Cortaduras de Dedekind

Cortaduras de Dedekind
Un método para completar los números irracionales y obtener R fué ideado por Dedekind, se
basa en el concepto de cortaduras.
Definición 1. Se dice que un par ordenado (A,B) de subconjuntos no vacios de R forma una
cortadura si A ∩ B = ∅ y A ∪ B=R
Por ejemplo si tomamos
√
2 ∈ R formamos los conjuntos
A = {x ∈ R|x ≤
√
2} B = {x ∈ R|x >
√
2}
estos conjuntos satisfacen las condiciones para definir una cortadura en R
Teorema 1. Si (A,B) es una cortadura en R, entonces existe un número único ξ ∈ R tal que
a ≤ ξ ∀a ∈ A y ξ ≤ b ∀b ∈ B
Demostración. Tenemos que A 6= ∅ y B 6= ∅ y cualquier elemento de B es cota superior de
A por tanto ∃ supA = ξ, se debe cumplir que a ≤ ξ ∀a ∈ A. Si b ∈ B por definición de
cortadura a ≤ b ∀a ∈ A y b es cota superior de A ∴ ξ ≤ b. Esto demuestra la existencia de
tal número ξ. Para comprobar su unicidad tenemos que si ∃η ∈ R tal que a ≤ η∀a ∈ A y
η ≤ b∀b ∈ B entonces η es una cota superior de A ∴ ξ ≤ η, si ξ < η entonces existe µ =
ξ+η
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tal que ξ < µ < η. Ahora bien µ ∈ A ó µ ∈ B. Si µ ∈ A se contradice el hecho de que a ≤ ξ
∀a ∈ A. Si µ ∈ B se contradice el hecho de que η ≤ b ∀b ∈ B por lo tanto ξ = η.
Celdas ó Intervalos
Sea a, b ∈ R y a ≤ b entonces el conjunto {x ∈ R|a < x < b} se denomina celda abierta
ó intervalo abierto.
Sea a, b ∈ R y a ≤ b entonces el conjunto {x ∈ R|a ≤ x ≤ b} se denomina celda cerrada
ó intervalo cerrado.
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Sea a, b ∈ R y a ≤ b entonces el conjunto {x ∈ R|a < x ≤ b} se denomina celda semiabierta
ó intervalo semiabierto.
Sea a, b ∈ R y a ≤ b entonces el conjunto {x ∈ R|a ≤ x < b} se denomina celda semiabierta
ó intervalo semiabierto.
La celda unitaria es el conjunto [0, 1] = {x ∈ R|0 ≤ x ≤ 1} se le denota I = [0, 1].
Si se tiene la siguiente sucesión de celdas
I1 ⊇ I2 ⊇ · · · ⊇ In ⊇ · · ·
se dice que tal sucesion de celdas es nidificada.
Teorema 2. Si n ∈ N, sea In una celda no vacı́a cerrada en R y suponga que esta sucesión es
nidificada
I1 ⊇ I2 ⊇ · · · ⊇ In ⊇ · · ·
Entonces existe un elemento que pertenece a todas estas celdas.
Demostración. Suponga que In = [an , bn ] en donde an ≤ bn ∀n ∈ N como In ⊆ I1 se tiene que
an ≤ I1 ∀n ∴ {an |n ∈ N} esta acotado superiormente por lo tanto ∃ sup{an |n ∈ N} = ξ esto
implica que an ≤ ξ ∀n ∈ N. Afirmamos que ξ ≤ bn ∀n ∈ n pues si esto no ocurriera existirı́a
mN tal que bm < ξ. Dado que ξ=sup{an |n ∈ N} existe ap tal que bm < ap tomamos el mayor de
los naturales m, p y puesto que a1 ≤ a2 ≤ · · · y b1 ≥ g2 ≥ · · · se deduce que bq ≤ bm < ap ≤ aq
∴ bq < aq lo cual es una contraqdicción pues Iq = {x ∈ R|aq ≤ x ≤ bq } ∴ ξ ≤ bn ∀n ∈ N y
como an ≤ ξ ≤ bn ∀n ∈ N entonces deducimos que ξ ∈ In = [an , bn ] ∀n ∈ N
Representación Decimal
Teorema 3. Sea y > 0 existe entoces un n ∈ N tal que n − 1 ≤ y < n
Demostración. La propiedad arquimediana asegura que existen números naturales m tal que
y < m. Sea n el mı́nimo de estos números naturales entonces n − 1 ≤ y < n
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Representación decimal de los números reales
Def: Sea x ∈ R un número real cualquiera; supondremos que x ≥ 0, sin pérdida de generalidad.
Es fácil probar que existe un número natural c0 ∈ N tal que c0 ≤ x < c0 + 1
Existe c0 ∈ Z tal que para x ∈ R c0 ≤ x < c0 + 1
Dividimos el intervalo [c0 , c0+1 ] en 10 partes iguales por:
c0 , c0 +
1
,c
10 0
+
2
,c
10 0
+
3
10
+ ... + c0 +
Existe un digito 0 ≤ c1 ≤ 9 tal que:
c0 +
9
10
+ c0 + 1
c1
10
≤ 10 < c0 +
c1
10
+
1
10
Continuamos con el proceso:
Repitiendo este proceso, después de n pasos tenemos una sucesión de celdas nidificadas dada
por:
I1 = [c0 , c0 + 1]
c1
c1
1
, c0 +
+ ]
10
10 10
c1
c2
c1
1
c2
1
I2 = [c0 +
+ 2 , c0 +
+
+ 2 + 2]
10 10
10 10 10
10
I2 = [c0 +
etc.
Donde se tiene I1 ⊇ I2 ⊇ · · ·In . Según el teorema de celdas nidificadas existe un único x tal
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que x ∈
T
In ∀n ∈ N
Con lo anterior, la expresión x = c0 + 0 c1 c2 c3 ... se denomina representación decimal de x. De
manera un tanto informal se acaba de probar que todo número real tiene una representación
decimal.
La representación decimal de un número real se dice que es finita, cuando existe un n ∈ N tal
que cm = 0 ∀ m > n, es decir, cuando la representación decimal es de la forma x = cc1 c2 c3 ...cm
La representación decimal se denomina periódica cuando es de la forma a a1 a2 an bb1 ...bm
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