PROBLEMA 230 (propuesto por Marcel Chirita, Bucarest, Rumanı́a) Demostrar que se verifica la siguiente desigualdad triangular: a a b c b c max 1+ 1+ , 1+ 1+ ≥ 4. 1+ , 1+ b c c a a b Solución por Daniel Lasaosa Medarde, Universidad Pública de Navarra, Pamplona, España Demostramos el siguiente resultado,más general: Sea (u, v, w, x, y, z) una permutación cualquiera de ab , cb , ac , ac , ab , cb . Entonces, max {(1 + u)(1 + x), (1 + v)(1 + y), (1 + w)(1 + z)} ≥ 4, con igualdad si y sólo si a = b = c. Claramente uvwxyz = 1, mientras que el resultado a demostrar es equivalente a que max {u + x + ux, v + y + vy, w + z + wz} ≥ 3. √ 3 Por la desigualdad entre medias aritmética y geométrica, u + x + ux ≥ 3 u2 x2 , con igualdad si y sólo si u = x = ux, es decir si y sólo si u = x = 1 por ser u, x reales positivos. Nos basta entonces con demostrar que max{ux, vy, wz} ≥ 1, claramente cierta porque ux, vy, wz son tres reales positivos con producto igual a 1. Nótese que se da la igualdad en esta última relación si y sólo si ux = vy = wz = 1, y en estas condiciones, se da la igualdad en la anterior si y sólo si, simultáneamente, u = x = 1, v = y = 1, y w = z = 1. Es decir, se da la igualdad en la desigualdad alternativa a la propuesta, si y sólo si a = b = c, como querı́amos demostrar. 1