DISEÑO DE EXPERIMENTOS (UN FACTOR) Modelo: Yij ∼ N (µi ; σ 2 ) independientes; i = 1, ..., I; j = 1., ..., ni ; ȳi. = 1 X yij ; ni j ȳ.. = P i ni = n. 1X ni ȳi. n i 1 X yij , i = 1, ..., I ni j r 1 IC1−α (µi ) = ȳi. ± tn−I;α/2 SR ni 2 σ̂ 2 = SR = µ̂i = ȳi. = 1 XX (yij − ȳi. )2 n−I i j 2 2 (n − I)SR (n − I)SR ; χ2n−I;α/2 χ2n−I;1−α/2 IC1−α (σ 2 ) = Tabla ANOVA Suma de cuadrados P SCE = i ni (ȳi. − ȳ.. )2 P P SCR = i j (yij − ȳi. )2 P P SCT = i j (yij − ȳ.. )2 g.l. Varianza I −1 SCE I−1 F = SCE/(I−1) SCR/(n−I) SCR n−I n−1 s IC1−α (µi − µj ) = 2 = SR n−I Estadı́stico ȳi. − ȳj. ± tn−I;α/2 SR 1 1 + ni nj ! 2 SR ; P = − 1)s2i n−I i (ni DISEÑO DE EXPERIMENTOS (DOS FACTORES SIN INTERACCIÓN) Yij ∼ N (µ + αi + βj ; σ 2 ) independientes; i = 1, . . . , I; j = 1, . . . , J 1 XX yij IJ i j 1X yij − ȳ.. = ȳi. − ȳ.. = J j 1X yij − ȳ.. = ȳ.j − ȳ.. = I i XX XX 1 1 2 = SR = (yij − ȳi. − ȳ.j + ȳ.. )2 = ê2ij (I − 1)(J − 1) (I − 1)(J − 1) µ̂ = ȳ.. = α̂i β̂j σ̂ 2 i j i Tabla ANOVA Suma de cuadrados P SCE(α) = J i α̂i2 P SCE(β) = I j β̂i2 P P SCR = i j ê2ij P P SCT = i j (yij − ȳ.. )2 siendo: F (α) = g.l. Varianza Estadı́stico I −1 F (α) J −1 SCE(α) I−1 SCE(β) J−1 (I − 1)(J − 1) SCR (I−1)(J−1) IJ − 1 SCE(α)/(I − 1) ; SCR/(I − 1)(J − 1) F (β) = SCE(β)/(J − 1) SCR/(I − 1)(J − 1) ! 1 1 ȳi. − ȳj. ± t(I−1)(J−1);α/2 SR + J J ! r 1 1 ȳ.i − ȳ.j ± t(I−1)(J−1);α/2 SR + I I r IC1−α (αi − αj ) = IC1−α (βi − βj ) = F (β) j ! DISEÑO DE EXPERIMENTOS (DOS FACTORES CON INTERACCIÓN) Yijk ∼ N (µ + αi + βj + (αβ)ij ; σ 2 ) independientes; i = 1, ..., I; j = 1., ..., J; k = 1, ..., K 1 XXX yijk IJK i j k 1 XX ȳi.. − ȳ... = yijk − ȳ... JK j k 1 XX ȳ.j. − ȳ... = yijk − ȳ... IK i k 1 X ȳij. − ȳi.. − ȳ.j. + ȳ... = yijk − ȳi.. − ȳ.j. + ȳ... K k XXX XXX 1 1 2 SR = (yijk − ȳij. )2 = ê2ij IJ(K − 1) IJ(K − 1) µ̂ = ȳ... = α̂i = β̂j = ˆ (αβ) ij = σ̂ 2 = i j i k j k Tabla anova Suma de cuadrados P SCE(α) = JK i α̂i2 P SCE(β) = IK j β̂j2 P P ˆ 2 SCE(αβ) = K i j (αβ) ij P P P 2 SCR = i j k êij P P P SCT = i j k (yijk − ȳ... )2 G.l. Varianza F I −1 F (α) (I − 1)(J − 1) SCE(α) I−1 SCE(β) J−1 SCE(αβ) (I−1)(J−1) IJ(K − 1) SCR IJ(K−1) J −1 F (β) F (αβ) IJK − 1 siendo los estadı́sticos: F (α) = SCE(α)/(I − 1) ; SCR/IJ(K − 1) F (β) = SCE(β)/(J − 1) ; SCR/IJ(K − 1) F (αβ) = SCE(αβ)/(I − 1)(J − 1) SCR/IJ(K − 1) REGRESIÓN LINEAL SIMPLE Modelo: Yi ∼ N (β0 + β1 xi ; σ 2 ) independientes, i = 1, ..., n. β̂1 = cov vx cov x̄ = ȳ − β̂1 x̄ vx 1 X 1 X 2 = SR = (yi − ŷi )2 = (yi − β̂0 − β̂1 xi )2 n−2 n−2 β̂0 = ȳ − σ̂ 2 i i s x̄2 1 + n nvx r 1 IC1−α (β1 ) = β̂1 ± tn−2;α/2 SR nvx ! 2 2 (n − 2)SR (n − 2)SR 2 ; IC1−α (σ ) = χ2n−2;α/2 χ2n−2;1−α/2 IC1−α (β0 ) = β̂0 ± tn−2;α/2 SR Tabla anova Suma de cuadrados P SCE = i (ŷi − ȳ)2 P SCR = i (yi − ŷi )2 P SCT = i (yi − ȳ)2 SCT = nvy ; G.l. Varianza 1 SCE 1 n−2 SCR n−2 Estadı́stico F = SCE/1 SCR/(n−2) n−1 SCR = nvy (1 − r2 ) ; cov donde r = √ vx vy s IC1−α (valor medio de Y ) = ŷ0 ± tn−2;α/2 SR 1 (x0 − x̄)2 + n nvx IC1−α (valor individual de Y ) = ŷ0 ± tn−2;α/2 SR 1 (x0 − x̄)2 1+ + n nvx s REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE Modelo: Yi ∼ N (β0 + β1 x1i + ... + βk xki ; σ 2 ) independientes, i = 1, ..., n. 2 σ̂ 2 = SR = X X 1 1 (yi − ŷi )2 = (yi − β̂0 − β̂1 x1i − · · · − β̂k xki )2 n−k−1 n−k−1 i i IC1−α (βi ) = β̂i ± tn−k−1;α/2 (error tı́pico de β̂i ) , i = 0, . . . , k ( H0 : βi ≤ 0 ⇒ R = error tı́pico de β̂i ( H0 : βi ≥ 0 ⇒ R = ) β̂i > tn−k−1;α ) β̂i error tı́pico de β̂i < tn−k−1;1−α Tabla anova Suma de cuadrados P SCE = i (ŷi − ȳ)2 P SCR = i (yi − ŷi )2 P SCT = i (yi − ȳ)2 R2 = G.l. Varianza k SCE k n−k−1 SCR n−k−1 SCE SCT − SCR = ; SCT SCT Estadı́stico F = n−1 F = R2 n − k − 1 1 − R2 k SCE/k SCR/(n−k−1)