es una aproximación a la longitud de la curva, y ésta será mejor si tomamos más puntos y más
cercanos entre sı́
Dado que estamos suponiendo que α es una parametrización inyectiva de Γ, existe una única
partición P = {t0 , ..., tk } del intervalo [a, b] tal que Pi = α(ti ), y por lo tanto tenemos que
k
X
kPi − Pi−1 k =
i=1
k
X
kα(ti ) − α(ti−1 )k =
i=1
k
X
kα0 (ti ) − α0 (ti−1 )k(ti − ti−1 )
i=1
esta ultima es una suma de Riemann correspondiente a la integral
Z b
kα0 (t)kdt
a
Integral de Trayectoria (Campos escalares)
Pensemos en un alambre ` del cual se conoce su densidad lineal (en gr/cm) en cada punto,
por la función ρ. que asocia a cada punto p ∈ `, el número real ρ(p) = densidad del alambre,
podemos suponer que la imagen del alambre coincide con la imagen de cierta función escalar
λ : [a, b] → R3 . Si tomamos la partición a = t0 < t1 < ...tn = b cuya partición asociada es
λ(t0 ), λ(t1 ), ..., λ(tn ) y en cada [ti−1 , ti ] tomamos i y bajo λ tenemos λ(i ) ∈ [λ(ti−1 ), λ(ti )] y la
masa del alambre entre λ(ti−1 ), λ(ti ) es aproximadamente igual a la densidad del alambre en
λ(i ) multiplicada por la longitud del alambre entre λ(ti ), λ(ti−1 ).
Es decir
Z
Mi = masa del
ti
alambre en [λ(ti−1 ), λ(ti )] = ρ(λ(i )) ×
ti−1
2
ρ(λ(t))kλ0 (t)kdt =
ρ(λ(i ))kλ0 (∗i )k(ti − ti−1 )
∴ La masa total del alambre esta dada por
M` = lı́m
n→∞
n
X
0
ρ(λ(i ))kλ
(∗i )k(ti
Z
− ti−1 ) =
b
ρ(λ(t))kλ0 (t)kdt
a
i=1
Ejemplo.-Considere un alambre cuya forma coincide con la forma de la función
α(t) = (cos(2πt), sen(2πt), t) con t ∈ [−1, 1] (un resorte), y su densidad de masa está dada por
la función ρ(x, y, z) = 1 − z 2 . Calcular la masa total del alambre.
Solución
Como α(t) = (cos(2πt), sen(2πt), t) entonces
α0 (t) = (−2π sen(2πt), 2π cos(2πt), 1) y
Por lo tanto
Z b
0
kα (t)kdt =
a
√
Z
1+
1
4π 2
2
(1 − t )dt =
−1
3
√
1+
kα0 (t)k =
4π 2
√
1 + 4π 2
2
4√
2−
=
1 + 4π 2
3
3
Ahora supóngase que se tiene una barda cuya base tiene la forma de una curva c(t) = (x(t), y(t))
R
y cuya altura f (x(t), y(t)). La integral c f ds representa el área de un lado de la barda.
Definición.- La integral de trayectoria o la integral de f (x, y, z) a lo largo de la trayectoria
c esta definida cuando c : I = [a, b] → R3 es de clase c1 y cuando la función compuesta
t → (x(t), y(t), z(t)) es continua en I, definimos esta integral
Z
Z b
f ds =
f (x(t), y(t), z(t))kc0 (t)kdt
c
a
Ejemplo.-Evaluar la integral de trayectoria
√
α(t) = (ln(t), t, 8t) donde t ∈ [0, 3] y f (x, y, z) = ex + y + z 2
Sol.
Tenemos que
α0 (t) =
∴
Z
√
√
f (α(t)) = f (ln(t), t, 8t) = eln(t) + t + ( 8t)2 = t + t + 8t = 10t
v
u 2
r
√ !
√ !2 r
u 1
2
2
1
2
1 + t2 + 2t
1
⇒ kα0 (t)k = t
=
+
1
+
=
, 1, √
+1+ √
=
|t|
t
t2
t
t2
t
t
r
(t + 1)2
t+1
=
2
t
t
Z
f dt =
α
3
(10t)
0
t+1
t
Z
dt =
3
Z
10(t+1)dt = 10
0
(t+1)dt = 10
0
4
3
t2
+ t 30
2
= 10
9
+3
2
= 75