Álgebra lineal Unidad I 1.4. Forma polar y exponencial de un número complejo M.C. Ángel León Unidad I - Números complejos 1.4. Forma polar y exponencial de un número complejo Hemos visto la representación rectangular de un número complejo y como se definen las operaciones elementales para un número complejo en forma rectangular. Sin embargo, existen otras formas de representar al mismo número complejo que facilitan las operaciones, éstas son la forma polar y la forma exponencial. Cuando hablamos de la forma polar de un número complejo, nos referimos a un segmento de recta que está ubicado en un plano rectangular. Este segmento de recta tiene dos características importantes, tiene un ángulo medido desde el eje horizontal positivo hasta el segmento de recta y además, el segmento de recta tiene una longitud, tal y como se muestra en la siguiente figura: Im La distancia del segmento de recta se calcula igual que el modulo del número complejo expresado en forma rectangular: 3 r Re2 Im2 2 Mientras que el ángulo lo obtendremos como: 1 tan 0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 Re 2.5 op Im Im tan 1 ady Re Re Figura 1. Número complejo en forma polar De manera que un número complejo en su forma polar se expresa como: Im Z r r , 3 El ángulo de un número complejo no es único. Si medimos el ángulo en sentido contrario a las manecillas del reloj se considera un ángulo positivo, pero si medimos el ángulo en sentido de las manecillas del reloj será un ángulo negativo, según lo muestra la Figura 2. 2 1 0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 Figura 2. Ángulo de un número complejo polar Re 1 de 4 Álgebra lineal Unidad I 1.4. Forma polar y exponencial de un número complejo M.C. Ángel León Por lo tanto, podemos establecer la siguiente regla de conversión polar a rectangular y rectangular a polar Relación Rectangular - Polar Sea Z a bi un número complejo rectangular. A partir de Z , su expresión en forma polar Z r será: r a 2 b2 b tan 1 a Y de acuerdo a la Figura 2, podemos establecer una conversión polar a rectangular usando las funciones trigonométricas: Im La parte real de número complejo rectangular la obtendremos como: 3 Re a r cos 2 Y la parte imaginaria: 1 0 0.0 Im bi r sen i 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 Re Figura 3. Realción polar - rectangular Relación Polar - Rectangular Sea Z r un número complejo expresado en forma polar. A partir de Z , su expresión en forma rectangular Z a bi está dada por: a r cos b rsen i 2 de 4 Álgebra lineal Unidad I 1.4. Forma polar y exponencial de un número complejo M.C. Ángel León Si expresamos al número complejo como un par ordenado: Z r r cos rsen i r cos , rsen i r cos ,sen i A la última expresión se le conoce como forma trigonométrica de un número complejo. Algunos libros manejan una forma abreviada como: Z rCiS Hagamos una tabla donde se resuman todas las formas que hemos visto para expresar un número complejo: Tabla I. Resumen de las formas de expresar un número complejo Rectangular Binómica Z a bi Polar Z r Abreviada rCiS Binómica trigonométrica Z r cos rsen i Par ordenado a, b Z r , Ejercicios: Dados los siguientes números complejos, expréselos en su forma polar y grafíquelos. a) 3 4i b) 4 4i c) 2 3i d) 52 3i Forma exponencial de un número complejo En la forma polar, el ángulo se mide en grados sexagesimales. Existe otra forma de expresar un número complejo que es la forma exponencial, donde el ángulo se mide en radianes. Recuerde que hay una equivalencia entre grados sexagesimales y radianes 180 . La forma exponencial de un número complejo es re i donde r representa el módulo del numero complejo y el ángulo en radianes. Para ver de donde proviene esta expresión, recordemos que existe una serie infinita que representa a e x la cual es: 3 de 4 Álgebra lineal Unidad I 1.4. Forma polar y exponencial de un número complejo ex 1 x M.C. Ángel León x 2 x3 x 4 xn ... 2! 3! 4! n! Si realizamos la sustitución x i la serie anterior se expresa como: i e i 1i 2 2! i 3 3! i 4 4! i ... n n! Y de acuerdo a las potencias de i : e i 1 i 2 3i 4 5i 2! 3! 4! 5! ... in n! Si agrupamos los términos semejantes: 2 4 3 5 e i 1 ... ... i 2! 4! 3! 5! 2 4 La parte real 1 ... es la serie que aproxima a la función cos mientras que la parte imaginaria 2! 4! 3 5 ... i es la serie que aproxima a la función sen . De esta manera, podemos simplificar la expresión 3! 5! anterior: e i cos sen i Multiplicamos ambos lados por el módulo r : re i r cos rsen i Tenemos la relación entre la forma exponencial y la forma binómica trigonométrica de un número complejo. Debemos de tener en cuenta que la forma exponencial maneja al ángulo en radianes y la forma binómica trigonométrica en grados sexagesimales. 4 de 4