Síntesis de impedancias L – C Teoría de Circuitos TEORIA DE CIRCUITOS IMPEDANCIAS L – C Vimos, cuando determinábamos las propiedades de las funciones de red de punto de excitación, impedancia o admitancia de redes pasivas R – L – C, que éstas tenían la forma: 1 Z(s) = I1 2 . F 0 S. T0 1. S V0 Donde las funciones F0(s), T0(s), V0(s) eran llamadas funciones energéticas, y siempre, daban valores reales y positivos para cualquier valor de S. Por lo tanto para redes L – C, donde F0 = 0, tenemos: 1 ZLC = I1 2 . S. T 0 1. S V0 (1) Es decir que los ceros de la ZLC (llamada función reactancia), están en el eje j. Y sus partes real e imaginaria son: 1 Re ZLC ( S ) = 2 I1 Im ZLC ( S ) = I1 2 V0 T 0 T 0 2 2 V0 2 2 Analicemos el lugar y la distribución de los polos y ceros y la forma de las funciones ZLC. Si hacemos S = j en la expresión (1), resulta que Re[Z(j)] = 0 para todo . Desde aquí se puede demostrar que para que una función FRP cumpla esto, debe ser cociente de polinomios pares sobre impares o al revés: Supongamos una FRP cociente de polinomios completos: N Z(S) = Z ( S) Si N y D son completos podemos expresar Z(S), en general, como D = m1 n1 m2 n2 (2) Donde m1 es la parte par del numerador, m2 la parte par Página 1 Síntesis de impedancias L – C Teoría de Circuitos del denominador, n1 la parte impar del numerador, y n2 la parte impar del denominador. Multiplicamos y dividimos por (m2 – n2): Z ( S )= m1 n 1 m2 n2 m2 n 2 m2 n2 P arZ ( S ) = Efectuamos la operación y separamos la parte par de la misma: m1 m2 m2 n1 n2 2 n2 2 Si hacemos S = j la parte Par de Z(S) pasa a ser la Parte Real de Z(j). Igualamos a cero esta parte Real y vemos que esto se cumple para: 1) m1 = 0 y n2 = 0. Si reemplazamos en la expresión (2) estos valores nos queda: n1 Polinomio impar sobre polinomio par Z(S) = m 2 2) m2 = 0 y n1 = 0. Si reemplazamos en la expresión (2) estos valores nos queda: m1 Polinomio par sobre polinomio impar Z(S) = n 2 3) m1 m2 – n1 n2 = 0. Si despejamos cualquiera de estas partes, y la reemplazamos en la expresión (2), también nos dará un cociente de polinomio par sobre polinomio impar o viceversa. Los polinomios pares e impares con coeficientes reales y positivos, tienen sus raíces imaginarias conjugadas, o complejas conjugadas en ambos semiplanos, como por ejemplo el polinomio S4+6S2+25. Como ZLC(S) es FRP, los polos y ceros de la misma deben estar en el eje j, solamente, y deben ser simples con residuo real y positivo. Para S=0 y S= tenemos: Z(S) Par / Impar Impar / Par S=0 Polo Cero S= Cero o Polo Cero o Polo ¿ Cómo están distribuidos esos polos y ceros? Página 2 Síntesis de impedancias L – C Teoría de Circuitos La función ZLC(S) es un cociente de polinomios y supongamos que tiene polos en el origen, en el infinito y varios en el eje j: 2 Z(S) = H S 2 n 2 S S i 2 Hacemos la expansión en fracciones simples en los polos: Z(S) = H S k0 S S 2 ki 2 (3) i S 2 Si hacemos S = j y calculamos la derivada de esta expresión respecto de , se ve que esta es positiva para todo : Z( j ) = H j k0 j X( ) = H d d k0 n 2 ki j 2 i= 1 S 2 2 Si derivamos respecto de , tenemos: 2 ki X = H i Tomando la función reactancia tenemos: 2 k0 i 2 ki 2 2 2 i i 2 2 2 Evidentemente es positiva para todo . Por lo tanto, estos polos y ceros se encuentran alternados sobre el eje j. Si graficamos la función X(), veremos que no puede ser de otra manera: X() En cuanto a las admitancias L-C si recordamos que la inversa de una FRP es también una FRP, es evidente que tiene las mismas propiedades de las impedancias L-C. Página 3 Síntesis de impedancias L – C Teoría de Circuitos MÉTODOS DE SÍNTESIS La expresión (3) nos muestra una suma de impedancias en serie: K 0 n 2 Ki Z (s) Hs s i 1 s 2 i 2 Hs Es una reactancia inductiva cuya inductancia es de valor H K0 s Es una reactancia capacitiva cuya capacidad es de valor 1/K0 n 2 Ki 2 2 i 1 s i Es una impedancia compuesta de una inductancia de valor 2Ki/i2 y un capacitor de valor 1/2Ki en paralelo. Conectando las tres impedancias en serie nos daría un circuito así: H 1/k0 2ki / i2 1/2k Este método recibe el nombre de FOSTER I Ahora hay que calcular los residuos en los polos para determinar el valor de los elementos. La primera forma de Foster para una red LC se obtiene expandiendo la Z(S) en fracciones parciales e identificando cada uno de los términos con impedancias de redes simples. Página 4 Síntesis de impedancias L – C Teoría de Circuitos EJEMPLO: Sinteticemos la siguiente función como una impedancia (Dipolo), mediante un circuito pasivo: 2 1 0 S 4 S F(S) = 3 S 9 4 S Supongamos que hemos determinado ya que esta función es FRP. Sus polos y ceros están en el eje j. Como vemos cumple con las características de una impedancia o admitancia L–C. La tomamos como una impedancia y la desarrollamos en fracciones simples: Z(S) = H S k0 S 2 k1 S 2 S 4 Evaluamos los residuos: 1) Para S tenemos que Z(S) S por lo tanto H = 1, valor de la inductancia. 2) k0 = S Z(S) para S = 0 por lo tanto k0 = 9/4. Valor de la capacidad = 4/9 2 k1 = 2 S 4 Z( S ) S Y así completamos la síntesis: 3) Para S = j2 o S2 = -4, por lo tanto 2k1 = 15/4 4/15 1 4/9 15/16 Página 5 Síntesis de impedancias L – C Teoría de Circuitos Otro método consiste en considerar a la función dada como una admitancia L-C. Si la expandimos, también, en fracciones simples podemos nuevamente identificar cada una de los términos como redes simples. Esta es la segunda forma de Foster o directamente Foster II. K 0 n 2 Ki Y (s) Hs s i 1 s 2 i 2 n s i 1 Hs Es una susceptancia capacitiva cuya capacidad vale H K0 s Es una susceptancia inductiva cuyo valor es 1/k0 2 Ki 2 i 2 Es una admitancia compuesta por una inductancia de valor 1/2Ki en serie con una capacidad de valor 2Ki/i2. Foster II 1 2 Ki 1 K0 H 2 Ki i 2 Página 6 Síntesis de impedancias L – C Teoría de Circuitos Ejemplo: Como ejemplo tomamos la inversa de la función anterior y tenemos: S S 2 Y (S) = 2 S 4 2 1 S 9 2 k1 S Hacemos la expansión en fracciones simples: Y (S) = 2 S 1 2 k2 S 2 S 9 Evaluamos los residuos: 1) 2k1 = (S2 + 1) Y(S) para S = j1 o S2 = -1 por lo tanto 2k1 = 3 S 8 2) 2k2 = (S2 + 9) Y(S) para S = j3 o S2 = -9 por lo tanto 2k2 = 5 S 8 Y así completamos la síntesis: 8/3 8/5 FOSTER II 3/8 5/72 Página 7 Síntesis de impedancias L – C Teoría de Circuitos Con el mismo ejemplo veamos otros métodos: 2 1 0 S 4 S Z( S ) = 9 S 4S 3 S Esta función tiene polo simple en S = cuya expresión de fracción simple es HS y como Z() = S entonces H = 1. Si le restamos ese término a Z(S) obtenemos otra función impedancia Z1(S): 2 1 0 S 4 Z( S ) = S De modo que la función Z1(S) queda: 4S 3 S 6 S 2 Z1(S) = 9 Al realizar esta operación se ha retirado de la función impedancia una inductancia de valor L = 1, y el circuito queda así: 9 4 S 3 S Z1 La impedancia Z1 tiene un cero en el infinito, por lo tanto, para seguir sintetizando polos en S = , invertimos Z1 y nos queda la admitancia Y1 con un polo en S = 5 S 4 S 3 Y1 = S 6S 2 9 Y2 = Y1 S 6 2 Y2 = 6 S 2 9 Y nos queda la siguiente configuración, luego de retirar la admitancia S/6 y conectarla en paralelo con el resto del circuito: 1 1/6 Y2 Donde nnuevamente Y2 tiene un cero en el infinito, por lo tanto su inversa, Z2 tiene un polo en el infinito. Página 8 Síntesis de impedancias L – C Teoría de Circuitos Es decir Z2 es: 6S 2 Z2 = 9 Retiramos el polo en el infinito que tiene Z2, lo conectamos al circuito, y nos queda Z3: 5S 2 Z3 = Z 2 12 S El circuito queda ahora: 5 1 Z3 = Z2 - 12 S 5 12/5 Z3 1/6 Donde: 18 Z3 = 5 S Y finalmente este último elemento que nos queda lo conectamos al circuito en serie con el anterior y completamos el circuito: 1 1/6 12/5 5/18 Este método recibe el nombre de CAUER I y consiste en restar, siempre, el polo en el infinito de la función impedancia o admitancia que se da como dato, y luego invertir la función que queda y restarle el polo en el infinito y así sucesivamente hasta completar el circuito, como se ha visto. Como se han restado, siempre, los polos en el infinito con su residuo total, se dice que este método consiste en la remoción total de polos en el infinito. Página 9 Síntesis de impedancias L – C Teoría de Circuitos Este mismo procedimiento nos lleva a otro método que consiste en la remoción total de polos en el origen. Como ejercicio se puede sintetizar la misma función impedancia anterior por este método, partiendo de que en el origen tiene un polo. Se debe verificar que el circuito completo tendrá la siguiente estructura: Solo falta hacer los cálculos para conseguir el valor de los elementos. Este método recibe el nombre de CAUER II. Para los dos métodos de CAUER, en lugar de realizar la resta de la expresión correspondiente a un polo en el infinito o en el origen, se pueden realizar divisiones sucesivas a partir de la función original de un cociente por vez o, lo que es lo mismo, hallar las fracciones continuas Vemos que con estos métodos de remociones totales no se pueden tener menos elementos que estos pues, por cada polo interno hay 2 elementos, y no menos, por cada polo externo (origen o infinito), hay 1 elemento (ver FOSTER I), o sea que estas redes están sintetizadas con la mínima cantidad de elementos y reciben el nombre de redes canónicas, por lo tanto los cuatro métodos de síntesis vistos, y cualquier otro que se base en la remoción total, realizan redes de formas canónicas. Existe una quinta forma canónica que es una mezcla de los métodos anteriores. Se basa en la remoción alternada alrededor del cero y del infinito Página 10 Síntesis de impedancias L – C Teoría de Circuitos REMOCIÓN TOTAL DE POLOS EN FORMA GRÁFICA Con el concepto de la remoción de polos con la totalidad de su residuo, y con cualquier polo no solamente con los que se hallen en los extremos: Para remover un polo en S = restamos la expresión Hs Para remover un polo en S = 0 restamos la expresión K0 s Para remover un polo en S = ji restamos la expresión n s i 1 2 Ki i 2 2 Si nos fijamos en el desarrollo del método de CAUER I del ejemplo anterior vemos que para cada remoción de polo se produce un desplazamiento de ceros internos. Veamos, en un gráfico, este desplazamiento: Marcamos con X a los polos y con 0 a los ceros sobre la parte positiva del eje Z X 0 X 2 1 0 X 3 Z1 X 0 1,22 X 2 0 0 X 1,22 0 2 X 0 X 1,22 0 0 1,22 X Y1 Y2 Z2 X Z3 X 0 0 X 0 0 Y3 Y4 Página 11 Síntesis de impedancias L – C Teoría de Circuitos En el costado izquierdo del gráfico podemos poner las operaciones que hacemos para realizar las distintas remociones: Z1 = Z( s ) 6S 2 H S Siendo H = 1 por lo tanto Z1 = 9 4S 3 S 5S Y 2 = Y1 H1 S Siendo H1 = 1/6 por lo tanto Y2 = 2 6S 2 9 18 5S Y en el lado derecho los elementos correspondientes a cada remoción. Z3 = Z2 H3 S Siendo H3 = 12/5 por lo tanto Z3 = Podemos intentar una síntesis distinta a los cuatro métodos anteriores mediante remociones totales como una mezcla de esos métodos, también graficando los desplazamientos de ceros. Realizamos la síntesis de la misma función anterior: 2 1 0 S 4 Z( S ) = S 3 S 9 4S Hacemos las siguientes remociones totales: 1) Removemos, totalmente, el polo de esta función en el origen (CAUER II): Z1(S) = Z( S ) 9 4 S Y nos queda Z1 = S S 2 7 .75 2 4 S 2) Ahora invertimos Z1 y removemos totalmente, el polo de Y1 en S = j 2.78 (FOSTER I): Y 2 = Y1 0.484S 2 S 7.75 Y nos queda Y2 = 0.516 S 3) Removemos, totalmente, el polo en el origen de Y2 y tenemos el último elemento que evidentemente es un inductor (CAUER II). Página 12 Síntesis de impedancias L – C Teoría de Circuitos Hagamos un gráfico de todo el método y completémoslo con los elementos removidos: Z(S) X Z1(S) = 0 2 X X 0 2 2.78 X 7.75 X Y2 0 3 0.484S S Y3 = X 2 9 4S Z( S ) Y 2 = Y1 0 1 0 2 X 2.78 0 0.516 S X 0 0 0 Y4 = 0 Y queda la siguiente red: Notamos que tiene la misma cantidad de elementos que las otras cuatro redes anteriores, o sea que es una red canónica. A cualquier mezcla de los cuatro métodos, aunque no estén todos, le llamamos quinta forma canónica. Página 13