Escritura matemática: símbolos y significados Blanca M. Parra. Febrero de 2013 Hemos resuelto algún par de problemas en los que aparecen expresiones del tipo −4 ≤ 𝑥 ≤ 6, en la cual x es la variable independiente del problema. En esa escritura hay hechos que debemos conocer y hechos que debemos aprender. Veamos. Orden en la recta numérica: Si trazamos una recta numérica que represente al conjunto de todos los números reales, lo que veremos será algo así: Y probablemente en alguna parte habremos ubicado al cero y el uno para definir la escala. Entonces se vería así: 0 1 con lo cual sabemos de qué tamaño deberemos representar cada unidad a la izquierda y a la derecha del cero para graduar la recta. Pero sabemos más. Sabemos que si tenemos dos números y queremos compararlos, para determinar cuál es el mayor y cuál es el menor, lo que podemos hacer es representarlos en la recta numérica. El mayor es el que se encuentre más a la derecha; el menor es el que se encuentre más a la izquierda, siempre. Por ejemplo: para comparar -11 y -7 los representamos en la recta numérica: -11 -7 Así sabemos que -11 es menor que -7 (porque -11 se encuentra a la izquierda de -7) y escribimos -11 < -7 que se lee “-11 es menor que -7”. Podríamos decirlo de otra manera: -7 es mayor que -11 (porque -7 está a la derecha de -11) y escribimos -7 > -11 que se lee “-7 es mayor que -11”. Las dos escrituras: -11 < -7 y -7 > -11 dicen exactamente lo mismo, pero de manera distinta. Estos símbolos nos permiten escribir oraciones de manera más breve e independientemente del lenguaje que hablemos (español, inglés, alemán, chino, etc.). De esa manera, sin importar quién lea los textos en matemáticas, va a entender lo mismo que el resto del mundo. Cuando trabajamos con funciones (modelos matemáticos) es frecuente que los utilicemos para representar partes de la recta numérica. Intervalos. La escritura −4 < 𝑥 < 6 representa el conjunto de todos los números reales que están a la derecha de 4 (porque si -4 < x, entonces -4 está a la izquierda de x) y, al mismo tiempo se encuentran a la izquierda de 6 (porque si x < 6, entonces x está a la izquierda de 6). Gráficamente: -4 6 Y decimos que tenemos el intervalo abierto (-4, 6), que no contiene a los números -4 ni 6. Date cuenta de que hay que leer con mucho cuidado el texto completo de un problema o ejercicio. Un error de lectura o una lectura incompleta podría llevarte a confundir el intervalo abierto (-4, 6) con el punto que tiene coordenadas (-4, 6). Son dos cosas totalmente distintas. Lo mismo pasa cuando escribes: debes especificar claramente de qué estás hablando para que todos podamos entender lo que escribes. Hay más detalles que hay que cuidar. Si la escritura es −4 ≤ 𝑥 ≤ 6 entonces lo que significa es que los valores de la variable comienzan (incluyen) al -4 y terminan (incluyéndolo) en 4. −4 ≤ 𝑥 representa el conjunto de números que son mayores o son iguales a -4 𝑥 ≤ 6 representa el conjunto de números que son menores o son iguales a 6 Cuando tomamos en cuenta las dos condiciones, tenemos el conjunto de todos los números reales que son mayores o iguales que -4 pero menores o iguales que 6. Gráficamente: -4 6 Es casi lo mismo que en el caso anterior, pero tiene dos puntos extra: el -4 y el 6. Decimos que tenemos el intervalo cerrado que va desde -4 hasta 6 (incluyéndolos)y escribimos [-4, 6]. Si no tienes cuidado al escribir, puedes estar diciendo cosas que no son ciertas. Asegúrate de escribir correctamente los símbolos. Varios ejemplos: Escritura Descripción Lectura Escritura como desigualdad x<7 Escritura alternativa como desigualdad 7>x x≤7 7≥x No tiene, pero se escribe también , que es el símbolo para representar el conjunto de todos los números reales. 3 < 𝑥 ≤ 7.25 7.25 ≥ 𝑥 > 3 (-∞, 7) Todos los números menores que 7 (-∞, 7] Todos los números menores o iguales que 7 (-∞, ∞) Todos los números reales Intervalo abierto de -∞ hasta 7, sin incluirlo Intervalo abierto en valores de -∞ y hasta 7, incluyéndolo Cualquier número en la recta numérica (3, 7.25] Todos los números reales mayores que 3 pero menores o iguales a 7.25 Intervalo abierto en 3 (no lo incluye) y cerrado en 7.25 (si lo incluye) Algo que nunca se debe hacer es escribir los símbolos de orden mezclados. Por ejemplo: 7< x >6 no tiene sentido Por otro lado, recuerda que cuando hablamos de números reales estamos incluyendo todo tipo de números: enteros, fracciones, decimales, negativos, positivos, el cero, raíces, etc. En razón de lo anterior, si te preguntan cuál es el primer número en el intervalo abierto (0, 5), por ejemplo, no puedes dar respuestas correctas. A la derecha del cero está 0.1, pero también están 0.001, 0.0001, 0.000000001, y una infinidad de otros. Te puedes acercar tanto como quieras al cero, sin tocarlo. Y lo mismo pasa con cualquier otro número. En cambio, el primer número en el intervalo [0, 5) es 0, pero no puedes decir cuál es el último porque te puedes acercar tanto como quieras a 5 sin tocarlo.