Estimación Puntual Contexto: Estudiamos la caracteristica X de una población. Supo nemos que X se modeliza por un modelo de Probabilidad conocido Respecto al parámetro X P ( x ) X f ( x ) Parámetro desconocido Espacio Paramétrico Objetivo: Dar la mejor estimación del parámetro que pertenezca al Espacio paramétrico Ejemplos Intuitivos: Para la distribución de Bernoulli aproximar el Parámetro p por la media. Similarmente para la Normal Definición: Sea ( X 1 , X 2 ,...., X n ) una muestra aleatoria de una caracteristicaX de una población con función de masa P ( x ) (caso discreto), o con función de densidad f ( x )(caso continuo) donde es desconocido. Un estimador puntual de , es una función T que a cada muestra ( x1 , x2 ,..., xn ) le hace corresponder una estimación T ( x1 , x2 ,..., xn ) de ( x1 , x2 ,......, xn ) T ( x1 , x2 ,......, xn ) aproximación de Nota 1: Podemos estimar tambien una función del parámetro g ( ) Nota 2: ¿Qué es T(X_1,X_2,…X_n)? Un Estadistico, es decir una variable aleatoria diseñada para aproximar el parámetro Nota 3: ¿Siguiente Objetivo? Decidir que estimadores puntuales Son razonables? Metodos Definición Sea X1 ,...., X n una muestra aleatoria de una población X con una función de masa P , o función de densidad f donde =(1, 2 ,....., k ). El estimador por el metodo de los momentos =( 1 , 2 ,....., k ) se obtiene al resolver 1 n 1 n 2 1 n 2 k E[X]= X i , E[X ]= X i ....., E[X ]= X i k n i 1 n i 1 n i 1 Funciona bien con la normal y la Bernoulli Problema: La solución no pertenece al espacio paramétrico Método de Maxima verosimilitud Definición Sea X1 ,...., X n una muestra aleatoria de una población X con una función de masa P , o función de densidad f donde =(1, 2 ,....., k ). La función de maxima verorimilitud asociada a la muestra (x1, x2 ,...., xn ) se define como: L[ ]=L( , x1, x2 ,...., xn ) P ( x1 )P ( x2 ).....P ( xn ) en el caso discreto y como L[ ]=L( , x1, x2 ,...., xn ) f ( x1 ) f ( x2 )..... f ( xn ) Método de Maxima verosimilitud Definición Sea X1 ,...., X n una muestra aleatoria de una población X con una función de masa P , o función de densidad f donde =(1 , 2 ,....., k ). El estimador de máxima verosimilitud =( 1 , 2 ,....., k ) es el que maximiza la función de máxima verosimilitud Observaciones • La función de maxima verosimilitud expresa la probabilidad de que hubiera ocurrido la muestra en función del parámetro. • Siempre pertenece al espacio paramétrico Si es el estimador de máxima verosimilitud de , g ( ) es el estimador de g( ) ¿Cómo se calcula? Se trabaja con ln(L( )) Condición necesaria dLn( L( )) 0 d i Se resuelve el sistema de k ecuaciones Sesgo y Error Cuadrático medio El error cuadrático medio de un estimador T para estimar se define como E[(T ) ] 2 P: ¿Qué quiere decir que el error cuadrático medio es cero? Analizando el Error Cuadrático Medio E[(T )2 ] E[(T E[T ]) 2] E[( E[T ] ) 2 ] =E[(T-E[T]) 2 ] ( E[T ] ) 2 V[T] Sesgo de T, S(T) Definición: Un estimador T es insesgado (centrado) para estimar Θ cuando verifica E [T ] Ejemplos: La media muestral y la cuasivarianza muestral Una regla de Probabilidad Util (La ley de la probabilidad total) X 1, X 2 Variables aleatorias n X 2 Bi i 1 n P ( X 1 A) P ( X 1 A | X 2 Bi ) P ( X 2 Bi ) i 1 Caso concreto y práctico X 1 B(1, p), X 2 B(1, q) P( X 1 1) P( X 1 1| X 2 1) P( X 2 1) P( X 1 1| X 2 0) P( X 2 0)