UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID TEORÍA CLÁSICA DE LAMINADOS Carlos Navarro Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras LAMINADOS NO A PL IO D ME AM L L DE DO A IN Para definir el laminado se emplearán los siguientes criterios: - Se definirán las láminas desde el exterior hacia el interior del laminado. - Se indicará con un número el ángulo que forman las fibras con la dirección de referencia y, mediante un subíndice, el número de láminas seguidas que poseen esta orientación. - Cuando se defina la secuencia de apilamiento de todas las láminas del laminado se empleará el subíndice T para indicar que, el laminado, ha sido definido en su totalidad. - Cuando se trate de un laminado simétrico, sólo se expresará la secuencia de apilado de uno de los lados y utilizaremos el subíndice S para indicar que el laminado es simétrico. LAMINADOS Ejemplos de nomenclatura: Un laminado simétrico compuesto por 3 láminas a 90º, 2 a 0º, 1 a -45º y otra a +45º puede nombrarse de las siguientes maneras alternativas: - [903, 02,-45,+45,+45,-45,02,903]T [903, 02,-45,+45]S [903, 02,-45,+452,-45,02,903]T Si laminado anterior tuviera una lámina justo en el plano de simetría que, por ejemplo, presentara una orientación de sus fibras de 90º, su nomenclatura sería: • [903, 02,-45,+45,90,+45,-45,02,903]T • [903, 02,-45,+45,90]S Un laminado puede, también, estar constituido por una secuencia de "sublaminados" que se repiten. Así, por ejemplo, un laminado realizado a base de sublaminados, podría ser: - [02,60,+453]2S - [02,60,+452}S - [02,60,+45,02,60,+45,02,60,+45,02,60,+45]T LAMINADOS Laminados simétricos: ANTES DEL PROCESO DE CURADO DESPUES DEL PROCESO DE CURADO Laminado no simétrico Laminado simétrico LAMINADOS Posibles secuencias de apilamiento simétricas para evitar la pérdida de planitud del laminado una vez que la resina ha curado: 0o 90o 0/90/90/0 [0,90]s 90/0/0/90 [90,0]s PLACAS LAMINADAS PLACAS LAMINADAS TEORIA CLASICA DE LAMINADOS ¡Cada lámina se supone trabajando en tensión plana! TEORIA CLASICA DE LAMINADOS RIGIDEZ EN EL PLANO DE LAMINADOS SIMETRICOS Hipótesis: El material compuesto presenta un comportamiento elástico-lineal hasta rotura El laminado tiene un espesor pequeño (laminado delgado) La deformación de cualquier lámina es igual a la del laminado (comportamiento solidario de todas las láminas) x z x z TEORIA CLASICA DE LAMINADOS Nyx Ny x Nxy Nx Nx Nxy Nyx y Ny z Vector de cargas (N/m): ⎧Nx ⎫ ⎪ ⎪ {N } = ⎨ N y ⎬ ⎪N ⎪ ⎩ xy ⎭ TEORIA CLASICA DE LAMINADOS Vector de tensiones: ⎧σ x ⎫ {σ } = ⎪⎨σ y ⎪⎬ ⎪τ ⎪ ⎩ xy ⎭ Vector de deformaciones: ⎧ ε x ⎫ ⎧ ε x0 ⎫ {ε } = ⎪⎨ ε y ⎪⎬ = ⎪⎨ ε 0y ⎪⎬ = ε 0 ⎪γ ⎪ ⎪γ 0 ⎪ ⎩ xy ⎭ ⎩ xy ⎭ { } h/ 2 h/ 2 −h / 2 −h / 2 {N } = ∫ {σ }dz = ∫ [Q ]{ε }dz ⎡ h/ 2 ⎤ {N } = ⎢ ∫ Q dz ⎥ ⋅ ε 0 −h / 2 ⎣1 4243⎦ ⎡ A⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ [ ] {N } = [A]⋅ {ε 0 } { } en N/m TEORIA CLASICA DE LAMINADOS RIGIDEZ A FLEXIÓN DE LAMINADOS SIMETRICOS Hipótesis: Hipótesis de Kirchhoff: 1.- La rectas perpendiculares al plano medio, antes de que el laminado se deforme, siguen permaneciendo rectas una vez que el laminado se haya deformado. 2.- Las rectas perpendiculares al plano medio no experimentan ningún tipo de deformación longitudinal (el laminado no cambia de espesor) 3.- Las rectas perpendiculares al plano medio permanecen perpendiculares a la superficie que adquiere dicho plano una vez que que el laminado flecte. Por tanto, las secciones planas ortogonales al plano medio del laminado siguen siendo planas y ortogonales a la superficie que adquiera dicho plano una vez que el laminado haya flectado. TEORIA CLASICA DE LAMINADOS Hipótesis (Cont.): El comportamiento del material se supone elástico lineal. Las láminas se encuentran trabajando solidariamente unas a otras No existen tensiones fuera del plano de cada lámina (σz= τxz= τyz=0): las láminas trabajan en condiciones de tensión plana TEORIA CLASICA DE LAMINADOS x, u Plano medio y, v z, w Campo de desplazamientos: u=u (x,y,z) v=v (x,y,z) w=w (x,y,z) TEORIA CLASICA DE LAMINADOS My Myx x Mx Mxy y Mxy My Mx z Myx ⎧ Mx ⎫ ⎪ ⎪ Vector de cargas (Momentos, N.m/m): {M } = ⎨ M y ⎬ ⎪M ⎪ ⎩ xy ⎭ TEORIA CLASICA DE LAMINADOS CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS EN EL LAMINADO Utilizando las hipótesis de Kirchhoff y llamando u0, v0 y w0 a los desplazamientos del plano medio: u0 O zP z uP = uO − z P β uP = uO − z x P w0 uP ∂ wO β= ∂x ∂ wO ∂x O P β β zPβ De la misma manera podríamos llegar a que: v P = vO − z ∂ wO ∂y Dado que la deformación εz es nula: w P = wO TEORIA CLASICA DE LAMINADOS CAMPO DE DEFORMACIONES EN EL LAMINADO: ∂ 2 wO ∂ uP ∂ uO = −z εx = ∂x ∂x ∂ x2 ∂ 2 wO ∂ v P ∂ vO = −z εy = ∂y ∂y ∂ y2 εz = 0 γ xy ∂ 2 wO ∂ uP ∂ v P ∂ uO ∂ vO = + = + − 2z ∂y ∂x ∂y ∂x ∂ x∂ y γ xz = 0 γ yz = 0 TEORIA CLASICA DE LAMINADOS ⎧ ε x ⎫ ⎧ ε xo ⎫ ⎧ κ x ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ o⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ε y ⎬ = ⎨ ε y ⎬ + z⎨κ y ⎬ ⎪γ ⎪ ⎪γ o ⎪ ⎪κ ⎪ ⎩ xy ⎭ ⎩ xy ⎭ ⎩ xy ⎭ ⎫ ⎧ ∂ uO ⎪ ⎪ ∂ x ⎧ ε xo ⎫ ⎪ ⎪ ∂ vO ⎪ o⎪ ⎪ ⎪ ε = ⎬ ⎨ y⎬ ⎨ ∂ y ⎪ ⎪γ o ⎪ ⎪ xy ⎩ ⎭ ⎪ ∂ uO ∂ vO ⎪ ⎪∂ y + ∂ x⎪ ⎭ ⎩ Vector de deformaciones en el plano medio ⎧ ∂ 2 wO ⎫ ⎪ ⎪ 2 x ∂ ⎧κ x ⎫ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ wO ⎪ = − κ ⎨ y⎬ ⎨ ⎬ 2 y ∂ ⎪κ ⎪ ⎪ ⎪ 2 xy ⎩ ⎭ ⎪ ∂ wO ⎪ ⎪ 2 ∂ x∂ y ⎪ ⎩ ⎭ Vector de curvaturas TEORIA CLASICA DE LAMINADOS Laminado simétrico sometido a flexión pura: ε =ε =γ o x o y o xy =0 ⎧ ε x ⎫ ⎧κ x ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ε y ⎬ = z⎨κ y ⎬ ⎪γ ⎪ ⎪κ ⎪ ⎩ xy ⎭ ⎩ xy ⎭ TEORIA CLASICA DE LAMINADOS M x z x z h/ 2 h/2 h/2 −h / 2 - h/2 - h/2 h/2 ⎤ ⎡ 2 2 Q {κ } z dz = ⎢ ∫ Q z dz ⎥{κ } ⎣-h/2 ⎦ {M } = ∫ {σ } z dz = ∫ [Q ]{ε } z dz = ∫ [ ] [ ] [D] {M } = [D]{κ } TEORIA CLASICA DE LAMINADOS RIGIDECES DE LAMINADOS SIMÉTRICOS Rigidez en el plano: {N } = [A]⋅ {ε 0 } h/ 2 [A] = ∫ [Q ]dz (en N/m) −h / 2 Rigidez a flexión: {M } = [D]{κ } h/2 [D] = ∫ [Q ] z 2 dz - h/2 (en N.m) TEORIA CLASICA DE LAMINADOS RIGIDEZ A FLEXION DE LAMINADOS NO SIMETRICOS M x N x {ε } = {ε }+ z {κ } z o {σ } = [Q ]{ε } z {N } = ∫−h / 2 {σ } dz = ∫−h / 2 [Q ]{ε } dz = ∫−h / 2 [Q ]{ε o }dz h/ 2 h/ 2 h/ 2 144244 3 ⎧ ⎫ ⎡ A⎤ ⎪ε o ⎪ ⎨ ⎬ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎪⎩ ⎪⎭ {M } = ∫−h / 2 {σ } z dz = ∫−h / 2 [Q ]{ε } z dz = ∫−h / 2 [Q ]{ε h/ 2 h/ 2 h/ 2 + [Q ]{k} z dz ∫144 2443 h/ 2 −h / 2 ⎡ ⎢⎣ B ⎤⎥⎦ {k } }z dz + ∫ [Q ]{k} z h/ 2 2 dz 1442443 1442443 ⎡ B ⎤ {ε o } ⎡ D ⎤ {k } ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ o −h / 2 TEORIA CLASICA DE LAMINADOS z0=h/2 zi 1 2 z1 z2 zi-1 x h i N b y z TEORIA CLASICA DE LAMINADOS {N} = [A] {ε o }+ [B]{k} (en N/m) {M} = [B] {ε o }+ [D]{k} (en N) (i) [A] = ∑ [Q ] [z (i) − z ( i −1) ] m (en N/m) i =1 [B ] = 1 ∑ [Q ] [(z (i) )2 − (z ( i −1) )2 ] (i) m 2 i =1 [ ] [(z ) − (z ) ] 1 m [D] = ∑ Q 3 i =1 (i) (i) 3 ( i −1) 3 (en N) (en N.m) TEORIA CLASICA DE LAMINADOS ⎧ N x ⎫ ⎡ A11 ⎪N ⎪ ⎢ ⎪ y ⎪ ⎢A12 ⎪⎪ N xy ⎪⎪ ⎢A16 ⎨ ⎬=⎢ ⎪ M x ⎪ ⎢ B11 ⎪ M y ⎪ ⎢ B12 ⎪ ⎪ ⎢ ⎪⎩M xy ⎪⎭ ⎢⎣ B16 A12 A 22 A 26 B12 B22 B26 A16 A 26 A 66 B16 B26 B66 B11 B12 B16 D11 D12 D16 B12 B22 B26 D12 D 22 D 26 0 ⎧ B16 ⎤ ε x ⎫ ⎪ 0 ⎪ ⎥ B26 ⎥ ⎪ ε y ⎪ B66 ⎥ ⎪⎪γ 0 xy ⎪⎪ ⎥⎨ ⎬ D16 ⎥ ⎪ κ x ⎪ D 26 ⎥ ⎪ κ y ⎪ ⎥⎪ ⎪ D 66 ⎥⎦ ⎪⎩κ xy ⎪⎭ TEORIA CLASICA DE LAMINADOS En resumen: ⎧⎪ N ⎫⎪ ⎡ A B ⎤ ⎧⎪ ε 0 ⎫⎪ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬=⎢ ⎪⎩ M ⎪⎭ ⎢⎣ B D ⎥⎦ ⎪⎩ κ ⎪⎭ Si el laminado fuese simétrico: [B] = 0 ⎧⎪ N ⎫⎪ ⎡ A 0 ⎤ ⎧⎪ε 0 ⎫⎪ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬=⎢ ⎪⎩M ⎪⎭ ⎢⎣ 0 D⎥⎦ ⎪⎩ κ ⎪⎭ {N} = [A]{ε 0 } {M} = [D]{κ} Quedan desacoplados los comportamientos en el plano y a flexión TEORIA CLASICA DE LAMINADOS TIPOS DE LAMINADOS •Simétrico •Antimétrico •Balanceado •Cuasi-Isótropo •Láminas cruzadas (Cross-Ply laminate) •Láminas a ± α (Angle-Ply laminate) • Ortotrópico TEORIA CLASICA DE LAMINADOS LAMINADOS SIMETRICOS: •Láminas del mismo material, espesor, y orientación, dispuestas simétricamente respecto al plano medio •Ejemplo: [+θ/−θ/−θ/+θ] •Característica principal: Bij=0 •Característica mecánica: No existe acoplamiento entre cargas en el plano y flexión ⎧ N x ⎫ ⎡ A11 ⎪N ⎪ ⎢ ⎪ y ⎪ ⎢A12 ⎪⎪ N xy ⎪⎪ ⎢A16 ⎨ ⎬=⎢ M x ⎪ ⎪ ⎢ B11 ⎪ M y ⎪ ⎢ B12 ⎪ ⎪ ⎢ ⎪⎩M xy ⎪⎭ ⎢⎣ B16 A12 A 22 A16 A 26 B11 B12 B12 B22 A 26 B12 B22 A 66 B16 B26 B16 D11 D12 B26 D12 D 22 B26 B66 D16 D 26 B16 ⎤ ⎧ ε 0 x ⎫ ⎪ ⎪ B26 ⎥⎥ ⎪ ε 0 y ⎪ B66 ⎥ ⎪⎪γ 0 xy ⎪⎪ ⎥⎨ ⎬ D16 ⎥ ⎪ κ x ⎪ D 26 ⎥ ⎪ κ y ⎪ ⎥⎪ ⎪ D 66 ⎥⎦ ⎪⎩κ xy ⎪⎭ TEORIA CLASICA DE LAMINADOS LAMINADOS ANTIMETRICOS: •Las láminas que ocupan posiciones simétricas tienen orientaciones del mismo ángulo pero con signo distinto, son del mismo material y espesor. •Ejemplo: [+θ/-θ/+θ/-θ] •Característica importante: A16=A26=0 D16=D26=0 •Característica mecánica: Difíciles de analizar porque B16 y B26 no son nulos. ⎧ N x ⎫ ⎡ A11 ⎪N ⎪ ⎢ ⎪ y ⎪ ⎢A12 ⎪⎪ N xy ⎪⎪ ⎢A16 ⎨ ⎬=⎢ M x ⎪ ⎪ ⎢ B11 ⎪ M y ⎪ ⎢ B12 ⎪ ⎪ ⎢ ⎪⎩M xy ⎪⎭ ⎢⎣ B16 A12 A 22 A16 A 26 B11 B12 B12 B22 A 26 B12 B22 A 66 B16 B26 B16 D11 D12 B26 D12 D 22 B26 B66 D16 D 26 B16 ⎤ ⎧ ε 0 x ⎫ ⎪ ⎪ B26 ⎥⎥ ⎪ ε 0 y ⎪ B66 ⎥ ⎪⎪γ 0 xy ⎪⎪ ⎥⎨ ⎬ D16 ⎥ ⎪ κ x ⎪ D 26 ⎥ ⎪ κ y ⎪ ⎥⎪ ⎪ D 66 ⎥⎦ ⎪⎩κ xy ⎪⎭ TEORIA CLASICA DE LAMINADOS LAMINADO BALANCEADO •Descripción: Por cada lámina + θ, hay otra a -θ, y por cada una a 0° hay otra a 90° •Ejemplo: [0/45/90/-45] •Características: Q16(θ )=-Q16(-θ) Q26(θ )=-Q26(-θ) •Característica importante: A16=A26=0 ⎧ N x ⎫ ⎡ A11 A12 A16 B11 B12 B16 ⎤ ⎧ ε 0 x ⎫ ⎪N ⎪ ⎢ ⎥⎪ ε0 ⎪ A A A B B B D16=D26=0 y 12 22 26 12 22 26 ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ y ⎪ ⎪⎪ N xy ⎪⎪ ⎢A16 A 26 A 66 B16 B26 B66 ⎥ ⎪⎪γ 0 xy ⎪⎪ B11=B22=B12=0 ⎥⎨ ⎨ ⎬=⎢ ⎬ M x ⎪ ⎪ ⎢ B11 B12 B16 D11 D12 D16 ⎥ ⎪ κ x ⎪ •Característica mecánica: ⎪ M y ⎪ ⎢ B12 B22 B26 D12 D 22 D 26 ⎥ ⎪ κ y ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ Nx=B16κxy ⎪⎩M xy ⎪⎭ ⎢⎣ B16 B26 B66 D16 D 26 D 66 ⎥⎦ ⎪⎩κ xy ⎪⎭ TEORIA CLASICA DE LAMINADOS LAMINADO CUASI-ISOTROPO •El laminado se comporta como una placa isótropa •Su comportamiento en el plano es similar al de los materiales isótropos •La rigidez a flexión es diferente a la de las placas con materiales isótropos •Se define como: kπ + θ0 θk = N donde k es el número de lámina, N=el número total de láminas (>=3) y θ0 es un ángulo arbitrario •Igual número de láminas a –0, 45, -45, 90 o –0, 60, -60 •La matriz A es independiente de la orientación de aplicación de las cargas •Sin embargo, B y D sí que dependen de dicha orientación TEORIA CLASICA DE LAMINADOS LAMINADO DE LAMINAS CRUZADAS Y LAMINADO ±θ° •Láminas cruzadas: láminas a 0° y 90°, solamente: [D] =0 Fácil de analizar si es simétrico ([B]=0) •Laminado a ±θ°: láminas con esas dos orientaciones Si es simétrico: A16=A26=0; Bij=0; D16≠0; D26≠0 Si es antimétrico: A16=A26=0; D16=D26=0; B16≠0; B26≠0 TEORIA CLASICA DE LAMINADOS LAMINADO ESPECIALMENTE ORTÓTROPO •Laminado de láminas cruzadas o giradas θ Tejidos bidireccionales A16=A26=0 D16=D26=0 B16= B26 =0 TEORIA CLASICA DE LAMINADOS MODULOS EQUIVALENTES DEL LAMINADO: •Módulos equivalentes: Ex, Ey, Gxy, νxy Definido para laminados simétricos y balanceados Propiedades de una placa ficticia equivalente que se comporta de manera análoga al laminado bajo cargas en el plano No utilizables para casos de flexión puesto que: D16≠0; D26≠0 2 A11A 22 − A12 Ex = tA 22 2 A11A 22 − A12 Ey = tA11 A 66 t A ν xy = 12 A 22 G xy = TEORIA CLASICA DE LAMINADOS CALCULO DE LAMINADOS •Pasos: 1) Calcular las deformaciones que sufre el laminado a partir de las cargas en el plano y momentos a él aplicados 2) Referir las deformaciones obtenidas a los ejes materiales en cada lámina 3) Calcular las tensiones dentro de cada lámina en el sistema de ejes materiales 4) Aplicación del criterio de rotura a cada lámina TEORIA CLASICA DE LAMINADOS Paso 1: Cálculo de deformaciones globales en el laminado ⎧ε ⎫ ⎧N⎫ ⎨ ⎬ = [F]⎨ ⎬ ⎩M ⎭ ⎩κ⎭ o {ε} = ε + z{κ} o { } TEORIA CLASICA DE LAMINADOS Paso 2: Cálculo de las deformaciones en cada lámina en ejes materiales: {ε}12 = [R ][T][R ] {ε}xy −1 Paso 3: Cálculo de las tensiones en cada lámina en ejes materiales: {σ}12 = [Q]{ε}12 TEORIA CLASICA DE LAMINADOS Paso 4: Aplicación del criterio de rotura a cada lámina Rotura de la primera lámina: - En ella se alcanza un estado tenso-deformacional que verifica el criterio de rotura empleado. - El laminado seguiría trabajando pero se debe eliminar (o ir degradando sus propiedades) la lámina rota, suponiendo que cada una de las otras láminas conserva sus propiedades y su posición original. - Hay que determinar las nuevas matrices A,B y D sin considerar la lámina rota (o considerándola con unas propiedades “degradadas”) y repetir el proceso de cálculo para obtener las nuevas tensiones y deformaciones en cada una de las láminas restantes. Repitiendo este proceso, podríamos ir eliminando láminas a medida que se van rompiendo hasta llegar a la rotura de la última lámina. TEORIA CLASICA DE LAMINADOS 1. Suponer elásticamente cargado el laminado. 2. Calcular las tensiones y deformaciones en cada lámina. 3. Aplicar el criterio de rotura a cada lámina. 4. Incrementar la carga hasta que se produzca la rotura de la primera lámina. 5. Modelizar el comportamiento postrotura de la lámina. 6. Recalcular las matrices de rigidez del laminado y redistribuir las cargas entre las láminas que siguen trabajando. 7. Continuar el proceso hasta que rompa la siguiente lámina. 8. Volver al paso 5 y continuar así hasta que rompan todas las láminas del laminado. TEORIA CLASICA DE LAMINADOS Carga Rotura última lámina N (x 3 ) Rotura tercera lámina, k=3 N (x 2 ) ( N x ) Total Rotura segunda lámina, k=2 Rotura primera lámina, k=1 N (x1 ) n=1 ε (x1 ) n=3 n=2 ε (x 2 ) ε (x 3 ) Deformación (ε ) x Total TEORIA CLASICA DE LAMINADOS HIPÓTESIS MÁS SIMPLE: •Si una lámina rompe, su matriz de rigidez de hace nula •La lámina rota NO SOPORTA ninguna carga. Por tanto, la carga total aplicada es absorbida por el resto de láminas y las tensiones se redistribuyen. Esta redistribución puede llevar a la rotura inmediata de otras láminas. Cuando la redistribución de cargas cause la rotura de todas las láminas, diremos que el laminado ha roto. TEORIA CLASICA DE LAMINADOS (n ) ⎫ n ⎧N ⎧⎪ N ⎫⎪ ⎪ ⎪ = ∑⎨ ⎨ ⎬ ⎬ ( n) ⎪⎩M ⎪⎭Total k =1 ⎪⎩M ⎪⎭ 0 (n ) n ⎧ε ⎧⎪ ε 0 ⎫⎪ ⎫⎪ ⎪ = ∑⎨ ⎨ 0⎬ ⎬ 0 (n ) ⎪⎩κ ⎪⎭Total k =1 ⎪⎩κ ⎪⎭ ⎧⎪ N (n ) ⎫⎪ ⎡ A (n ) ⎨ (n ) ⎬ = ⎢ ( n ) ⎪⎩M ⎪⎭ ⎢⎣ B A(n ) , B (n ) , D (n ) son las matrices modificadas de rigidez después de la rotura de la (n - 1) ésima [ Dependen de las matrices de rigidez Q (n ) de las láminas que siguen trabajando. B (n ) ⎤ ⎧⎪ ε 0 (n ) ⎫⎪ ⎥⎨ ⎬ D(n ) ⎥⎦ ⎪⎩κ 0 (n ) ⎪⎭ ] .