Clase 6 • Modelos Equivalentes Motivación: Estación de bomberos

Pontificia Universidad Católica
Escuela de Ingeniería
Departamento de Ingeniería Industrial y de Sistemas
Clase 6 • Modelos Equivalentes
ICS 1102 • Optimización
Profesor : Claudio Seebach
Apuntes de Clases • Optimización • Claudio Seebach
Introducción al Modelamiento • 35
Motivación: Estación de bomberos
Ejemplo 1 Considere el problema de localizar una estación de bomberos
en una ciudad con el siguiente criterio: que el tiempo máximo de respuesta de la bomba a eventos en cinco edificios de asistencia masiva
sea lo más breve posible:
• 2 Hospitales
• 2 Colegios
• 1 Supermercado
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Definición: Modelos Equivalentes
• Un problema se puede modelar de varias formas diferentes
• Dos modelos son equivalentes si ambos tienen las mismas
soluciones óptimas o bien si existe una transformación que
permite construir la solución de uno de los modelos a partir de la solución del otro
• Para un mismo problema se busca aquel modelo que facilita su resolución.
• Presentaremos siete equivalencias que pueden facilitar la modelación de
muchos problemas.
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Equivalencia I
P ) max f (x)
x∈D
∼
P!) min [−f (x)]
x∈D
x
" es solución óptima de P ), con valor óptimo v",
si y sólo si
x
" es solución óptima de P!), con v(P!) = −"
v.
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Equivalencia I
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Ejemplo Equivalencia I
Ejemplo 2 Algunos ejemplos de esta equivalencia son:
Maximizar utilidad ∼ Minimizar pérdida.
Maximizar probabilidad de sano ∼ Minimizar prob. de enfermo.
• Dado un problema de maximización, procedemos a cambiar el signo de
la función de costo, para luego resolver el problema de minimización
equivalente.
• Conocida la solución óptima x∗ y el valor óptimo v(P!), la solución
óptima de P ) es x∗ y el valor óptimo v(P ) = −v(P!).
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Equivalencia II
P ) min f (x)
x
∼
sujeto a
x ∈ D ⊂ Rn
P!) min µ
x,µ
sujeto a
f (x) ≤ µ
x ∈ D ⊂ Rn
µ∈R
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Equivalencia II
P ) min f (x)
x
sujeto a
x ∈ D ⊂ Rn
∼
!
P!) min µ
x,µ
sujeto a
f (x) = µ
x ∈ D ⊂ Rn
µ∈R
!
! = D × R ⊂ Rn+1,
• El nuevo dominio de P!) o P!) es: D
•x
" es solución óptima de P ) con valor óptimo v" = v(P ), si y sólo si
!
("
x, µ) es solución óptima de P!) o P!) con valor óptimo v".
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Equivalencia II
• En el nuevo problema el objetivo es encontrar un µ lo más pequeño
posible tal que exista un x que satisfaga f (x) ≤ µ.
• µ∗ cumple con ser el óptimo al problema pues existe un x∗ ∈ D tal que
f (x∗) ≤ µ∗ y ∀µ < µ∗ !x ∈ D tal que f (x) ≤ µ.
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Equivalencia III
• Sea un problema cuyo objetivo es encontrar un punto tal que el máximo
entre n funciones evaluadas en el punto sea mı́nimo:
P)
min( max fi(x))
x∈D i=1,...,n
• De acuerdo a la Equivalencia II el problema P ) puede convertirse
en el siguiente problema equivalente:
P!) min µ
max fi(x) ≤ µ
i=1,...,n
x ∈ D
µ ∈ R
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Equivalencia III
• Gráficamente:
• La función no tendrá necesariamente de una derivada continua, por lo
que podemos estar minimizando una función no diferenciable.
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Equivalencia III
• La nueva desigualdad puede expresarse como n desigualdades individuales:
!
P!) min µ
fi(x) ≤ µ
∀i = 1, ..., n
x ∈ D
µ ∈ R
• Este último problema contempla sólo funciones diferenciables.
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Ejemplo Equivalencia III
• El siguiente ejemplo tiene una función objetivo es no lineal y cuya derivada no es
continua.
$
#
7x1 + 6x2 + 5x3 5x1 + 9x2 + 4x3
P ) max(min
,
)
4
3
s.a
8x1 + 5x2 + 3x3 ≤ 100
6x1 + 9x2 + 8x3 ≤ 200
x 1 , x2 , x 3 ≥ 0
• Identifiquemos un problema equivalente cuyas funciones tengan derivadas continuas.
• De la Equivalencia I, P ) es equivalente a:
P!) min(− min {f1(x), f2(x)})
x∈D
• Además: − min {f1(x), f2(x)} = max {−f1(x), −f2(x)} , por lo tanto P!) es equivalente a
!
P!) min(max {−f1(x), −f2(x)})
x∈D
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Ejemplo Equivalencia III
!
• De la Equvalencia III P!) es equivalente a:
!
!
P!) min µ
s.a. − f1(x) ≤ µ
−f2(x) ≤ µ
x∈D
µ ∈ R.
o equivalentemente:
!
!
!
P!) max µ
!
s.a. µ
! ≤ f1(x)
µ
! ≤ f2(x)
x∈D
µ
! ∈ R.
• Este problema es derivable en el espacio D × R.
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Equivalencia III
• En resumen:
P ) max( min {fi(x)})
i=1,...,n
s.a. x ∈ D
es equivalente a
!
P!) max µ
s.a. µ ≤ fi(x) ∀i = 1, ..., n
x ∈ D
µ ∈ R.
• Este problema lineal es equivalente al problema original.
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Ejemplo Equivalencia III
Ejemplo 3 En un callejón de 100 metros de largo hay un prófugo que necesita
ubicarse en el lugar que tenga menos luz. En el callejón hay 4 focos con diferentes
caracterı́sticas (altura, potencia, posición). Suponga que la intensidad de luz que
llega al prófugo es sólamente la del foco que alumbra más en dicho punto y que para
estos efectos los postes (si los hubiera) se pueden considerar transparentes. Suponga
que la intensidad de luz de cada foco se puede considerar inversamente proporcional
a la distancia entre el foco y el prófugo y directamente proporcional a la potencia
del foco.
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Ejemplo Equivalencia III
De esta forma, al prófugo le interesará pararse en el lugar que haya menos luz, es decir,
su función objetivo será:
min(max {f1, f2, f3, f4})
donde
fi = &
ki
0 ≤ x ≤ 100
+ (xi − x)2
en que ki, xi y hi corresponden a la potencia, ubicación y altura respectivamente de cada
foco. La única variable del problema es la ubicación del prófugo, x.
h2i
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Equivalencia IV
• Consideremos el siguiente problema:
P)
min
r
%
fi(!x)
i=1
!x ∈ D ⊂ Rn
• Este problema puede expresarse en forma equivalente como:
r
%
!
P ) min
µi
i=1
fi(!x) ≤ µi;
!x ∈ D
!µ ∈ Rr
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∀i = 1, ..., r
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Ejemplo Equivalencia IV
Por ejemplo:
P ) min(|x1| + |x2|)
x1 + 2x2 ≥ 1
P!)
min µ1 + µ2
|x1| ≤ µ1
|x2| ≤ µ2
x1 + 2x2 ≥ 1
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Ejemplo Equivalencia IV
Lo que también equivale a: (Problema Lineal Equivalente)
!
P!) min µ1 + µ2
x1
−x1
x2
−x2
x1 + 2x2
µ1, µ2
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≤
≤
≤
≤
≥
∈
µ1
µ1
µ2
µ2
1
R
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Equivalencia IV
En términos generales se puede decir que:
r
%
P ) min
|fi(x)|
i=1
x ∈ D ⊂ Rn
P!) min
r
%
µi
i=1
fi(x)
−fi(x)
x
µ
≤
≤
∈
∈
µi ;
µi ;
D
Rr
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∀i = 1, ..., r
∀i = 1, ..., r
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Equivalencia V
• Si la función g : f (D) ⊂ R → R es estrictamente creciente sobre D
entonces:
min f (x) ∼ min g(f (x))
x∈D
x∈D
– La solución óptima será la misma en ambos casos, pero no ası́ los
valores óptimos.
– Sea x∗ el óptimo del problema original.
– Por lo tanto f (x∗) ≤ f (x) ∀x ∈ D. Como g(x) es estrictamente
creciente, si x1 ≤ x2 entonces g(x1) ≤ g(x2).
– Ası́, necesariamente g(f (x∗)) ≤ g(f (x)) ∀x ∈ D y por lo tanto
ambos problemas arrojarán la misma solución óptima.
– Ejemplo: cambiar la escala de unidades de la función objetivo de
dólares a pesos (U S$ → $)
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Ejemplo Equivalencia V
Ejemplo 4 Determinar el punto más cercano al origen (0,0) que satisfaga 2x1 + x2 ≥ 2.
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Ejemplo Equivalencia V
• Si el problema P ) está bien formulado (i.e. el argumento de la raı́z es
no negativo para todo x ∈ D) se puede siempre prescindir de la raiz.
&
P ) min r(x)
x∈D
con
r(x) ≥ 0 ∀x ∈ D
P!)
min r(x)
x∈D
• Si x
" es solución óptima de &
P!) con v(P!) = r("
x), entonces x
" es solución
óptima de P ) con v(P ) = r("
x).
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Equivalencia VI
P)
1
x∈D f (x)
P!)
∼
min
f (x) > 0, ∀x ∈ D
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max f (x)
x∈D
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Equivalencia VI
Demostración:
• Consideremos el caso particular en que g(y) = ln y, estrictamente creciente ∀y > 0.
• Aplicando la Equivalencia V P ) es equivalente a:
'
(
1
!!
P ) min ln
= min − ln f (x)
x∈D
x∈D
f (x)
!
• De la Equivalencia I, P!) es equivalente a:
!
!
P!)
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max ln f (x)
x∈D
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Demostración Equivalencia VI
!
!
• De la Equivalencia V, con g(y) = ey , P!) es equivalente a:
!
!
!
P!)
max f (x).
x∈D
• Es importante notar que esta equivalencia solo corresponde si f (x) es
estrictamente positivo en todo D.
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Equivalencia VII
• El problema:
• Es equivalente a:
P!)
P)
min(g(x) + max {fi(x)})
x∈D
i=1,...,r
min µ1 + µ2
x∈D
g(x) ≤ µ1
fi(x) ≤ µ2
µ1, µ2 ∈ R.
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∀i = 1, ..., r
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Ejercicio
Considere el siguiente problema no lineal y escriba un problema equivalente
lineal y diferenciable:
max ln(max{|x1 + x2 − 1|, |2x1 − 3x2 − 8|} + |3x1 − 1|)
sujeto a x1 + 2x2 ≤ 5 y x1, x2 ≥ 0
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