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PROCESOS DE NACIMIENTO Y MUERTE DE
PARÁMETRO CONTINUO



Este tipo de procesos sirven para modelizar
cambios en el tamaño de una población en
cualquier instante de tiempo.
X(t): número de individuos en la población en el
instante t
Planteamiento idéntico al de los procesos de
nacimiento y muerte de parámetro discreto:


Obtención de las probabilidades de estado, P(X(t)=k)
Obtención, si existen, de las probabilidades de
equilibrio
PROCESOS DE NACIMIENTO Y MUERTE DE
PARÁMETRO CONTINUO
 X(t) es un PNMPC sí y sólo sí:
 Cadena de Markov de parámetro continuo.
 En un período infinitesimal de tiempo (t,t+h)
sólo se puede pasar a los estados vecinos (no
nacimientos ni muertes múltiples ni
simultáneos en (t,t+h))
k + 1(nacimiento)

=
si X ( t ) k , entonces
=
X ( t + h )  k -1(una muerte )
k (ni nac. ni mue.)

Los
nacimientos y muertes se producen de
forma independiente.
OBTENCIÓN DE LAS PROBABILIDADES DE
ESTADO EN PROCESOS DE NACIMIENTO Y
MUERTE DE PARÁMETRO CONTINUO





X(t): número de individuos en la población en el
instante t
λk = tasa de nacimientos (número medio) cuando
hay k elementos en la población/unidad tiempo.
µk = tasa de muertes (número medio) cuando hay
k elementos en la población/unidad tiempo.
En colas: nacimiento = llegada; muerte = salida.
Intentamos obtener las probabilidades de estado
para cualquier k y t, P(X(t) = k).
Tomando h > 0 y k > 0, tenemos:
({ X ( t ) = k − 1} ∩ {1 nacimiento en ( t, t + h]}) +
+ P ({ X ( t ) = k + 1} ∩ {1 muerte en ( t , t + h ]} ) +
+ P ({ X ( t ) =k } ∩ {ni nacimiento ni muerte en ( t , t + h ]} ) =
P ( X (t + h) = k ) = P
=
P ( X (t ) =
k − 1) λk −1h + P ( X ( t ) =
k + 1) µk +1h +
+ P ( X ( t ) = k ) 1 − ( λk + µk ) h 
Despejando,
P ( X (t + h) = k ) − P ( X (t ) = k )
=
P ( X (t ) =
k − 1) λk −1 +
h
k + 1) µk +1 − P ( X ( t ) =
k ) ( λk + µk )
+ P ( X (t ) =
Tomando límites en ambas partes cuando h tiende a 0
d
P ( X (t ) =
k) =
P ( X (t ) =
k − 1) λk −1 + P ( X ( t ) =
k + 1) µk +1 −
dt
k ) ( λk + µk )
− P ( X (t ) =
Veamos el caso k = 0
({ X ( t ) = 0} ∩ {ningún nacimiento en ( t, t + h]}) +
+ P ({ X ( t ) =
1} ∩ {1 muerte en ( t , t + h ]} ) =
P ( X (t + h ) = 0) = P
= P ( X ( t ) = 0 ) (1 − λ0 h ) + P ( X ( t ) = 1) µ1h
Despejando y tomando límites cuando h tiende a 0
d
−P ( X (t ) =
P ( X (t ) =
0) =
0 ) λ0 + P ( X ( t ) =
1) µ1
dt
• La obtención de P(X(t) = k) pasa por resolver el sistema de
ecuaciones diferenciales resultante.Solamente en algunos casos
sencillos este sistema tiene solución exacta.
•En la mayoría de los casos interesa estudiar la solución cuando
el sistema se estabiliza, es decir, P(X(t) = k) no dependen de t
y, por tanto, las derivadas respecto de t son 0.
•Vamos a ver desarrollar el caso que nos interesa y finalmente
veremos un ejemplo de la primera situación.
OBTENCIÓN DE LAS PROBABILIDADES DE
EQUILIBRIO EN PROCESOS DE NACIMIENTO
Y MUERTE DE PARÁMETRO CONTINUO

Sea X(t): número de individuos en la población
en el instante t. Introducimos la notación:
lim X ( t ) = X : tamaño de la población cuando se
t →∞
estabiliza el sistema
lim P ( X ( t=
) k=) P ( X= k=) pk
t →∞

Vamos a obtener las probabilidades de equilibrio,
pk (caso discreto: qk) , y estudiar las condiciones
bajo las cuales existen. Para ello, volvemos al
sistema de ecuaciones diferenciales visto con
anterioridad.
d
P ( X (t ) =
k) =
P ( X (t ) =
k − 1) λk −1 + P ( X ( t ) =
k + 1) µk +1 −
dt
k ) ( λk + µk )
− P ( X (t ) =
d
P ( X (t ) =
0) =
−P ( X (t ) =
0 ) λ0 + P ( X ( t ) =
1) µ1
dt
Cuando el sistema se estabiliza, la derivada es cero y las
probabilidades de estado se acercan a las probabilidades de
equilibrio, si éstas existen. Tenemos, por tanto, el sistema:
=
0 pk −1λk −1 + pk +1µk +1 − pk ( λk + µk ) ∀ k ≥ 1
0=
− p0 λ0 + p1µ1 k =
0
Es el mismo sistema que resolvimos en procesos de nacimiento
y muerte de parámetro discreto
Este sistema se podía haber obtenido a partir del diagrama
de estado del proceso, usando que en equilibrio, la tasa de
entrada en un estado es igual a la tasa de salida de ese
estado.
λk-1
λ0
0
1
k-1
λk
k
k+
1
.................
µ1
µk
............
µk+1
pk −1λk −1 + pk +1µk +1
=
pk ( λk + µk )
Tasa de salida del estado
k
Tasa de entrada en estado
k
=
Igualando, llegamos al sistema siguiente:
=
0 pk −1λk −1 + pk +1µk +1 − pk ( λk + µk ) ∀ k ≥ 1
Para el estado 0, tenemos que:
Tasa de entrada en estado 0 = p1µ1
Tasa de salida en el estado 0 = p0 λ0
Igualando, tenemos la última ecuación del sistema:
0=
− p0 λ0 + p1µ1 k =
0
La solución del sistema es:
λ0 ⋅ λ1 ⋅ ... ⋅ λk −1
pk
p0 ∀ k ≥ 1
=
µ1 ⋅ µ2 ⋅ ... ⋅ µk
Como debe de verificarse que la suma de las probabilidades
es 1, tenemos que
∞
∑p
k =0
k
=1
Despejando, obtenemos el valor de p0
p0 =
1
λ j −1
1 + ∑∏
k =1 j =1 µ j
∞
k
Para que este conjunto de valores sean una verdadera
distribución de probabilidad, debe de cumplirse que p0 >0.
Esto sucede sí y sólo sí la serie que aparece en el
denominador de la expresión para p0 es convergente, es decir
λ j −1
<∞
∑∏
k =1 j =1 µ j
∞
k
Esta condición asegura la existencia de las probabilidades
de equilibrio del proceso.
• APLICACIÓN A SISTEMAS DE COLAS: el proceso
L(t):número de clientes en el sistema en el instante t
es un proceso de nacimiento y muerte de parámetro
continuo sí y sólo sí:
•T: tiempo entre llegadas consecutivas al sistema es
Exponencial.
•S: tiempo de servicio de cada servidor es Exponencial.
•Nacimiento = llegada al sistema; individuales.
•Muerte = salida del sistema
EL PROCESO DE POISSON

Veamos un ejemplo en que sí es posible obtener las
probabilidades de estado, P(X(t) = k), en un proceso
de nacimiento y muerte de parámetro continuo
resolviendo el sistema de ecuaciones diferenciales
que habíamos obtenido. El sistema era:
d
P ( X (t ) =
k) =
P ( X (t ) =
k − 1) λk −1 + P ( X ( t ) =
k + 1) µk +1 −
dt
k ) ( λk + µk )
− P ( X (t ) =
k >0
d
P ( X (t ) =
0) =
−P ( X (t ) =
0 ) λ0 + P ( X ( t ) =
1) µ1 k = 0
dt
EL PROCESO DE POISSON



X(t): número de nacimientos hasta el instante t.
Es un proceso de nacimiento puro donde no se
producen muertes.
El sistema de ecuaciones diferenciales resultante
en este caso en que λk = λ y µk = 0 es:
d
P ( X ( t ) =k ) =λ  P ( X ( t ) =k − 1) − P ( X ( t ) =k )  si k ≥ 1
dt
d
P ( X (t ) =
0) =
−λ P ( X ( t ) =
0 ) si k =
0
dt
EL PROCESO DE POISSON

La solución de este sistema es:
P ( X (t ) = k ) =


e
− λt
( λt )
k!
k
∀k ≥ 0
Para comprobarlo, simplemente derivar la
expresión anterior y ver que verifica las
ecuaciones del sistema.
Por su semejanza con la distribución de Poisson,
este proceso recibe el nombre de PROCESO DE
POISSON.
EL PROCESO DE POISSON

TEOREMA: X(t) es un proceso de Poisson de parámetro
λt sí y solo sí la distribución de la variable T: tiempo entre
nacimientos consecutivos es exponencial de parámetro λ.

Demostración: Vamos a calcular la función de
distribución de la variable T, FT (t):
P (T > t )
P ( en
=
( 0, t ) no haya ningún nacimiento )
= P ( X ( t=
) 0=) e− λt
Entonces, FT (t) será:
FT ( t ) =P (T ≤ t ) =1 − P (T > t ) =1 − e − λt
EL PROCESO DE POISSON
Derivando la función de distribución de T, obtenemos su
densidad
− λt
′ ( t ) f=
FT=
t
λ
e
si λ > 0
T ( )
Por tanto, T sigue una distribución exponencial de
parámetro λ como se pretendía demostrar
EL PROCESO DE POISSON

Propiedad: La distribución exponencial es la única
distribución continua que no tiene memoria, es decir, si T
sigue una distribución exponencial parámetro λ, entonces
P (T > t + h / T > =
t ) P (T > h )
Esta
propiedad nos servirá para estudiar algunos procesos
estocásticos que se podrán considerar de Markov si la
distribución exponencial está implicada.
Ejemplo:
L(t): número de clientes en el sistema en el instante
t es de Markov sí y solo sí las variables que miden el tiempo
entre llegadas consecutivas de clientes al sistema y el tiempo
de atención en el sistema tienen distribución exponencial.