PROGRAMA IEM-212 Unidad I: Circuitos AC en el Estado

Auxiliar Teórico Asignatura IEM-212.
Unidad I: Circuitos AC en el Estado Senoidal Estable.
Profesor Julio Ferreira
PROGRAMA IEM-212
Unidad I: Circuitos AC en el Estado Senoidal Estable.
1.1 Introducción.
En el curso anterior consideramos la Respuesta Natural y Forzada de una red. Encontramos que la respuesta
natural era una característica de la red, e independiente de la función forzante. La respuesta forzada es una
respuesta de estado permanente a largo plazo de un circuito, dependiente directamente de la función forzante,
que hasta ahora ha sido una constante, puesto que se debe a una fuente dc.
A partir de ahora analizaremos otra función forzada muy común: la forma de onda senoidal, que describe la
forma de onda disponible en las tomas de corriente de nuestra casa, oficina, laboratorio, industrias, etc.
En este curso nos concentraremos en la respuesta forzada de estado estable en las redes con fuentes senoidales.
Ignoraremos las condiciones iniciales y la respuesta natural o transitoria, que finalmente desaparece en el tipo
de circuitos que trataremos. Nos referimos a esto como Análisis de Circuitos AC en el Estado Senoidal
Estable.
En la ingeniería eléctrica, las funciones de excitación senoidales tienen gran importancia, puesto que las
señales de fuentes de alimentación y comunicación se transmiten generalmente en forma de sinusoides o
sinusoides modificadas.
Se considera una fuente de voltaje: v(t) = VM sen wt
O en el caso de una fuente de corriente: i(t) = IM sen wt
1.2 El Generador de una onda senoidal: Operación y Características.
Trabajo de investigación.
1.1
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1.3 Propiedades y Representación de la onda senoidal: Amplitud,
Periodo, Frecuencia, Angulo de Fase, Valor Medio Eficaz.
Consideremos el siguiente voltaje variable senoidalmente:
la gráfica de este voltaje es:
v(t) = VM sen wt
Amplitud.
La amplitud (o valor máximo) de la onda senoidal es VM, y el argumento es wt. La frecuencia en radianes, o
frecuencia angular, corresponde a w.
Periodo.
En la figura anterior, VM sen wt se grafica en función del argumento wt, de donde resulta evidente la naturaleza
periódica de la onda senoidal. La función se repite cada 2π radianes y su periodo T es en consecuencia 2π
radianes.
Frecuencia.
Observemos ahora la siguiente figura:
1.2
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La forma de onda se grafica como una función del tiempo. Notemos que esta función recorre un periodo cada
T segundos: en otras palabras, en 1 segundo recorre 1/T periodos o ciclos. El número de ciclos por segundo, es
la frecuencia f, donde
La frecuencia f está en ciclos por segundo, más comúnmente llamados hertz (Hz) en honor al científico
Heinrich Hertz.
Ahora, como wt = 2π como se muestra en la figura anterior, tenemos que
Que es la relación general entre el periodo en segundos, la frecuencia en hertz y frecuencia en radianes.
Angulo de Fase.
Consideremos ahora la siguiente expresión general para una función senoidal:
v(t) = VM sen (wt + Ɵ)
En este caso, (wt + Ɵ) es el argumento de la función seno, y Ɵ se llama ángulo de fase. La gráfica de esta
función sería:
Debido a la presencia del ángulo de fase, cualquier punto de la forma de onda v(t) = VM sen (wt + Ɵ) ocurre Ɵ
radianes antes que el punto correspondiente en la forma de onda v(t) = VM sen wt. Por lo tanto, decimos que
v(t) = VM sen wt se retrasa de v(t) = VM sen (wt + Ɵ) en Ɵ radianes.
Por lo tanto, es correcto describir a sen wt como retrasada respecto a sen (wt + Ɵ) en Ɵ radianes, adelantada
a sen (wt + Ɵ) en -Ɵ radianes, o adelantada a sen (wt + Ɵ) en Ɵ radianes.
En cualquier caso, adelantada o retrasada, decimos que las sinusoides están fuera de fase. Si los ángulos de
fase son iguales, se dice que las sinusoides están en fase.
1.3
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El ángulo de fase normalmente se expresa en grados más que en radianes, asi:
v(t) = VM sen (wt + π/2)
= VM sen (wt + 90º)
Notemos que wt está en radianes, por lo tanto debemos expresarlo en grados antes de sumarle 90º.
Conversión de senos en cosenos y viceversa.
El seno y el coseno son en esencia la misma función, pero con una diferencia de fase de 90º. Por lo tanto,
podemos afirmar que:
cos wt = sen (wt + 90º)
sen wt = cos (wt - 90º)
Valor Medio Eficaz o RMS.
El valor medio eficaz es una medida de la eficacia de una fuente al suministrar potencia a una carga.
Definamos de manera arbitraria el valor eficaz en términos de una forma de onda de corriente, aunque seria
igualmente posible elegir un voltaje. El valor eficaz de cualquier corriente periódica resulta igual al valor de la
corriente directa que, al fluir a través de un resistor de R ohms, entrega la misma potencia promedio al resistor
que la corriente periódica.
En otras palabras, permitimos que una corriente periódica dada fluya por el resistor, determinamos la potencia
instantánea i².R sobre un periodo; esto es la potencia promedio. Provocamos después que una corriente directa
fluya por el mismo resistor y ajustamos el valor de la corriente directa hasta que se obtenga el mismo valor de
potencia promedio. La magnitud resultante de la corriente directa es igual al valor medio eficaz de la corriente
periódica dada.
La expresión matemática general para el valor eficaz de i(t) se obtiene con facilidad. La potencia promedio que
entrega la corriente periódica i(t) al resistor se obtiene mediante:
Donde el periodo de i(t) es T. La potencia que entrega la corriente directa corresponde a:
Igualando las expresiones de potencia y despejando IEF, obtenemos:
1.4
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Resumiendo, la operación que implica determinar un valor eficaz es la raíz cuadrada de la media del cuadrado,
el valor eficaz se denomina a menudo como el valor de la raíz cuadrática media o simplemente el valor
RMS.
Valor RMS de una onda senoidal.
Supongamos que tenemos la siguiente corriente i(t) = IM sen wt
Esta corriente tiene un periodo
Para obtener el valor eficaz:
Usando la siguiente identidad trigonométrica:
Entonces,
Por tanto, el valor RMS de una onda sinusoidal el igual al valor máximo dividido entre √ 2. De aquí que una
corriente senoidal con un valor máximo de IM entrega la misma potencia promedio a una resistencia R que una
corriente dc con un valor de IM /√ 2.
1.5
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1.4 Relación de fase entre voltajes y corrientes para circuitos que
tienen como carga Resistores, Bobinas o Condensadores.
Si aplicamos una fuente sinusoidal a una red lineal, los voltajes y corrientes de estado estable en la red también
serán sinusoidales. Por ejemplo, si un voltaje de rama es una sinusoide de alguna frecuencia, si aplicamos la
LVK en cualquier trayectoria cerrada, los otros voltajes de rama deben ser sinusoides de la misma frecuencia.
Esto significa que las funciones forzadas de las ecuaciones diferenciales que describen una red con una fuente
sinusoidal son funciones sinusoidales.
Por ejemplo, si tenemos la siguiente figura:
La aplicación de una fuente de voltaje v(t) = A cos (wt + Ɵ) producirá una corriente i(t) = B cos (wt + Φ). El
punto critico es que conocemos la forma de la respuesta de la corriente, por lo tanto la solución implica
determinar los valores de los parámetros B y Φ.
Circuitos con solo Resistores.
Si tenemos el siguiente circuito en el cual una fuente de voltaje alimenta un resistor:
de donde se ve claramente que la corriente está en fase con el voltaje.
1.6
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Circuitos con solo Bobinas.
Analicemos ahora un circuito que contenga solo inductores, como el de la siguiente figura:
Lo cual significa que en circuitos con solo inductores la corriente se retrasa 90º con respecto al voltaje.
Circuitos con solo Capacitores.
En el caso de circuitos con solo capacitores:
Lo cual significa que en circuitos puramente capacitivos la corriente se adelanta 90º con respecto al voltaje.
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1.5 Cantidades Complejas: Operaciones y Conversión.
Si tenemos el siguiente circuito:
Como la función forzante es VM cos wt, suponemos que la componente de la respuesta forzada de i(t) es de la
forma:
i(t) = A cos (wt + Ɵ)
lo cual puede escribirse de la siguiente forma:
i(t) = A cos wt cos Ɵ - A sen wt sen Ɵ = A1 cos wt + A2 sen wt
Resolviendo la ecuación diferencial de más arriba, tenemos que:
Evaluando la derivada:
Igualando los coeficientes de las funciones seno y coseno, obtenemos:
por lo tanto, tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas.
Resolviendo esas ecuaciones para A1 y A2, se obtiene:
Como originalmente teníamos que:
i(t) = A cos (wt + Ɵ) = A cos wt cos Ɵ - A sen wt sen Ɵ = A1 cos wt + A2 sen wt
podemos determinar A y Ɵ de la siguiente forma:
1.8
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de ahí que:
por lo tanto,
como
entonces,
Por lo tanto, la expresión final para i(t) es:
La expresión anterior muestra claramente que Ɵ es cero si L = 0 y por esto i(t) está en fase con v(t). En el caso
de que R = 0, Ɵ = 90º y la corriente se retrasa del voltaje en 90º. Si R y L están presentes, la corriente se
retrasa del voltaje por algún ángulo entre 0º y 90º.
Función forzada compleja.
Con el objetivo de tratar de encontrar un método de análisis más sencillo, estableceremos una correspondencia
entre funciones senoidales temporales y números complejos. Mostraremos entonces que esta relación conduce
a un conjunto de ecuaciones algebraicas para corrientes y voltajes en una red en las que los coeficientes de las
variables son números complejos.
El vehículo que emplearemos para establecer una relación entre las funciones senoidales variables en el tiempo
y los números complejos es la ecuación de Euler, la cual para nuestros propósitos se escribe:
1.9
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esta función compleja tiene una parte real y una parte imaginaria:
Real (ejwt) = cos wt
Imaginario (ejwt) = sen wt
Supongamos ahora que seleccionamos como función forzante en el siguiente circuito el voltaje v(t) = VM ejwt
El cual debido a la identidad de Euler puede escribirse como
v(t) = VM cos wt + j VM sen wt
Establecemos una función forzante compleja como dos funciones forzantes, una real y otra imaginaria, y como
consecuencia de la linealidad se aplica el principio de superposición, y así la respuesta de la corriente puede
escribirse como
i(t) = IM cos (wt + Ɵ) + j IM sen (wt + Ɵ)
donde IM cos (wt + Ɵ) es la respuesta debido a VM cos wt y j IM sen (wt + Ɵ) es la respuesta debido a j VM sen
wt. Esta expresión de la corriente que contiene un termino real y otro imaginario puede escribirse via la
ecuación de Euler como
i(t) = IM ej(wt + Ɵ)
1.10
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1.6 El Concepto de Fasor.
Una corriente o una tensión senoidal a una frecuencia determinada se caracteriza por dos parámetros: amplitud
y ángulo de fase. La representación compleja de la tensión o corriente se caracteriza también por ambos
parámetros. Por ejemplo, una forma senoidal hipotética de una respuesta de corriente sería:
i(t) = IM cos (wt + Ɵ)
y la representación correspondiente a esta corriente en forma compleja es:
i(t) = IM ej(wt + Ɵ)
Una vez que se especifican IM y Ɵ, la corriente se define de manera exacta. A través de cualquier circuito lineal
que opera en estado senoidal permanente a una sola frecuencia w, se podría caracterizar en forma completa
cada corriente o cada tensión conociendo su amplitud y su ángulo de fase.
Para evitar cargar las soluciones con información redundante, las cantidades complejas suelen escribirse en
forma polar, en vez de exponencial.
Por ejemplo, la tensión de fuente v(t) = VM cos wt
La representaremos en forma compleja como
VM ∟ 0º
y la respuesta de corriente IM cos (wt + Ɵ)
se convierte en
IM ∟ 0º
Esta representación compleja recibe el nombre de fasor.
La representación abreviada recibe el nombre de representación fasorial; los fasores son cantidades
complejas y por esto se escriben en negritas.
I = IM ∟ Θ
las letras mayúsculas se usan para la representación fasorial de una cantidad eléctrica debido a que el fasor no
es una función instantánea en el tiempo: solo contiene información de la amplitud y la fase. Reconocemos esta
diferencia del punto de vista refiriéndonos a i(t) como una representación en el dominio del tiempo y
llamando al fasor I una representación en el dominio de la frecuencia.
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1.7 Transformación Fasorial. Relaciones Fasoriales para R, L y C.
El poder real de la técnica de análisis basada en favores radica en el hecho de que se pueden definir relaciones
algebraicas entre la tensión y la corriente en inductores y capacitares, del mismo modo que lo hacemos en el
caso de los resistores. Teniendo la posibilidad de transformar dentro y fuera del dominio de la frecuencia,
procedemos a nuestra simplificación del análisis del estado senoidal permanente estableciendo la relación entre
la tensión fasorial y la corriente fasorial para cada uno de los tres elementos pasivos.
El Resistor.
para la figura anterior tenemos que v(t) = R.i(t).
Por lo tanto, VM ej(wt + Ɵ) = R.IM ej(wt + φ)
Si dividimos por ejwt, tenemos:
Por lo tanto,
VM ejƟ = R.IM ejφ
V = R.I
La relación tensión – corriente en forma fasorial para un resistor tiene la misma forma que en el dominio del
tiempo. Los ángulos Ɵ y Φ son iguales, puesto que el voltaje y la corriente están en fase.
1.12
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El Inductor.
Por lo tanto,
V = jwL.I
El Capacitor.
Por lo tanto,
I = jwC.V
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1.8 Impedancia y Reactancia. Admitancia y Susceptancia.
Impedancia.
Las relaciones de corriente – voltaje para los tres elementos pasivos en el dominio de la frecuencia son:
Se define la impedancia Z de un elemento como la razón del voltaje fasorial a la corriente fasorial. Por tanto:
Esta se llama ley de Ohm en notación fasorial.
Entonces, podemos decir que la impedancia tiene una magnitud |Z| y un ángulo de fase α = Ɵ – Φ.
La impedancia desempeña un papel similar al de la resistencia en los circuitos resistivos. Además, como es un
cociente de voltios entre amperios, tiene unidad de ohms. La impedancia es una razón entre dos favores, sin
embargo, no es un fasor en si misma, sino un numero complejo que relaciona el fasor V con el fasor I de la
forma V = Z.I.
Puesto que la impedancia es un numero complejo, se puede expresar en las siguientes formas:
donde R es la parte real de la impedancia, y suele llamarse parte resistiva; mientras que X es la parte
imaginaria de la impedancia, y suele llamarse la parte reactiva.
Se observa también que la magnitud de la impedancia es
Y el ángulo de fase es
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Los tres elementos R, L y C están representados en forma única por una impedancia que es consecuencia de su
relación V – I.
La validez de las dos leyes de Kirchhoff en el dominio de la frecuencia conduce al hecho de que se pueden
combinar las impedancias en serie y paralelo mediante las mismas reglas ya establecidas por las resistencias.
Es decir, si hay n impedancias conectadas en serie, la impedancia equivalente será:
Si hay n impedancias conectadas en paralelo, la impedancia equivalente será:
Admitancia.
El reciproco de la impedancia se llama admitancia, y se representa por Y.
La admitancia es análoga a la conductancia en los circuitos resistivos. Sus unidades son siemens, que se
abrevia S.
Por lo tanto, |Y| = 1/|Z| y el ángulo de Y es –Φ.
Si utilizamos la forma Y = R + jX, se obtiene
Note que G no es simplemente el reciproco de R, ni B el reciproco de X. La parte real de la admitancia (G) se
llama conductancia, y la parte imaginaria (B) se llama susceptancia. Las unidades de G y B son siemens.
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1.9 Circuitos ac resistivos, inductivos y capacitivos.
Hemos visto que las leyes de voltaje y de corriente de Kirchhoff se aplican en el dominio de la frecuencia, y
por tanto, se pueden usar para calcular voltajes y corrientes de estado estable en circuitos ac. Este método
incluye expresar esos voltajes y corrientes como favores, y una vez que se ha hecho esto, el análisis de
circuitos ac en el estado estable empleando ecuaciones fasoriales se lleva a cabo de manera idéntica a la
utilizada en el análisis de circuitos resistivos en dc. El álgebra de números complejos es la herramienta que se
utiliza para la manipulación matemática de las ecuaciones fasoriales. Es decir, que las técnicas que aplicamos
en la solución de circuitos resistivos en dc también son válidas en el análisis de circuitos ac, siendo la única
diferencia que en el análisis de circuitos ac en el estado estable las ecuaciones fasoriales algebraicas tienen
coeficientes complejos.
1.10 Métodos de malla y nodo en circuitos ac a Régimen Senoidal
Estable.
Como mencionamos anteriormente, el análisis de circuitos en el dominio de la frecuencia sigue el mismo
procedimiento que se utilizó en los circuitos resistivos. Como la ley de Ohm puede usarse en el dominio de la
frecuencia, se emplea la relación V = Z.I para los elementos pasivos y se procede con las técnicas del voltaje
de nodo y/o la corriente de malla.
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1.11 Diagramas fasoriales.
El diagrama fasorial es un nombre que se asigna a un dibujo en el plano complejo que muestra las relaciones
entre los voltajes fasoriales y las corrientes fasoriales para un circuito especifico: ofrece también un método
gráfico para resolver ciertos problemas y para verificar métodos de análisis más exactos.
Un diagrama fasorial es la representación gráfica de fasores y sus relaciones en el plano complejo.
Los diagramas fasoriales son usados para representar en el plano complejo las relaciones existentes entre
voltajes y corrientes fasoriales de un determinado circuito.
Para representar cualquier voltaje o corriente en el plano complejo es necesario conocer tanto su magnitud
como su ángulo de fase y de esta manera poder realizar operaciones entre ellos (suma, resta).
Otro uso de los diagramas fasoriales es la representación en el dominio del tiempo y la frecuencia, es decir que
sobre un plano se pueden representar las magnitudes (corriente, voltaje, etc) en el dominio de la frecuencia y
de el tiempo también y realizar la transformación necesaria. Para transformar una magnitud del dominio de la
frecuencia con cierta magnitud y un ángulo de fase al dominio del tiempo, solo es necesario girar el fasor en
sentido contrario a las manecillas del reloj a una velocidad angular que está dada en rad/s y tomar su
proyección sobre el eje real.
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Con los diagramas fasoriales, es posible observar el comportamiento de los voltajes y corrientes de un circuito
en estado senoidal permanente tanto en el dominio de la frecuencia como en el dominio del tiempo.
La impedancia y la admitancia son funciones de la frecuencia y, por tanto, sus valores cambian a medida que
cambia la frecuencia. Estos cambios en Z y Y tienen un efecto resultante sobre las relaciones de voltaje –
corriente en una red. Este impacto de cambios en la frecuencia sobre los parámetros del circuito puede verse
fácilmente por medio de un diagrama fasorial.
Consideremos por ejemplo el circuito RLC paralelo de la siguiente figura:
El diagrama fasorial que ilustra la relación de fase entre V, IR, IL e IC se muestra en la siguiente figura:
Para valores pequeños de w, tales que la magnitud de IL es mayor que la de IC, el diagrama fasorial para las
corrientes se muestra en la figura 1.11.3A (izquierda). En el caso de valores grandes de w, donde IC es mayor
que IL, el diagrama se muestra en la figura 1.11.3B (derecha).
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Veamos ahora el circuito RLC serie de la siguiente figura:
Tomamos como referencia el fasor I = IM ∟ 0º
Entonces, los voltajes fasoriales son:
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Presentamos ahora el diagrama fasorial:
Note que la LVK requiere que VS = VR + VL + VC
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1.12 Aplicación de Teoremas de redes a circuitos ac.
Los circuitos en el dominio de la frecuencia con corrientes, voltajes e impedancias fasoriales son análogos a
los circuitos resistivos examinados en el curso anterior. Puesto que son lineales, es de esperar que el principio
de superposición y el método de transformación de fuentes sean válidos. Además de esto, los circuitos
equivalentes de Thévenin y Norton pueden definirse en términos de impedancia o admitancia.
La Transformación de Fuentes para circuitos en el dominio de la frecuencia (fasoriales) se refiere a
transformar una fuente de voltaje y su correspondiente impedancia en serie en una fuente de corriente con su
impedancia asociada en paralelo, o viceversa.
El Principio de Superposición puede redefinirse de la siguiente manera: en un circuito lineal que contiene dos
o más fuentes independientes se puede calcular cualquier voltaje o corriente como la suma algebraica de todos
los voltajes o corrientes individuales generados por cada fuente independiente, actuando aisladamente.
Si un circuito lineal es excitado por medio de varias fuentes senoidales, todas con la misma frecuencia w,
entonces se puede utilizar el principio de superposición. Si es excitado por varias fuentes, cada una con una
frecuencia diferente, entonces se debe utilizar el principio de superposición.
El principio de superposición es particularmente útil si un circuito contiene dos o más fuentes actuando a
diferentes frecuencias. Obviamente, el circuito tendrá un conjunto de valores de impedancia a una frecuencia,
y un conjunto de valores a otra frecuencia. Se puede determinar la respuesta fasorial en cada frecuencia,
después se establece la respuesta en el tiempo que corresponde a cada respuesta fasorial, y se suman. Note que
la superposición, en el caso de fuentes que operan a 2 o más frecuencias, se aplica solo a respuestas en el
tiempo, no se pueden superponer las respuestas fasoriales.
Los Teoremas de Thévenin y Norton se aplican a voltajes o corrientes fasoriales e impedancias igual que se
aplican a circuitos resistivos.
Un procedimiento para determinar el circuito equivalente de Thévenin es el siguiente:
1. Identificar una parte del circuito separada del circuito total.
2. Determinar el voltaje de circuito abierto en los terminales.
3. a)Determinar ZTH desactivando todas las fuentes independientes y reduciendo el circuito a una
impedancia equivalente. b)Si el circuito tiene fuentes dependientes, entonces se determina ISC.
1.21
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BIBLIOGRAFIA
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Hayt, Kemmerly y Durbin (2003).; Análisis de Circuitos en Ingeniería, 6ta. Edición, MC
Graw Hill .
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Alexander y Sadiku (2000), Fundaments of Electric Circuits, McGraw Hill.
•
Bruce Carlson, Circuito, Thomson Learning (2001)
•
Johnson Hilburn y Johnson, (1991). Análisis Básico de Circuitos Eléctricos, 4ta. Edición,
Prentice Hall.
1.22