Equivalente de banda base Notas de clase Representación de señales pasabanda función analítica Representación de señales pasabanda-2 Donde Otra forma Representación de señales pasabanda-3 Representación de un sistema pasabanda lineal Dado que h(t) es real, luego Definimos Luego ya que Respuesta de un sistema pasabanda a una señal pasabanda x(t) y(t) h(t) Dado que para Entonces y Donde f<0 Y y para f>0 Energía de la señal equivalente de banda base ∞ ∞ 2 ℰ𝑥 = −∞ ∞ −∞ ℰ𝑥 = 1 2 1 4 ∞ −∞ 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 ∗ 2 ∗ 𝑥𝑏𝑏 2 𝑡 𝑒 +𝑗 4𝜋𝑓𝑐 𝑡 + 𝑥𝑏𝑏 𝑡 𝑒 −𝑗 4𝜋𝑓𝑐 𝑡 + 2𝑥𝑏𝑏 𝑡 𝑥𝑏𝑏 𝑡 ∞ 𝑥𝑏𝑏 𝑡 −∞ ℰ𝑥 = 2 + 1 𝑥 𝑡 2 𝑏𝑏 1 ∞ 2 −∞ 𝑥𝑏𝑏 𝑡 2 2 +𝑗 2𝜃 +𝑗 4𝜋𝑓𝑐 𝑡 𝑒 𝑑𝑡 + 𝑒 1 ∞ 2 −∞ + 𝑥𝑏𝑏 𝑡 𝑥𝑏𝑏 𝑡 ℰ𝑥 𝑏𝑏 2 𝑥𝑏𝑏 𝑡 ≜ 1 1 2 𝑥𝑏𝑏 𝑡 ℰ𝑥 𝑏𝑏 = 2 ℰ𝑥 𝑏𝑏 = ℰ𝑥 𝑑𝑡 2 −𝑗 2𝜃 −𝑗 4𝜋𝑓𝑐 𝑡 𝑒 𝑒 cos(4𝜋𝑓𝑐 𝑡 + 2𝜃) 𝑑𝑡 =0 1 ℰ𝑥 = ℰ𝑥 𝑏𝑏 2 Luego 2 −∞ 1 ∗ 𝑥𝑏𝑏 𝑡 𝑒 +𝑗 2𝜋𝑓𝑐 𝑡 + 𝑥𝑏𝑏 𝑡 𝑒 −𝑗 2𝜋𝑓𝑐 𝑡 2 ℰ𝑥 = ℰ𝑥 = 𝑅𝑒 𝑥𝑏𝑏 𝑡 𝑒 +𝑗 2𝜋𝑓𝑐 𝑡 𝑥 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 Equivalente de banda base del canal AWGN 𝑛 𝑡 = 𝑛𝐼 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑐 𝑡 + 𝑛𝑄 (𝑡)𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑐 𝑡 𝑛𝑏𝑏 𝑡 = 𝑛𝐼 𝑡 + 𝑗𝑛𝑄 (𝑡) 𝑆𝑁 = 𝑁0 2 ∀𝜔 𝑆𝑁𝐴 = 2𝑁0 𝜔>0 𝑆𝑁𝑏𝑏 = 𝑆𝑁𝐴 𝜔 + 𝜔𝑐 = 2𝑁0 𝜔 > −𝜔𝑐 Si definimos 𝑛𝑏𝑏 𝑡 = Luego 𝑆𝑁𝑏𝑏 = 1 2 𝑆𝑁 𝑏𝑏 2 2 𝑛𝑏𝑏 𝑡 = 2𝑁0 2 2 𝜎𝑏𝑏 2 = 𝑁0 𝜎𝑏𝑏 2 = 𝜎𝐼 2 + 𝜎𝑄 2 𝜎𝐼 2 = 𝜎𝑄 2 = 𝑁0 2 = 𝑁0 Representaciones equivalentes de una señal QAM pasabanda Sea una señal pasabanda 𝑥 𝑡 = 𝑥𝐼 𝑡 cos 2𝜋𝑓𝑐 𝑡 − 𝑥𝑄 (𝑡) sin 2𝜋𝑓𝑐 𝑡 𝑥𝑏𝑏 𝑡 = 𝑥𝐼 𝑡 + 𝑗𝑥𝑄 𝑡 Luego 𝑥𝐼 𝑡 = 𝑥𝑖 𝑔(𝑡) Suponiendo además 𝑥𝑄 𝑡 = 𝑥𝑞 𝑔(𝑡) 𝑥𝑏𝑏 𝑡 = (𝑥𝑖 + 𝑗𝑥𝑞 )𝑔(𝑡) Luego 𝑥 𝑡 = 𝑔 𝑡 (𝑥𝑖 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑐 𝑡 − 𝑥𝑞 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑐 𝑡) Por otra parte x(t) se puede representar en una BON como 𝑥 𝑡 = 𝑥1 ∅1 𝑡 + 𝑥2 ∅2 𝑡 ∅1 𝑡 = 2𝑔(𝑡)𝑐𝑜𝑠𝜔𝑐 𝑡 BON Luego ∅2 𝑡 = − 2𝑔(𝑡)𝑠𝑒𝑛𝜔𝑐 𝑡 𝑥1 = 1 𝑥 2 𝑖 𝑥2 = 1 𝑥 2 𝑞 𝑥𝑏𝑏 𝑡 = (𝑥𝑖 + 𝑗𝑥𝑞 )𝑔 𝑡 = 2(𝑥1 + 𝑗𝑥2 )𝑔 𝑡 𝑥𝑏𝑏 𝑡 = 1 2 𝑥𝑏𝑏 𝑡 = (𝑥1 + 𝑗𝑥2 )𝑔 𝑡 Apéndice Algunas relaciones útiles 𝑠𝑔𝑛 𝑓 ↔ 𝑗 𝑢 𝑓 = 1 1 + 𝑠𝑔𝑛 𝑓 2 1 𝜋𝑡 ↔ 1 1 𝛿 𝑡 +𝑗 2 𝜋𝑡 𝑥 ∗ 𝑡 ↔ 𝑋 ∗ (−𝑓) Si x(t) es real 𝑋 ∗ −𝑓 = 𝑋 𝑓 (simetría hermitiana) Transformada de Hilbert 𝑥 𝑡 ≜ 𝑡 ∗ 𝑥(𝑡) 𝑋 𝑓 = 𝐻 𝑓 𝑋(𝑓) Donde 𝐻 𝑓 = −𝑗 𝑠𝑔𝑛(𝑓) 𝐻 𝑓 ↔ 𝑡 = 𝑥 𝑡 = 1 ∗ 𝑥(𝑡) 𝜋𝑡 1 𝜋𝑡 0 𝑡≠0 𝑡=0