1 2 3 4 5 Calif. Apellido y Nombre: Libreta: Algebra I

1
2
3
4
5
Calif.
Apellido y Nombre:
Libreta:
Algebra I - 2do Cuatrimestre 2013
Final – 21/2/2014
1. Se recuerda que la sucesión de Fibonacci está dada por la siguiente fórmula recursiva:
F0 = 0,
F1 = 1,
Fn+2 = Fn+1 + Fn , ∀ n ≥ 0.
Probar que todo número natural n ∈ N puede ser escrito como una suma de distintos números
de Fibonacci entre F2 , F3 , . . . , Fk , . . . . Por ejemplo, 32 = 21 + 8 + 3 = F8 + F6 + F4 .
(Sugerencia para el paso inductivo: notar que siempre se puede obtener una escritura ası́ donde
aparece el mayor número de Fibonacci menor o igual que n.)
¿Es única esta representación?
2. Sea ∼ la relación en Z definida por
a ∼ b ⇐⇒ 6 | 10a + 2b.
Probar que ∼ es una relación de equivalencia y determinar la clase de los elementos 0, 1 y 2.
¿Cuántas clases hay en total?
3. Sean a, b ∈ Z tales que
2109 a ≡ 3
(mód 7) y 5721 b ≡ 4
(mód 37).
Determinar el resto de dividir a 37a + 7b por 259.
4. Sea f ∈ C[X] y sea α ∈ C una raı́z (exactamente) triple de f . Probar que el resto de dividir
a f ′ por (X − α)3 es de la forma c(X − α)2 donde c ∈ C es no nulo.
5. Probar que hay a lo sumo 2 números de exactamente seis dı́gitos que al elevarlos al cuadrado
terminan con los mismos seis dı́gitos. Es decir, en términos de congruencias, que hay a lo
sumo 2 números n de exactamente seis dı́gitos tales que
n2 ≡ n (mód 106 ).
Justifique todas sus respuestas
Complete esta hoja con sus datos y entréguela con el resto del examen