VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA Documento Preliminar Concepto de valor absoluto: El Valor Absoluto se define como la distancia entre dos números reales en la recta numérica. Con el objeto de afianzar el concepto de valor absoluto, es necesario ligarlo a su interpretación geométrica en la recta numérica. Para realizar este trabajo usted deberá estudiar previamente la sección 6.2 del libro Precálculo Una Nueva Visión, G.Mora – M.M.Rey – B.C. Robles, Editorial Escuela Colombiana de Ingeniería, Edición Preliminar Tercera Versión y hacer los ejercicios de la sección 6.1 Ejemplo Adicional 1 Comparar las distancias entre un número real cualquiera y los puntos –6 y 4 Al observar la recta numérica se tiene que los puntos –6 y 4 la dividen en tres grandes intervalos ( −∞ , −6 ) , [ −6, 4] y ( 4, ∞ ) [ −6 , 4 ] ( −∞ , −6 ) -12 -10 -8 -6 -4 ∀ x ∈ ( −∞ , −6 ) se tiene: La distancia de cualquier punto x al punto –6 es menor que su distancia a 4, lo que en términos de valor absoluto se puede expresar así: x − ( −6 ) < x − 4 ⇔ -2 0 ( 4,∞ ) 2 4 ∀ x ∈ [ −6, 4 ] se tiene: a. x+6 < x−4 El punto medio entre –6 y 4 es –1, por lo tanto al ubicar el punto x en –1 la distancia entre –6 y x es igual que la distancia entre x y 4, lo que puede escribirse en términos de valor absoluto como: x − ( −6 ) = x − 4 ⇔ 6 8 10 12 ∀ x ∈ ( 4, ∞ ) se tiene: La distancia de cualquier punto x al punto –6 es mayor que su distancia a 4, lo que en términos de valor absoluto se puede expresar así: x − ( −6 ) > x − 4 ⇔ x+6 > x−4 x+6 = x−4 b. Si x está más cerca de –6 que de 4, se tiene: x − ( −6 ) < x − 4 ⇔ x+6 < x−4 c. Si x está más lejos de –6 que de 4, se tiene: x − ( −6 ) > x − 4 ⇔ x+6 > x−4 Ejemplo adicional 2 Comparar las distancias entre un número real cualquiera y los puntos 3 y – 5. Observando la recta numérica se tiene: 29/08/05 1 VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA Documento Preliminar (−∞; −5 ) -9 -8 (−5; 3 ) -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 (3; ∞ ) 0 1 2 3 4 5 6 El punto medio entre (−5; 3 ) es el La distancia de cualquier x ∈ (−∞ ; −5 ) al punto – 5 es menor que la distancia al punto 3. Este hecho se puede expresar en términos de valor absoluto así: −5 − x < x − 3 ó x − (− 5 ) < x − 3 expresiones que son equivalentes punto – 1 y la distancia de este punto a – 5 y a 3 es igual, lo que en términos de valor absoluto puede escribirse como: −1 − ( −5 ) = −1 − 3 Los x ∈ (−5; −1) están más cerca de –5 que de 3, lo qué en términos de valor absoluto puede escribirse: x − (− 5 ) < x − 3 Los x ∈ (−1; 3 ) están más cerca de 3 que de –5, lo qué en términos de valor absoluto es. x − (− 5 ) > x − 3 La distancia de cualquier x ∈ (3; ∞ ) al punto – 5 es mayor que la distancia al punto 3, lo que escrito en término de valor absoluto es: x − (− 5 ) > x − 3 EJERCICIOS 1. Exprese en términos de distancia las siguientes expresiones: a. 8−3 b. 4+5 c. 6 d. −2 e. x−3 f. x−3 g. 1− x h. 7,5 − x i. x+5 2. Expresar en términos de Valor Absoluto los puntos sobre la recta numérica : a. Que se encuentran a 2 unidades del b. Que se encuentran a menos de 3 origen unidades de 5 c. Que se encuentran a menos de 4 d. Que se encuentran a más de 3 unidades unidades de –2 de 5 e. Que se encuentran a más de 2 unidades f. Cuya doble distancia a 2 es mayor que 3 de –1 3. Escriba los siguientes enunciados en términos de valor absoluto: a. La distancia entre dos números x e y es igual a 3 b. El doble de la distancia que hay entre un número x y el punto –2 es igual a 5 4. Cual es el mínimo valor que puede tomar la expresión: a. x−2 b. x+3 5. Diga si es falso o verdadero −5 − ( −3 ) = −3 − ( −5 ) a. 29/08/05 2 VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA Documento Preliminar b. 10 + ( −14 ) = 10 + −14 c. −3 + 8 ≤ −3 + 8 d. ( 2 x − 1) − 3 e. 3 −π = π −3 f. x =0 g. x = y h. x +y = x + y , =2 x −2 es equivalente a decir que significa que y i. ∀ x,y ∈ℜ j. La distancia entre k. x = −x l. x −3 x<y x =y ó x =0 x = −y ∀ x,y ∈ℜ ⇒ −1 x < y y − 1 2 es 1 2 es la distancia de x a –3 Si el triple de la distancia de x a 2 es 6, x puede estar en m. x n. 3 = x 3 8 3 ∀ x ∈ℜ , 6. Escriba la ecuación o inecuación correspondiente a los siguientes enunciados en términos de valor absoluto: a. “m está a 5 unidades de –2” b. “x está a menos de 5 unidades de 3” c. “q está a más de 2 unidades de 1” d. Los puntos x cuya distancia a –3 no es mayor que 7. e. La distancia entre dos números x e f. El doble de la distancia que hay entre y es igual a 3 un número x y el punto –2 es igual a 5 g. La distancia entre los puntos x y – y 7. Explique el significado de la expresión x − 3 > 4 8. Completar las siguientes afirmaciones.: a. Si x es negativo, entonces x = ________________. El valor absoluto de un número es la distancia al _________________ en la recta numérica. 9. Explique porqué 2 es el único valor que satisface x − 2 ≤ 0 b. 10. Exprese en palabras el significado de: a. x +3 > 1 2 b. 5 x −1 < 2 c. 0< x <5 RESPUESTAS 1.a La distancia entre 8 y 3 1.c La distancia entre el origen y 6 29/08/05 1.b La distancia entre 4 y –5 1.d La distancia entre el origen y –2 3 VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA Documento Preliminar 1.e La distancia entre un real x y 3 1.g La distancia entre 1 y un real x 1.i La distancia entre un real x y –5 2.a x −0 = 2 2.b x −5 < 3 2.e x +1 > 2 2.f 2x −2 > 3 3.a x−y =3 4.c 0 5.a 5.e 5.i 5.m 3.b 1.f La distancia entre un real x y 3 1.h La distancia entre 7,5 y un real x 2.c x +2 < 4 2.d x −5 > 3 2x +2 =5 4.d 0 5.b 5.f 5.j 5.n Verdadero Verdadero Falso Falso Falso Verdadero Verdadero Falso 5.c Verdadero 5.g Verdadero 5.k Verdadero 5.d Verdadero 5.h Falso 5.l Falso 6.d 6.a m+2 =5 6.b x −3 < 5 6.c q −1 > 2 6.e x−y =3 6.f 2x +2 =5 6.g x+y x+3 < 7 7. Los puntos sobre la recta numérica cuya distancia a 3 es mayor de 4 unidades. 8.a ….–x … 8.b … origen 9. Como el valor absoluto es una distancia solo puede tomar como valor el cero o un número positivo, por lo tanto el único valor de x que satisface es x = 2 10.a Los puntos sobre la recta numérica tales que su distancia a –3 es mayor de media unidad 10.bLos puntos sobre la recta numérica tales que cinco veces la distancia a 1 es menor de 2 unidades. 10.c Los puntos sobre la recta numérica tales que su distancia al origen es positiva y menor que cinco. SOLUCIÓN DE ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Estudiar previamente la SECCIÓN 6.3 DE PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN y realizar los ejercicios de la sección 6.2 EJEMPLO ADICIONAL 3 Utilizando la interpretación geométrica en la recta numérica encuentre el conjunto solución de x −3 = 4 En éste caso x − 3 significa la distancia entre x y 3, por lo cual el punto con respecto al que se va a medir es decir el punto de referencia es 3 . 29/08/05 4 VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA Documento Preliminar Al ubicar 3 en la recta numérica, ésta se divide en dos intervalos: ( −∞ ,3 ) y [ 3, ∞ ) ( −∞ ,3 ) [ 3, ∞ ) -2 -1 0 ∀ x ∈ ( −∞ ,3 ) ⇒ x < 3 ∨ 1 2 3 4 5 6 7 8 ∀ x ∈ [ 3, ∞ ) ⇒ x ≥ 3 ∧ 3 ≤ x 3> x Como 3 > x la distancia de x a 3 es 3 − x (el Como x ≥ 3 la distancia de x a 3 es x − 3 (el número mayor menos el número menor), de número mayor menos el número menor), de donde: donde: x − 3 = 3− x x −3 = x −3 Reemplazando lo anterior en la ecuación original Reemplazando lo anterior en la ecuación original se tiene: se tiene: x − 3 = 4 ⇒ 3 − x = 4 ⇒ − x = 1⇒ x = −1 x −3 = 4⇒ x −3= 4⇒ x = 7 La solución en éste intervalo será: ( −∞ ,3 ) ∩ { −1} = { −1} La solución en éste intervalo será: [ 3, ∞ ) ∩ { 7} = { 7} El conjunto solución de x − 3 = 4 será por lo tanto x ∈ { −1} ∪ { 7} ⇒ x ∈ { −1, 7} ó { x x = −1∨ x = 7} El conjunto solución se representa gráficamente así: -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 EJEMPLO ADICIONAL 4 Utilizando la interpretación geométrica en la recta numérica encuentre el conjunto solución de 2x + 4 = 11 4 Para solucionar ésta ecuación en primer lugar hay que identificar el punto de referencia con respecto al cual se está midiendo la distancia desde un punto x en la recta. Para leer 2x + 4 en términos de distancia hay que recordar que la distancia entre dos puntos en la recta numérica es la diferencia entre el mayor y el menor, lo cual lleva a escribir la ecuación como una diferencia 2x − ( −4 ) = 11 , por lo tanto 2x − ( −4 ) significa “la distancia entre el doble de x y – 4 4”, pero nuestro objetivo inmediato es encontrar el punto de referencia, lo cual genera la necesidad de solucionar la siguiente ecuación: 2x + 4 = 0 ⇒ x = −2 Por lo tanto el punto de referencia es –2 ( −∞ , −2 ) -7 -6 -5 ∀ x ∈ ( −∞ , −2 ) ⇒ x < −2 ⇒ 2x < −4 ∨ -4 [ −2 , ∞ ) -3 − 4 > 2x -2 -1 0 1 2 3 ∀ x ∈ [ −2, ∞ ) ⇒ x ≥ −2 ⇒ 2x ≥ −4 Como −4 > 2x la distancia de 2x a –4 es −4 − 2x Como 2x ≥ −4 la distancia de 2x a –4 es (el número mayor menos el número menor), de 2x − ( −4 ) (el número mayor menos el número donde: menor), de donde: 2x + 4 = −4 − 2x 2x + 4 = 2x + 4 Reemplazando lo anterior en la ecuación original Reemplazando lo anterior en la ecuación original se tiene: se tiene: 29/08/05 5 VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA Documento Preliminar 2x + 4 = 11 11 27 27 ⇒ −4 − 2x = ⇒ −2x = ⇒x=− 4 4 4 8 2x + 4 = La solución en éste intervalo será: 11 11 5 5 ⇒ 2x + 4 = ⇒ 2x = − ⇒ x = − 4 4 4 8 La solución en éste intervalo será: { }{ } { 85 } = {− 85 } 27 27 = − ( −∞ , −2 ) ∩ − 8 8 [ −2 , ∞ ) ∩ − 11 es por lo tanto 4 27 5 ó x x=− ∨x=− 8 8 El conjunto solución de 2x + 4 = { }{ } x∈ − { 27 5 27 5 ∪ − ⇒ x∈ − ,− 8 8 8 8 } { } El conjunto solución se representa gráficamente así: -4 -3 − 27 -2 -1 8 −5 0 8 EJEMPLO ADICIONAL 5 Utilizando la misma metodología que en los ejemplos anteriores a continuación se solucionará la ecuación 3x − 9 = 2x + 1 + x − 10 En éste caso existen dos puntos de interés que servirán para solucionar la ecuación: y 3x − 9 = 0 ⇒ x = 3 2x + 1 = 0 ⇒ x = − 1 2 La recta queda entonces dividida en tres grandes intervalos: ⎛ −∞ , − 1 ⎞ ⎜ ⎟ 2⎠ ⎝ -3 ( 3, ∞ ) ⎡ − 1 ,3 ⎤ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ -2 -1 −1 0 1 2 3 4 5 6 2 1 ∀ x ∈ ⎛⎜ −∞ , − ⎞⎟ 2⎠ ⎝ 1 ∀ x ∈ ⎡⎢ − ,3 ⎤⎥ ⎣ 2 ⎦ 3x − 9 = 9 − 3x y 3x − 9 = 9 − 3x y 2x + 1 = −1− 2x 2x + 1 = 2x − ( −1) = 2x + 1 Por lo tanto: ∀ x ∈ ( 3, ∞ ) : 3x − 9 = 3x − 9 y 2x + 1 = 2x − ( −1) = 2x + 1 Por lo tanto: Por lo tanto: 3x − 9 = 2x + 1 + x − 10 ⇒ 3x − 9 = 2x + 1 + x − 10 ⇒ 3x − 9 = 2x + 1 + x − 10 ⇒ 9 − 3x = −1− 2x + x − 10 ⇒ −2x = −20 ⇒ x = 10 9 − 3x = 2x + 1+ x − 10 ⇒ −6x = −18 ⇒ x = 3 3x − 9 = 2x + 1+ x − 10 ⇒ 0=0 La solución en éste intervalo La solución en éste intervalo La solución en éste intervalo es: es: es: 1 ⎛ −∞ , − ⎞ ∩ {10} = ∅ ⎡ − 1 ,3 ⎤ ∩ { 3} = { 3} ( 3, ∞ ) ∩ ℜ = ( 3, ∞ ) ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ 2⎠ ⎣ 2 ⎦ El conjunto solución de 3x − 9 = 2x + 1 + x − 10 es: x ∈ ∅ ∪ { 3} ∪ ( 3, ∞ ) ⇒ x ∈ [ 3, ∞ ) ó { x x ≥ 3} EJERCICIOS 29/08/05 6 VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA Documento Preliminar Encontrar la solución de: a. 3 x −2 =5 b. 2 x − 5 = −4 3 5− x =4 d. 5− x =3 g. x +1 = 2− x h. x j. ( x − 3 )( x + 2) = 6 k. x = 2x − 1 x −1 m. 2x 4 x 2 − 20 +1= 2x − 5 2x − 5 n. x +2 = −1 x +2 e. 2 = x c. 5 − 2x = 4 f. 2x −1 −3 =5 i. x2 − 4 = 4 l. 5−x =x x −4 RESPUESTAS a. d. g. j. m. 1 11 ó 3 3 ±2 1 2 −3 4 0 1 − 1− 26 2 b. No hay solución e. ±1 ó h. 0 ó k. No hay solución n. f. 9 1 ó 2 2 5 ó −3 i. 0 ó l. 3 ± 29 2 c. ±9 ±1 (−∞,−2 ) ∪ (−2,0) ±2 2 SOLUCIÓN DE INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO SECCIÓN 6.4 DE PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN HASTA EJEM 21 EJEMPLO ADICIONAL 6 Encontrar el conjunto solución de x − 3 ≥ 2 Sobre la recta numérica determinamos el punto de referencia es decir x − 3 = 0 ⇔ x = 3 , ubicado este punto sobre la recta numérica encontramos dos intervalos (−∞ ; 3 ) y (3 ; ∞ ) -2 29/08/05 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 7 VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA Documento Preliminar En éste intervalo x − 3 < 0 por lo tanto: En éste intervalo x − 3 > 0 por lo cual x −3 = 3− x x − 3 = x − 3 , por lo tanto se tiene. Lo que nos lleva a decir que ∀x ∈ (−∞ ; 3 ) se tiene. x−3≥ 2 ⇔ 3 − x ≥ 2 ⇔ − x ≥ −1 ⇔ x ≤ 1 x≥5 Dada l a condición ∀x ∈ (3; ∞ ) , el conjunto solución es: Dada la condición de ∀x ∈ (−∞ ; 3 ) , el conjunto solución es: ( 3; ∞ ) ∩ [5, ∞ ) = [5, ∞ ) ( −∞,1] ] [ C.S.: ( −∞,1 ∪ 5, ∞ ) EJEMPLO ADICIONAL 7 Encontrar el conjunto solución de − x + 3 ≤ 4 Haciendo análisis sobre la recta numérica.se determina el valor de x donde − x + 3 = 0 ⇔ ubicado este punto sobre la recta numérica encontramos dos intervalos (−∞ ; 3 ) y (3 ; ∞ ) -2 -1 0 1 2 3 En éste intervalo − x + 3 > 0 por lo tanto: − x + 3 = −x + 3 Lo que nos lleva a decir que ∀x ∈ (−∞ ; 3 ) se tiene: − x + 3 ≤ 4 ⇔ − x ≤ 1 ⇔ x ≥ −1 Dada la condición de ∀x ∈ (−∞ ; 3 ) , el conjunto solución es: (−∞ ; 3 ) ∩ [−1; ∞ ) = [−1; 3 ) 4 5 6 x = 3, 7 En éste intervalo −x + 3 < 0 por lo cual − x + 3 = −(− x + 3 ) , por lo tanto se tiene. − (− x + 3 ) ≤ 4 ⇔ − x + 3 ≥ −4 − x ≥ −7 ⇔ x ≤ 7 , ∀x ∈ (3; ∞ ) , por lo tanto el conjunto solución es: (3; ∞ ) ∩ (−∞ ; 7 ] = [3; 7 ] C.S.: [−1; 3 ) ∪ [3; 7 ] = [−1; 7 ] Trabajo previo SECCIÓN 6.4 DE PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN DESDE EJEM 22 HASTA 24 EJEMPLO ADICIONAL 8 Encontrar el conjunto solución de 2 x − 3 > 3 x En este caso no se puede hacer uso del teorema 7 puesto que 3 x no es un real positivo para todo valor de x. Qué podemos hacer para resolverlo? Haciendo un análisis sobre la recta numérica.Primero se determina el punto donde 2 x − 3 = 0 , lo que permite establecer dos intervalos 29/08/05 8 VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA Documento Preliminar ⎛⎜ − ∞ ; 3 ⎞⎟ ⎝ 2⎠ ⎛⎜ 3 ; ∞ ⎞⎟ ⎝2 ⎠ 3/2 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ∀x ∈ ⎛⎜ − ∞ ; 3 ⎞⎟ se tiene que 2 x − 3 < 0 , por ⎝ 2⎠ lo tanto 2 x − 3 = − (2 x − 3 ) ∀x ∈ ⎛⎜ 3 ; ∞ ⎞⎟ se tiene que 2 x − 3 > 0 , por lo ⎝2 ⎠ tanto 2 x − 3 = 2 x − 3 Por lo que la situación planteada equivale a resolver: −(2 x − 3 ) > 3 x Por lo que la situación planteada equivale a resolver: 2 x − 3 > 3 x 2x − 3 > 3x ⇔ − x > 3 ⇔ x <3 5 3 3 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ C.S. ⎜ − ∞ ; ⎟ ∩ ⎜ − ∞ ; ⎟ = ⎜ − ∞ ; ⎟ C.S. ⎛⎜ 3 ; ∞ ⎞⎟ ∩ (− ∞ ; −3 ) = ∅ ⎝ ⎝2 ⎠ 2⎠ ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠ 3 C.S. ⎛⎜ − ∞ ; ⎞⎟ ∪ ∅ = ⎛⎜ − ∞ ; 3 ⎞⎟ ⎝ ⎝ 5⎠ 5⎠ − 2x + 3 > 3x ⇔ − 5 x > −3 ⇔ x < −3 EJEMPLO ADICIONAL 9 Encontrar el conjunto solución de 2 x − 1 > 2 − 3 x 3 Haciendo un análisis sobre la recta numérica. Primero determinamos los puntos divisorios es decir aquellos puntos donde 2 x − 1 = 0 y 2 − 3 x = 0 , al resolver estas ecuaciones se tiene que: 3 3 2 x = y x = , lo que permite establecer tres intervalos 2 3 ⎛⎜ − ∞ , 2 ⎞⎟ ⎝ 3⎠ ⎛⎜ 2 ; 3 ⎞⎟ ⎝3 2⎠ 3/2 2/3 0 ⎛⎜ 3 ; ∞ ⎞⎟ ⎝2 ⎠ 1 2 En este intervalo 2 x − 1 < 0 por lo 3 tanto 2 x − 1 = −⎛⎜ 2 x − 1⎞⎟ y ⎝3 ⎠ 3 2 − 3 x > 0 por lo tanto 2 − 3x = 2 − 3x En este intervalo En este intervalo 2 x − 1 > 0 por 3 2 x − 1 < 0 por lo 3 lo tanto 2 x − 1 = 2 x − 1 y 3 3 tanto 2 x − 1 = −⎛⎜ 2 x − 1⎞⎟ 2 − 3 x < 0 por lo tanto ⎝3 ⎠ 2 − 3 x = − (2 − 3 x ) 3 y 2 − 3 x < 0 por lo tanto 2 − 3 x = − (2 − 3 x ) De lo anterior el problema planteado 2 x − 1 > 2 − 3 x se 3 convierte en De lo anterior el problema planteado 2 x − 1 > 2 − 3x 3 29/08/05 De lo anterior el problema planteado 2 x − 1 > 2 − 3 x se 3 convierte en 9 VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA Documento Preliminar se convierte en 2 x − 1 > − (2 − 3 x ) 3 − ⎛⎜ 2 x − 1⎞⎟ > −(2 − 3 x ⎝3 ⎠ 2 x − 3 x > −2 + 1 2 3 ⎛⎜ x − 1⎞⎟ < (2 − 3 x ) ⎝3 ⎠ − 7 x > −1 2 x + 3x < 2 + 1 3 3 x<3 11 x < 3 7 3 x< 9 11 C.S. ∅ 3 3 2 2 C.S. ⎛⎜ − ∞ , ⎞⎟ ∩ ⎛⎜ ; ∞ ⎞⎟ = ⎛⎜ ; ⎞⎟ C.S. ⎛⎜ 2 ; 9 ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝7 3⎠ ⎝ 3 11⎠ 3⎠ ⎝7 C.S. ⎛⎜ 3 ; 2 ⎞⎟ ∪ ⎛⎜ 2 ; 9 ⎞⎟ ∪ ∅ = ⎛⎜ 3 ; 2 ⎞⎟ ∪ ⎛⎜ 2 ; 9 ⎞⎟ ⎝ 7 3 ⎠ ⎝ 3 11⎠ ⎝ 7 3 ⎠ ⎝ 3 11⎠ − ⎛⎜ 2 x − 1⎞⎟ > 2 − 3 x ⎝3 ⎠ 2 x − 1 < −2 + 3 x 3 2 x − 3 x < −2 + 1 3 − 7 x < −1 ⇔ x > 3 3 7 El conjunto solución de 2 x − 1 > 2 − 3 x puede darse utilizando diferentes notaciones: 3 En notación de intervalos: ⎛⎜ 3 ; 2 ⎞⎟ ∪ ⎛⎜ 2 ; 9 ⎞⎟ ó ⎛⎜ 3 ; 9 ⎞⎟ − 2 ⎝ 7 3 ⎠ ⎝ 3 11 ⎠ ⎝ 7 11⎠ 3 En notación de inecuación compuesta 3 < x < 2 ó 2 < x < 9 7 3 3 11 En representación gráfica: { } 3/7 2/3 9/11 1 0 EJEMPLO ADICIONAL 10 Encontrar el conjunto solución de 2 x − 6 ≥ 4 − 4 x Usando propiedades del valor absoluto se tiene: 2x − 6 ≥ 4 − 4x ⇔ 2 x − 3 ≥ 4 1− x ⇔ x − 3 ≥ 2 1− x ⇔ x − 3 ≥ 2 x −1 Lo que en términos de distancia significa “ los números reales cuya distancia a 3 es mayor o igual al doble de la distancia a 1” 0 1 2 3 En este intervalo x − 3 < 0 y x −1< 0 En este intervalo x − 3 < 0 y x −1> 0 En este intervalo x − 3 > 0 y x −1> 0 Por lo tanto Por lo tanto Por lo tanto 29/08/05 10 VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA Documento Preliminar x − 3 ≥ 2 x −1 ⇔ − ( x − 3 ) ≥ −2( x − 1) x − 3 ≥ 2 x −1 ⇔ −( x − 3 ) ≥ 2( x − 1) ⇔ x − 3 ≤ 2( x − 1) x − 3 ≥ 2 x −1 ⇔ x − 3 ≥ 2x − 2 − x + 3 ≥ 2x − 2 ⇔ x − 2x ≥ −2 + 3 x − 2x ≤ 3 − 2 − x ≤ 1 ⇔ x ≥ −1 − 3 x ≥ −5 x ≤5 3 x ≤ −1 C.S. (−∞ ;1] ∩ [−1; ∞ ) = [−1;1] C.S. ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ C.S. [3 ; ∞ ) ∩ (−∞ ; −1] = ∅ [1; 3 ] ∩ ⎛⎜ − ∞ ; 5 ⎤⎥ = ⎡⎢1; 5 ⎤⎥ ⎝ 3⎦ ⎣ 3⎦ 5 C.S. [− 1;1] ∪ ⎡1; ⎤ = ⎡ − 1; 5 ⎤ ⎢⎣ 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 3 ⎥⎦ El conjunto solución representado en la recta numérica es: 5/3 0 -1 1 2 3 EJERCICIOS 1. Encontrar la solución de las siguientes inecuaciones: a. 7 − 3x > 2 d. 2x − 3 > 4 g. 3< x +5 j. x −1 ≤ 2 m. x <0 x +2 n. p. −7 x − 3 > 5,1 q. s. x − 7 > 4x + 7 v. 1 4x + 7 + − x − 2 > 2 y 2− x ≤ 2 b. 3x − 4 − 2 ≤ 0 e. 2 x −1 ≥ 2 3 h. x −3 = 5 k. x +1 ≥ 4 y x >2 y x −1 > 1 3 x + 1 > 1,7 c. x+4 =2 f. x− i. x − ( x + 3) ≤ 5 2 l. 2x − 3 > y 4 3 2 ≤2 3 1≤ x + 2 ≤ 2 ó o. 1 >0 x −3 3x + 3 − 5x > 4 r. 3x − 5 < 1 − 4x t. 8 − x ≥ 2x + 1 u. 2x − 3 ≤ 7 − x + 1 w. 2x + 1 ≤ 3 + x − 3 c. x = −2 ó x −1 <0 x RESPUESTAS a. d. g. 29/08/05 5⎞ ⎛ ⎜ − ∞, ⎟ ∪ (3, ∞ ) 3⎠ ⎝ 1⎞ ⎛7 ⎞ ⎛ ⎜ − ∞, − ⎟ ∪ ⎜ , ∞ ⎟ 2⎠ ⎝2 ⎠ ⎝ (−∞,−8) ∪ (−2, ∞ ) b. e. h. ⎡2 ⎤ ⎢ 3 ,2⎥ ⎣ ⎦ 3⎤ ⎡9 ⎞ ⎛ ⎜ − ∞, − ⎥ ∪ ⎢ , ∞ ⎟ 2⎦ ⎣2 ⎠ ⎝ x = −2 ó x = 8 f. i. x = −6 ⎡ 4 8⎤ ⎢− 3 , 3 ⎥ ⎣ ⎦ [−6,4] 11 VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA Documento Preliminar [0,3] (−∞,−2) k. (− ∞,−5] ∪ [3, ∞ ) n. 9⎞ ⎛ 7 ⎛ ⎞ ⎜ − ∞, − ⎟ ∪ ⎜ , ∞ ⎟ 10 ⎠ ⎝ 30 ⎠ ⎝ p. 81 ⎞ ⎛ 21 ⎞ ⎛ ⎜ − ∞, − ⎟ ∪ ⎜ , ∞ ⎟ 70 ⎠ ⎝ 70 ⎠ ⎝ q. 1⎞ ⎛7 ⎞ ⎛ ⎜ − ∞, ⎟ ∪ ⎜ , ∞ ⎟ 2⎠ ⎝8 ⎠ ⎝ s. ⎛ 14 ⎞ ⎜ − ,0 ⎟ ⎝ 3 ⎠ j. m. v. 29/08/05 t. o. (−∞,0) ℜ − {3} r. (− ∞,−4) ∪ ⎛⎜ 6 , 5 ⎞⎟ l. ⎝7 3⎠ u. w. 12 VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA Documento Preliminar EJERCICIOS DE REPASO Encuentre el valor de m y n para que el conjunto de números reales que satisface 3 x − m ≤ n tenga la siguiente representación gráfica: 1. -10/3 2/3 2. Para qué valores de p la inecuación 3. Encontrar el conjunto solución. x + 4 ≤ 3x − 8 a. d. − 2x + 3 < 2 g. 2 x − 8 = 12 j. x-2 < 8 3x − 4 − 2 ≤ 0 c. 7x −1 = 2 e. 3≥ x f. − 4x + 5 > 1 i. x +1 ≥ 4 l. x − ( x + 3) ≤ 5 2 1≤ x + 2 ≤ 2 k. 3x − 5 − x + 4 ≤ 2 −6 − −4 n. −1− 1− −1 y y 2− x ≤ 2 y x −1 > 1 A partir de su representación en la recta numérica determine los valores que satisfacen la situación planteada. Indique la solución gráficamente, en notación de intervalo y en notación de desigualdad, y, exprese en palabras la situación. x− 2 ≤2 3 5. Escriba en notación de intervalo 6. 7. Los valores de x que cumplen con Los valores de x que cumplen con Completar Si a > 0 , entonces, a. b. c. d. 9. b. x −1 ≤ 2 a. 8. no tiene solución? h. m. 4. 3x −7 ≤ p−3 2 Si b<0 , entonces, b. 3< x +5 x −2 , si x > 2 c. x −3 =5 y x >2 x= x x< x −a = −b = La distancia entre −9 y 5 es: El conjunto de todos los reales tales que x −2 = 2−x es Complete la tabla siguiente: X -5 -1 y x y xy x y x x y y x+y x + y 5 3 2 29/08/05 13 VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA Documento Preliminar 10. Simplifique x − y − y − x 11. Cada desigualdad de la izquierda tiene como conjunto solución una de las expresiones de la derecha. Determinar los pares correspondientes, en la siguiente tabla. 3 − 2x < 1 a1 b1 −5 ≤ x < 5 x<7 a2 2 ( 1 − x ) > −2 x b2 a3 − 5 ≥ −3 x − 20 > −35 b3 x >2 b4 1< x < 2 3 67 < 2x − 5 5 x +1 > x −5 a4 a5 b6 zz<0 12. Que podemos decir de z, si, 13. Demuestre que (2 x − 1) − 3 ℜ y exprese en palabras el significado de la igualdad. = 2x −2 14. En qué caso es 1 − x igual a 1 - x ? En qué caso es igual a x - 1? 15. Encontrar la solución de: a. (1 − x ) 2 x − 9 d. x 2 + 3x + 2 ≤ 4 e. 2x 2 − 3x − 2 ≤ 3 14 + 6 x − 4 x 2 ≥ 4 x 2 − 6 > −5 b. c. (x − ) f. x 2 − 6 x + 10 < 2 g. 23 − 5 x − 2 x 2 > 19 − 3 x h. i. 4 x 2 + 4 x − 11 ≥ 9 − 2 x − 4 x 2 j. x 2 + 3x + 2 ≤ 4 k. l. 3x − 1 <2 x +1 m. 7−x 2 > 5x + 1 3 n. o. 2x + 1 ≤3 1− x p. x +7 5 > 10 x − 1 17 q. x + 1 > −2 4 − x (x − 1) ≤ 4 3x +4 ≤2 3x − 1 3 − 2x ≥4 x +2 (x − 2) x + 1 > −2 RESPUESTAS m = −4 1. 3. a. d. g. j. m. y n=6 [6, ∞ ) ℜ −2 [−4,−3]∪ [−1,0] 2 2. b. e. h. k. n. p<3 ⎡2 ⎤ ⎢ 3 ,2⎥ ⎣ ⎦ [−3,3] [0,3] ⎛ 1 11 ⎤ ⎜− , ⎥ ⎝ 4 2⎦ −3 c. f. i. l. 3 1 ó − 7 7 No hay solución (−∞,−5] ∪ [3, ∞ ) [−2,18] 4. 29/08/05 14 VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA Documento Preliminar a. ⎡ 4 7⎤ ⎢− 3 , 3 ⎥ ⎣ ⎦ 5. b. (0, ∞ ) 6. (−∞,−8) ∪ (−2, ∞ ) c. [0, ∞ ) 7. x=8 (−∞,0) 8. a. a b. −b 14 c. ℜ d. 9. X Y -5 -1 5 3 2 10. 11. 12. 0 a1 con b4 z<0 x 5 1 y xy 5 25 3 2 3 2 x y 25 3 2 x x y y 1 2 3 1 2 3 x+y 0 1 2 x + y 10 5 2 , a 2 con b6 , a 3 con b1 , a 4 con b2 , a 5 con b3 13. 14. Si 1 − x ≥ 0 y cuando 1 − x < 0 15. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p. q. 29/08/05 15