Aplicación de interpolación "spline"

B O S Q U E 20(2): 3-8, 1999
ARTICULOS
Aplicación de interpolación "spline" cúbica en
la estimación de volumen
Application of cubic "spline" interpolation in the estimation of v o l u m e
GUILLERMO TRINCADO V., JAIME VIDAL B.
Instituto de Manejo Forestal, Universidad Austral de Chile, Casilla 567, Valdivia, Chile.
SUMMARY
This study introduces the "spline" functions with the purpose of testing their utility in estimating tree volume. The
"spline" functions consists in a group of cubic equations that fittings to a series of points interpolate with exactness
values between each point. These functions estimate the value of diameters to given heights or commercial volumes
and heights to given diameters. This study presents the development of the "spline" functions and their application
in estimating volume in Lenga (Nothofagus pumilio).
Key words: "spline" function, volume estimation.
ZUSAMMENFASSUNG
Es wird eine praktische Anwendung einer kubische "Spline"-Interpolation, die als "Spline"-Funktion bekannt ist,
dargestellt. Die Methode könnte eine Alternative sein, für die Sortimentschätzung bei Laubäume ohne
Schaftfunktionen. Diese "Spline"-Funktionen erlauben die Durchmesserbestimmung bei einer beliebiegen Höhe,
Höhenbestimmung bei einem beliebiegen Durchmesser und Sortimentvolumina bei einem beliebiegen
Zopfdurchmesser genauso wie eine Schaftfunktion,
Ausserdem, diese Arbeit zeigt eine teoretische Einleitung der "Spline"-Funktionen sowie vorgegebene Ergebnisse
Ihrer Anwendung bei Lenga (Nothofagus pumilio).
Schlagwörter: "Spline"-Interpolation, Volumenschätzung.
RESUMEN
Se presenta una aplicación de las funciones de interpolación cúbica segmentaria, conocidas como funciones "spline",
como una alternativa de cubicación para aquellas especies de latifoliadas que no poseen funciones de ahusamiento.
Las funciones "spline" permiten, al igual que las funciones de ahusamiento, la estimación de diámetros a alturas
dadas, alturas a diámetros dados y volúmenes comerciales para un determinado índice de utilización. Este estudio
entrega el desarrollo teórico de las funciones "spline", al igual que algunos resultados preliminares obtenidos al
implementar el sistema para realizar la estimación de volúmenes en Lenga (Nothofagus pumilio).
Palabras claves: funciones "spline", estimación de productos.
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GUILLERMO TRINCADO V., JAIME VIDAL B.
2. INTERPOLACION CUBICA SEGMENTARIA
1. I N T R O D U C C I O N
La tendencia del sector forestal productivo es a
La interpolación consiste en e s t i m a r v a l o r e s
a u m e n t a r la cantidad y calidad de los productos a
intermedios entre cada par de puntos o n o d o s que
extraer del b o s q u e , sobre todo si se trata de rodales
c o m p o n e n u n a serie de datos (Chapra y R a y m o n d
naturales y sin manejo c o m o es el caso de los
1988). La interpolación segmentaria en lugar de
b o s q u e s nativos de nuestro país. Esto hace necesa-
emplear un único p o l i n o m i o de a p r o x i m a c i ó n de
rio contar con n u e v a s herramientas que permitan
alto grado para la totalidad de los datos, calcula
obtener u n a información volumétrica a nivel de
un polinomio entre cada par de puntos, los cuales
p r o d u c t o s m á s exacta que la lograda al utilizar
u n i d o s forman un c o n t i n u o ( A t k i n s o n y A r l e y
m é t o d o s de predicción tradicionales.
1983).
U n a posible técnica alternativa es la aplicación
El tipo m á s simple de interpolación segmentaria
de i n t e r p o l a c i ó n c ú b i c a s e g m e n t a r i a o funciones
es la interpolación lineal segmentaria, que consis-
" s p l i n e " en e s t i m a c i ó n de variables d a s o m é t r i c a s
te en unir un conjunto de puntos con una serie de
tales c o m o d i á m e t r o a distintas alturas, alturas a
líneas rectas. La desventaja de aproximar u s a n d o
distintos d i á m e t r o s y e s p e c i a l m e n t e v o l ú m e n e s
funciones de este tipo es que en cada u n o de los
t o t a l e s o h a s t a un d e t e r m i n a d o í n d i c e de u t i l i -
extremos de los intervalos no existe u n a unión
zación.
continua. El p r o b l e m a anterior se soluciona al uti-
El origen del concepto spline proviene del uso
lizar interpolación cúbica segmentaria ("spline"),
de una lámina de plástico delgada llamada
la cual asegura la continuidad de la curva en los
curvígrafo ("spline") en el trazado de curvas sua-
extremos de los intervalos al utilizar p o l i n o m i o s
ves a través de un conjunto de puntos (Sheid 1991).
c ú b i c o s entre c a d a p a r de datos. E s t e tipo de
L a s funciones " s p l i n e " son ecuaciones cúbicas que
polinomios posee cuatro constantes, lo cual le con-
m o d e l a n el c o m p o r t a m i e n t o de las curvas realiza-
fiere suficiente flexibilidad c o m o para asegurar la
das p o r dicho instrumento, permitiendo unir en
primera y segunda derivada continuas, logrando
forma suave y continua u n a serie de puntos. Debi-
una unión suave entre los segmentos que forman
do a esta característica las funciones " s p l i n e " han
la curva, y evitando las posibles oscilaciones que
e n c o n t r a d o en el sector forestal u n a gran variedad
ocurrirían con polinomios de alto grado (Sheid
citado por
1991). M a t e m á t i c a m e n t e una función " s p l i n e " cú-
G o u l d i n g (1979), utilizó funciones " s p l i n e " para
bica q u e d a definida p o r la siguiente e x p r e s i ó n
adaptar u n a curva a un histograma y obtener una
(Burden et al. 1991):
de
aplicaciones.
Wahba (1976),
función probabilística de densidad empírica. M á s
tarde Liu (1980) demostró que, dada una serie de
m e d i c i o n e s de radios distribuidos a lo largo del
fuste, es posible, a partir de funciones "spline", la
construcción de m o d e l o s segmentados que aproxim a n la forma fustal con m u c h a exactitud. Se ha
c o m p r o b a d o que una función " s p l i n e " estima el
v o l u m e n con m a y o r exactitud y precisión que la
fórmula de Smalian, utilizando mediciones de diámetro a intervalos irregulares efectuadas con
dendrómetros ópticos (Goulding 1979). Saborowski
et al. (1981) utilizan este tipo de funciones en la
Si(x) interpola cualquier punto x q u e se encuen-
estimación de v o l ú m e n e s en plantaciones j ó v e n e s ;
tre dentro del intervalo (x i , xi+1), siendo necesario
de Picea y Nagel & Athari (1982) las emplean como
que S sea igual a S
herramienta para la realización de análisis fustales.
facer la continuidad de la interpolación en los
i
A través de este estudio se describe una m e t o -
i+1
en el p u n t o x i+l para satis-
puntos de unión de las funciones (nodos).
dología posible de implementar para su utilización
Cada función forma una serie de p u n t o s entre
en la estimación de productos en árboles en pie,
un par de n o d o s , y el conjunto de funciones q u e d a
t o m a n d o c o m o ejemplo práctico resultados preli-
definido en (A, B) donde A = x0 < x1 < ...< xn = B
minares obtenidos para bosques Lenga {Nothofagus
c o m o se muestra en la figura 1.
pumilio) de la XII Región.
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FUNCIONES "SPLINE", ESTIMACION DE PRODUCTOS
Figura 1. Representación gráfica del ajuste de una función "spline".
Graphical representation of the fitting of a "spline" function.
El conjunto de funciones cúbicas ("spline") para
asegurar u n a continuidad debe cumplir con las siguientes condiciones (Burden et al. 1991):
•
S es un p o l i n o m i o c ú b i c o , d e n o t a d o S en el
s u b i n t e r v a l o [ x i , x i + 1 ] p a r a c a d a i = 0, 1,...,
n -1;
•
S(x¡) = f{xi) Para cada i = 0, l,....n;
•
i
S tiene la p r i m e r a y s e g u n d a derivada iguales
en todos los n o d o s interiores;
•
Figura 2. Esquema de la ubicación de los nodos en el
fuste.
Representation of node location on stem profile.
Se satisface u n a de las dos siguientes condiciones de frontera:
i) S ' ' ( x 0 ) =
S''(xn)
El a u m e n t o de p u n t o s de m e d i c i ó n p e r m i t e un
= 0 frontera libre
m e j o r a m i e n t o de la calidad de ajuste del " s p l i n e " ;
sin e m b a r g o , es p o c o p r o b a b l e que esta mejora se
ii)<S' (x0) =f(x0) y S'(x )
jeta.
n
=f'(xn) frontera su-
justifique e c o n ó m i c a m e n t e .
La figura 2 representa un fuste dividido en tres
secciones, cada u n a de las cuales está definida p o r
3. ESTIMACION DE PRODUCTOS
un par de n o d o s . Se p u e d e constatar que los dos
n o d o s interiores son c o m p a r t i d o s p o r los s e g m e n -
La m e t o d o l o g í a p a r a la aplicación práctica de
tos adyacentes. U n a representación gráfica de la
las funciones " s p l i n e " consiste en seccionar cada
posición de los n o d o s en el fuste se p u e d e obser-
fuste en varias partes, p u n t o s en los cuales se debe
var en forma esquemática en la figura 3.
realizar la m e d i c i ó n del diámetro y la altura de
En la figura 3a se p u e d e n observar los tres seg-
sección desde la b a s e . De esta m a n e r a se obtiene
m e n t o s en que está dividido el fuste y los n o d o s
u n a serie d e p u n t o s , cada u n o representando u n a
que los limitan. En cada intervalo se debe ajustar
p o s i c i ó n en el fuste. Se ha c o m p r o b a d o que se
un p o l i n o m i o cúbico que a p r o x i m a r á la forma del
d e b e m e d i r al m e n o s un m í n i m o de cuatro p u n t o s
fuste en ese s e g m e n t o , luego las tres funciones
en el fuste p a r a obtener estimaciones aceptables
(Vidal 1998). Por m o t i v o s prácticos los p u n t o s a
m e d i r son g e n e r a l m e n t e el diámetro de tocón (d t ),
el diámetro a 1.3 m ( d 1 . 3 ) , un diámetro superior
(d s ) m e d i d o a u n a cierta altura determinada, y el
diámetro a la altura de c o m i e n z o de copa (dc), tal
c o m o se e s q u e m a t i z a en la figura 2.
que c o m p o n e n el fuste se u n e n en cada u n o de los
nodos en forma continua, p u d i é n d o s e estimar cualquier diámetro o altura a lo largo del fuste. En la
figura 3b se p u e d e n observar gráficamente la forma que adquiere la curva y la continuidad de ésta
en los n o d o s , al ajustar la función " s p l i n e " .
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GUILLERMO TRINCADO V., JAIME VIDAL B.
El ajuste de las funciones " s p l i n e " y el cálculo
de v o l u m e n se realiza individualmente para cada
árbol, por lo cual es necesaria la implementación de
rutinas computacionales, con los algoritmos de
cálculo de coeficientes del "spline" (Feldman 1992).
IMPLEMENTACION PRACTICA DEL SISTEMA
Esta técnica fue utilizada en la estimación de
v o l u m e n comercial e n u n a m u e s t r a destructiva d e
70 árboles de L e n g a (Nothofagus pumilio).
Figura 3. Representación gráfica de los puntos de referencia para ajuste de la función "spline".
Graphical representation of the reference points necessary for
"spline" fitting
La estimación del v o l u m e n fustal se obtiene
resolviendo la integral definida de cada función
entre los límites correspondientes al s e g m e n t o del
fuste, aplicando la siguiente fórmula:
En cada árbol se realizaron mediciones de altura y
diámetro a la altura de tocón (0.3 m ) , D A P (1.3 m)
y posteriormente cada dos metros hasta la altura de
comienzo de copa. Mediante interpolación lineal se
determinó el diámetro al 4 0 % de la altura comienzo
de copa. Finalmente el volumen total se obtuvo calculando volumen de la primera sección asemejando
la forma de un cilindro y las restantes mediante la
fórmula de Smalian (Avery y Burkhart 1994).
Para el ajuste de la " s p l i n e " se e m p l e ó un total
de cuatro m e d i c i o n e s a lo largo del fuste, las cuales correspondieron al diámetro de tocón, d i á m e tro a 1.3 m, diámetro al 4 0 % de la altura de c o m i e n z o de c o p a y el diámetro al c o m i e n z o de c o p a
viva. A continuación se m u e s t r a n algunos resultados de error y sesgo p r o b a b l e , los cuales se obtuvieron al calcular p a r a cada u n a de las clases de
alturas relativas los siguientes estadísticos:
ESTIMACION DE DIAMETROS PARA
DIVERSAS ALTURAS
El v o l u m e n total fustal se obtiene de la s u m a
La figura 4 muestra los valores de error ( R E M C )
de las funciones integradas p a r a cada u n o de los
y sesgo ( D I F A ) que presenta la " s p l i n e " en la e s -
tres intervalos:
timación de diámetros a partir de alturas reales.
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FUNCIONES "SPLINE", ESTIMACION DE PRODUCTOS
Figura 4. Medidas de error y sesgo en la estimación de diámetros a diversas alturas relativas: (a) Raíz del error
medio cuadrático (REMC) y (b) Diferencia agregada (DIFA).
Error and bias in diameter estimate at different relative heights: (a) root mean square error (RMSE) and (b) aggregated
difference (AD).
A partir de la figura 4a se p u e d e observar que
las estimaciones p r e s e n t a n bajos valores de error a
la altura del t o c ó n a u m e n t a n d o hasta el 3 5 % de la
altura d o n d e alcanza el 6%. En las partes superiores el error d i s m i n u y e llegando a valores inferiores del 2% en la parte central del fuste. En la parte
m e d i a superior del fuste los valores del error vuelv e n a a u m e n t a r con un m á x i m o cercano al 7% en
el 8 0 % de la altura.
La tendencia general de las funciones " s p l i n e "
es a subestimar los diámetros en la m i t a d inferior
del fuste y a sobreestimar los diámetros en la parte
superior del fuste, tal c o m o se muestra en la figura
4 b . L a m a y o r subestimación s e presenta e n e l 3 0 %
de la altura, llegando a valores de sesgo cercanos
a 4 % . A partir del 3 5 % de la altura se tiende a
sobreestimar, llegando a valores de sesgo cercan o s al 4% en el 7 0 % de la altura.
ESTIMACION DE VOLUMEN ACUMULADO
La figura 5 entrega los resultados de error de
p r e d i c c i ó n ( R E M C ) y diferencia agregada ( D I F A )
para la estimación de v o l u m e n a c u m u l a d o p o r secciones del fuste.
A partir de la figura 5a se o b s e r v a que los errores m á s altos se presentan en la parte central del
fuste ( 6 % ) y los m á s bajos en la parte superior.
P o r otro lado, se tienden a subestimar lo largo de
todo el fuste, alcanzando valores no m a y o r e s al
3 % (figura 5b).
5. C O N C L U S I O N E S
Se puede concluir que las funciones "spline" presentan posibilidades de desarrollo c o m o un instrum e n t o para la estimación de variables dasométricas
y volúmenes comerciales para árboles en pie. Su
m a y o r complejidad matemática p u e d e ser resuelta
por m e d i o de programación computacional, siendo
compensada por u n a m a y o r precisión en las estimaciones. A su vez las variables de difícil medición
por su localización en el fuste (diámetros superiores) p u e d e n ser obtenidas e m p l e a n d o instrumentos
ópticos de medición o bien mediante la construcción de m o d e l o s predictivos.
Figura 5. Medidas de error y sesgo en la estimación de volumen acumulado: (a) Raíz del error medio cuadrático
(REMC) y (b) Diferencia agregada (DIFA).
Error and bias in cumulative volume estimate at different relative heights: (a) root mean square error (RMSE) and (b) aggregated
difference (AD).
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GUILLERMO TRINCADO V., JAIME VIDAL B.
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