Representación Decimal de Números Reales 2da parte Teorema 1. Sea x ∈ R un número real no negativo. Existe entonces una única sucesión a0 , a1 , ..., an ... de números enteros 0 ≤ an ≤ 9 para n ≥ 1 tal que a0 + a1 a2 a2 an a1 an 1 + 2 + · · · n ≤ x ≤ a0 + + 2 +··· n + n 10 10 10 10 10 10 10 Demostración. Para demostrar la existencia se procede por inducción. La exitencia de a0 se da por la propiedad arquimediana a0 ≤ x ≤ a0 + 1. Para n supónemos a0 + a2 an a1 a2 an 1 a1 + 2 + · · · n ≤ x ≤ a0 + + 2 +··· n + n 10 10 10 10 10 10 10 Primero trabajaremos del lado izquierdo, es decir a0 + a2 an a1 + 2 +··· n ≤x 10 10 10 y aquı́ ocurren dos cosas 1) a0 + an+1 10n+1 a1 10 + a2 102 an + · · · 10 n = x ó a0 + a1 10 + a2 102 an + · · · 10 n < x. En el primer caso podemos sumar con an+1 = 0 y obtenemos la expresión a0 + a1 a2 an an+1 + 2 + · · · n + n+1 ≤ x 10 10 10 10 . Si ocurriera que a0 + a1 an a2 + 2 +··· n <x 10 10 10 , existirı́a una distancia entre la aproximación y el número x, la cual se puede subdividir en 10 partes, de ellas nos tomamos en entero 0 ≤ an+1 ≤ 9 tal que a0 + a1 a2 an an+1 + 2 + · · · n + n+1 ≤ x 10 10 10 10 1 Ahora del lado derecho de la expresión tenemos que a2 a2 a1 an 1 a1 an + 2 + · · · n + n = a0 + + 2 +··· n + x < a0 + 10 10 10 10 10 10 10 = a0 + 10 10 1 10n a2 a2 a1 an 10 a1 an 9 1 + 2 + · · · n + n+1 = a0 + + 2 + · · · n + n+1 + n+1 10 10 10 10 10 10 10 10 10 y en este caso podemos ver al término x < a0 + 9 10n+1 = an+1 10n+1 con 0 ≤ an+1 ≤ 9 y asi tenemos a2 a1 an an+1 1 + 2 + · · · n + n+1 + n+1 10 10 10 10 10 por tanto según lo anterior vale para n+1 y la expresión es valida para todo natural n. Tenemos un detalle Probar que 0 9 = 1 Sol.- Si r = 0 9 ⇒ 10r = 9 9 ⇒ 10r − r = 9 ⇒ 9r = 9 ⇒ r = 1 esto quiere decir que 1 = 1.0 y 1 = 0.9 son dos representaciones decimales algo distintas, sin embargo en nuestra representación decimal construida, esto no ocurre Teorema 2. No puede ocurrir que am = 9 para m > n Demostración. pues si esto ocurriera se tendrı́a a0 + a2 an 9 9 a1 + 2 + · · · n + n+1 + n+2 + · · · ≤ x 10 10 10 10 10 Trabajaremos la parte roja de la sumatoria, asi que tenemos 9 9 1 9 1 10 9 1 9 + n+2 + · · · = 1+ + 2 + ... = = 1 n+1 n+1 n+1 n+1 10 10 10 10 10 10 10 9 1 − 10 = 10 9 1 = n+1 + n+1 n+1 10 10 10 sustituyendo en la parte de arriba se tiene a0 + a1 a2 an 9 1 + 2 + · · · n + n+1 + n+1 ≤ x 10 10 10 10 10 2 9 10n+1 Tomando = an+1 10n+1 se da la representación decimal a0 + a1 a2 an an+1 1 + 2 + · · · n + n+1 + n+1 ≤ x 10 10 10 10 10 lo cual es contrario a la construcción de la representación decimal de x La representación decimal de un número real se dice que es finita, cuando existe un n ∈ N tal que am = 0 ∀ m > n, es decir, cuando la representación decimal es de la forma x = a0 a1 a2 a3 ...am La representación decimal se denomina periódica cuando es de la forma a0 a1 a2 an bb1 ...bm Todo número racional tiene una representación finita o periódica Sea x = p q un número racional escrito en forma de fracción irreducible y supongamos que es positivo. El algoritmo de la división de p por q es el que produce su represe ntación decimal, es sabido que en cada paso, el resto ha de ser un entero entre 0 y q − 1. Si en algún momento es igual a cero, la representación decimal es finita, si no es ası́, el algoritmo continua y tras a lo sumo q iteraciones, aparece un mismo resto por segunda vez; a partir de aquı́, los números naturales an de la representación decimal se van repitiendo indefinidamente y en consecuencia, la representación decimal es periódica. Recı́procamente.- Sea x un número real con representación decimal periódica (posiblemente finita). x = a a1 a2 ...b1 b2 ...bm entonces 10n x = aa1 a2 ...an b1 b2 ...bm 3 10n+m x = aa1 a2 ...an b1 b2 ...bm b1 b2 ...bm (10n+m − 10n )x = aa1 a2 ...bm − aa1 a2 ...an p =x∈ Q − 10n ) Hallar los racionales representados por 0 917 y por 2 3292 Si llamo p al entero p = (10n+m − 10n )x ⇒ (10n+m Sol.- Si p = 0 917 ⇒ 1000p = 917 917 ⇒ 1000p − p = 917 ⇒ 999p = 917 ⇒ p = 917 999 Si q = 2 3292 ⇒ 10q = 23 292 ⇒ 10000q = 23292 292 ⇒ 9990q = 23269 ⇒ q = 23269 9990 4