ECUACIONES DIOFANTICAS Objetivo: Estudiar las soluciones en

ECUACIONES DIOFANTICAS
Objetivo: Estudiar las soluciones en Q de ecuaciones del tipo: Y 2 =
X 3 +aX 2 +bX +c con a, b, c ∈ Q. Por ejemplo, al final de la asignatura
se consigue probar que la ecuación Y 2 = X 3 −1 tiene una única solución
en Q, a saber (1, 0); en otras palabras la curva “elı́ptica”dada por la
ecuación Y 2 = X 3 − 1 tiene un único punto con coordenadas en Q.
Para probar esta afirmación tenemos que explorar el mundo de las curvas elı́pticas, que es muy complejo y del cual, en esta asignatura, solo se
estudian algunos aspectos. El mas importante es el teorema de Mordell
que asegura que el conjunto de puntos con coordenadas racionales de
una curva elı́ptica sobre Q es un grupo abeliano finitamente generado.
En la actualidad las curvas elı́pticas tienen muchas aplicaciones en criptografı́a. En esta asignatura se ven al menos dos de ellas: como se utilizan para factorizar números grandes ( de mas de 100 dı́gitos) y como
se utilizan para construir tests de primalidad ( se usan para probar que
números enormes, de mas de 1000 dı́gitos, son primos).
El programa de la asignatura y la bibliografı́a están en la página Web
de la Facultad.
Requisitos Como requisito mas importante yo dirı́a que es deseable,
aunque no absolutamente imprescindible, haber cursado la asignatura
troncal de “Algebra”. Además se utiliza alguna cosa muy básica de
teorı́a de grupos o de álgebra conmutativa. Pero como se puede comprobar hojeando el libro que se sigue mas de cerca (“Rational Points
on Elliptic Curves”de Silverman y Tate) apenas hay prerequisitos imprescindibles.
Evaluación No hay examen. Los estudiantes tienen que entregar por
escrito problemas individualizados y tienen que estudiar y exponer en
clase un tema relacionado con la asignatura pero que no está incluido
en el programa.
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