Problema realizado por Elena Abad Enunciado r Dadas las rectas: r determinada por el punto A(2,1) y el vector u = (a,4) y s r determinada por el punto B(-1, 4) y el vector v = (5,3) , determinar a para que r y s sean paralelas. ¿Para qué valores de a las rectas r y s son secantes? ¿Pueden ser coincidentes? Bases teóricas • En la ecuación general el vector director = (coeficiente de la y cambiado de signo, coeficiente de la x) • Para que dos rectas sean paralelas las pendientes tienen que ser iguales : r coordenada vertical del vector director b m= = ⇒ u = (a, b) = (-B, A) coordenada horizontal del vector director a • Rectas secantes son aquellas que se cortan en un punto, sus pendientes no pueden ser iguales. • Rectas coincidentes son aquellas que tienen todos los puntos comunes. Resolución gráfica 1- Se dibuja la recta s, y el punto A. Se observa que la recta s no pasa por este punto así que la recta r y la s nunca serán coincidentes. 2- Se dibuja una paralela a la recta s que pase por el punto A, sabiendo que si son paralelas tienen el mismo vector director. Cálculo Determinar a para que r y s sean paralelas: 1- Se igualan las pendientes de las rectas r y s y se despeja la a. 4 3 mr = ; ms = ⇒ mr = m s a 5 4 3 = ⇒ a 5 a= 20 3 ¿Para qué valores de a las rectas r y s son secantes? 20 , 3 porque para cualquier otro valor las pendientes no son iguales y se cortan en un punto. Las rectas r y s son secantes para cualquier valor de a que no sea a = ¿Pueden ser coincidentes? Para averiguar si las rectas son coincidentes, en primer lugar se calcula la recta r en forma general que tiene como vector director v = (5,3) y pasa por el B(-1, 4), 3x –5y +K = 0. Para hallar k obligamos que la recta pase por B, es decir: 3 (–1) –5 (4) + K = 0 K = 23 La ecuación de la recta s es: 3x –5y +23 = 0 Para comprobar que las rectas sean coincidentes, se sustituyen la “x” y la “y” por las coordenadas del punto A (si las rectas fueran coincidentes la recta s tendría que pasar por el punto A), así que se verificaría la ecuación. 3 (2) –5 (1) +23 = 0 24 ≠ 0 No son coincidentes ya que las coordenadas del punto A no verifica la ecuación de la recta s.