Cada apartado de cada problema vale 0,5 puntos. Los tres puntos

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID EXAMEN ESTADÍSTICA ACTUARIAL I FEBRERO 2007
Cada apartado de cada problema vale 0,5 puntos. Los
tres puntos restantes se obtienen de la calificación
de las prácticas presentadas.
Conteste, por favor, a los problemas en el orden en que
están enunciados. Duración del examen 3 horas
1) La experiencia del número de reclamaciones de 4000 pólizas es la siguiente :
X
Rec.
0
3288
1
642
2
66
3
4
a. Contrastar el ajuste a la distribución de Poisson mediante un test del bondad del ajuste
basado en la Chi-cuadrado, indicando si el ajuste es aceptable (95%).
b. Contrastar, de igual manera, el ajuste a la distribución Binomial Negativa de parámetro
r=100.
2) Se pretende que las indemnizaciones pagadas por una compañía de seguros se distribuyan
con arreglo a una distribución exponencial truncada definida, a través de su función de distribución, como:
⎧1 − e − λx 0 ≤ x < m
FX (x ) = ⎨
x≥m
⎩1
a. Calcular el valor del parámetro m para que el pago máximo afecte al 25% de las reclamaciones de mayor valor.
b. Calcular el pago medio en dichas condiciones, es decir, con el valor de m calculado en el
apartado anterior.
3) Una compañía de seguros califica a sus asegurados en dos tipos A y B. Sabe que al tipo A
pertenecen un 35% de los potenciales asegurados, sabe también que el número de reclamaciones trimestrales de los asegurados tipo A sigue una distribución de Poisson de parámetro λ=3, mientras que las del tipo B sigue una distribución de Poisson de parámetro
λ=1.
a. Calcular la probabilidad de que un asegurado cualquiera tenga, en un semestre, un número de accidentes mayor que cero y menor que 3.
b. Inicialmente la compañía clasifica a un nuevo cliente en el grupo de menor riesgo (B), calcular cómo varia la creencia de la pertenencia a este grupo de menor riesgo, si durante el
primer semestre el asegurado tiene un accidente y cómo varia de nuevo si durante el segundo tiene 2.
4) Sea la densidad dada por
⎧4 xe −2 x
fX (x ) = ⎨
⎩0
x>0
resto
a. Calcular la función generatriz de momentos asociada.
b. Usando la función generatriz de momentos calcular la media y la varianza de la variable
alaeatoria.
UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID EXAMEN ESTADÍSTICA ACTUARIAL I FEBRERO 2007
5) Sea una variable aleatoria cuya función de densidad viene dada por:
⎧ α−1 − y β
⎪⎪ y ⋅ e
fY (y) = ⎨ βα ⋅ Γ ( α )
⎪
⎪⎩0
y≥0
resto
a. Deducir, resolviendo la integral correspondiente, E[Y].
b. Deducir, resolviendo la integral correspondiente, Var[Y].
6) Una empresa de paquetería se cuestiona disminuir sus tarifas si disminuye significativamente el peso medio unitario de los paquetes. Se eligen aleatoriamente 8 paquetes y se
pesan, resultando:
Peso en Kg.
7,2 6,8 7,3 7,0 7,3 7,3 7,5 7,3
a. Construya un intervalo de confianza para el peso medio al 95 %
b. La empresa sabe que si el peso medio de los paquetes es inferior a los 7.3 Kg., los costes
por paquete disminuyen considerablemente, de forma que se debería aplicar otra tarifa.
De acuerdo con lo que nos indican los datos muestrales, ¿debería hacerlo? (95%).
7) Durante 200 días se probó, en lotes de 4, un artículo nuevo, obteniéndose las siguientes
frecuencias de días en los que fallaron X artículos.
X
Días
0
38
1
74
2
63
3
21
4
4
a. Deducir la distribución teórica y compararla con los datos calculando las frecuencias absolutas teóricas (no es necesario el test de bondad del ajuste).
b. Calcular la probabilidad de que en los próximos 200 días haya más de 40 y menos de 60
días, en los que no falle ningún artículo (indicar el cálculo).