préstamos i. concepto. ii. clasificación.

CUERPO TÉCNICO DE HACIENDA
Matemática Financiera
Unidad 3 – Préstamos.
PRÉSTAMOS
I.
CONCEPTO.
Un PRÉSTAMO FINANCIERO es una operación financiera en la que el PRESTAMISTA entrega
al PRESTATARIO una disponibilidad económica representada por el capital financiero (C1; O).
En contraprestación, el PRESTATARIO se compromete a:
1. Devolver el CAPITAL PRESTADO o PRINCIPAL en un plazo concreto de tiempo, bien en UN
SOLO PAGO, o bien en VARIOS PAGOS, y además a
2. Pagar un PRECIO FINANCIERO, que denominamos “tipo de interés del préstamo” (i).
II. CLASIFICACIÓN.
A) Préstamos con devolución del PRINCIPAL (C1) EN UN SOLO PAGO.
1. Préstamos con devolución del PRINCIPAL e INTERESES en un solo pago. Ejemplo: Bonos
y obligaciones CUPÓN CERO.
2. Préstamo con PAGO PERIÓDICO DE INTERESES y devolución del principal en un solo
pago. Ejemplo: Certificados de depósito y bonos y obligaciones americanas.
3. Préstamos con PAGO PERIÓDICO DE INTERESES y devolución del principal en un solo
pago, mediante la constitución de un Fondo de Amortización.
B) Préstamos con devolución del PRINCIPAL (C1) EN VARIOS PAGOS.
1. Préstamos francés.
2. Préstamo de cuota constante.
3. Préstamo de términos variables linealmente.
4. Préstamo de términos variables acumulativamente.
5. Préstamo alemán.
Antes de entrar a estudiar cada uno de los préstamos antes citados, hay que aclarar dos conceptos que
sirven para TODOS los préstamos:
A) A los PAGOS que realiza el PRESTATARIO al PRESTAMISTA, se les denominan
TÉRMINOS AMORTIZATIVOS, y los representaremos por “ai”. Si la periodicidad de dicho
“término amortizativo” es anual se le denomina ANUALIDAD; si la periodicidad es semestral se
le denomina SEMESTRALIDAD, ...
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B) El “TÉRMINO AMORTIZATIVO” (ai) se DESGLOSA siempre en la SUMA de 2
componentes:
1. INTERESES (Ii):
se calcula aplicando el TIPO DE INTERÉS del préstamo (i) sobre el
CAPITAL VIVO (capital del préstamo pendiente de devolver) al INICIO de dicho período.
Por lo tanto, al FINAL del período t = i, el prestatario pagará de INTERESES:
Ii = C i x i
siendo “Ci” el CAPITAL VIVO al INICIO del período t = i, e “i” el tipo de interés del
préstamo.
2. CUOTA DE AMORTIZACIÓN (Ai):
es una parte del CAPITAL PRESTADO (Ci), de tal
forma que la suma de todas las CUOTAS DE AMORTIZACIÓN contenida en cada término
amortizativo, es igual al capital inicial prestado:
n
∑ Ai = C1
1
Por tanto, el término amortizativo del período “ i ”, será:
ai = Ii + Ai
III. PRÉSTAMOS CON DEVOLUCIÓN DE PRINCIPAL E INTERESES
EN UN SOLO PAGO.
Estos préstamos se caraterizan porque el PRESTATARIO no realiza ningún pago durante la vida
del préstamo, salvo al final de la misma. En dicho momento (t = n), el PRESTATARIO devolverá
tanto el CAPITAL PRESTADO (Ci), como los INTERESES que se han ido generando y
“acumulando” a lo largo de la vida del préstamo [(1 + i)n].
A) La estructura del préstamo será:
Intereses
C1
C1
0
1
2
3 ............ n períodos
Es decir, en t = 0 el PRESTATARIO recibe un capital de cuantía “C1”.
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Durante los períodos 0<= t <= (n-1), el PRESTATARIO no realiza ningún pago, por lo que los
“términos amortizativos” de dichos períodos son igual a “0” .
Al final de los “n” períodos, devuelve tanto el capital prestado (C1), como los intereses
acumulados hasta la fecha. Es decir, realiza un solo pago en t = n, por importe de:
a = C1 (1+ i)n
B) Un valor mobiliario representativo de este tipo de préstamos, son las OBLIGACIONES y
BONOS CUPÓN CERO. En este caso, el adquirente de dichas OBLIGACIONES y BONOS es el
que actúa como PRESTAMISTA respecto a la sociedad que emite dichos títulos.
La sociedad emisora, en la fecha de amortización de las obligaciones y bonos, se compromete a
reembolsar a su titular: por una parte, el valor nominal del título; y por otra parte, los intereses
acumulados desde la fecha de emisión hasta la fecha de reembolso, siguiendo por lo tanto, la
misma dinámica antes descrita para los préstamos con devolución del principal e intereses en un
solo pago.
Ejemplo:
Una sociedad emite BONOS CUPÓN CERO con las siguientes características: valor nominal
6.000 €/bono; la duración de la emisión es de 4 años; y el valor de emisión de los títulos es del
90%.
Los títulos se amortizan anualmente por “SORTEO” por los siguientes valores de reembolso:
110% para los amortizados en el año 1; 115% para los amortizados en el año 2; 121% para los
amortizados en el año 3; y 128% para los amortizados en el año 4.
Si un inversor adquiere en el momento de la emisión 3.500 títulos, los cuales son amortizados
de la siguiente manera: 2.000 títulos al final del año 1 y 1.500 títulos al final del año 3, ¿cuál es
la rentabilidad obtenida por el inversor?.
Solución
1º. Como ya apuntamos en el epígrafe V del tema 1, cuando se habla de RENTABILIDAD, en
realidad de lo que se trata es de calcular el TANTO DE INTERÉS (i), que iguala los
importes monetarios “ENTREGADOS” y “RECIBIDOS” por el inversor con ocasión de la
inversión, en un determinado momento temporal.
En el caso de este inversor, la duración de su inversión es de un total de 3 años (año en el
que se amortizan los últimos títulos adquiridos). Por lo tanto, el cálculo de la
RENTABILIDAD (i), se realizará en el ámbito de la CAPITALIZACIÓN COMPUESTA.
2º. En segundo lugar, se ha de proceder al cálculo de los importes monetarios
“ENTREGADOS” y “RECIBIDOS” por el inversor.
ENTREGADO
En el momento temporal t = 0 (momento de emisión de los títulos), el
inversor “desembolsa” el “precio de compra” de los mismos.
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Precio de compra
= Valor de emisión x número de títulos adquiridos =
90% x 6.000 x 3.500 = 18.900.000 €
RECIBIDO
Al tratarse de BONOS CUPÓN CERO, el inversor NO RECIBE nada hasta
la fecha de amortización de los mismos. En dicha fecha, el inversor recibirá, tanto el
NOMINAL (6.000 €), como los INTERESES ACUMULADOS desde la fecha de emisión
hasta la fecha de amortización (PRIMA DE AMORTIZACIÓN).
Por lo tanto, al final de año 1 recibirá:
VR = 2.000 títulos x 110% x 6.000 = 13.200.000 €
Al final del año 3, recibirá:
VR = 1.500 títulos x 121% x 6.000 = 10.890.000 €
3º. Enfrentando lo ENTREGADO con lo RECIBIDO en t = 0, obtenemos la rentabilidad del
inversor (i):
18.900.000 = 13.200.000 x (1 + i)-1 + 10.890.000 x (1 + i)-3
ENTREGADO
RECIBIDO
siendo “i” la RENTABILIDAD DEL INVERSOR.
IV. PRÉSTAMOS CON PAGO PERIÓDICO DE INTERESES
DEVOLUCIÓN DEL PRINCIPAL EN UN SOLO PAGO.
Y
Estos préstamos se caracterizan porque, al igual que en el caso anterior, el PRESTATARIO no
devuelve el CAPITAL PRESTADO (C1), hasta el final de la vida del préstamo (t = n). Sin embargo,
a diferencia del caso anterior, al final de cada período de tiempo el PRESTATARIO satisface los
INTERESES devengados en dicho período.
A) A este tipo de préstamos se les denomina “PRÉSTAMOS AMERICANOS”.
La estructura de estos préstamos es:
I
C1
C1
0
1
2
3 ......
n-1
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n
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En este tipo de préstamo el PRESTATARIO paga al FINAL de “cada período” los
INTERESES devengados durante dicho período y solo al final de la vida del préstamo, paga
además el CAPITAL PRESTADO. Como en cada período el PRESTATARIO no devuelve nada
del PRINCIPAL, el CAPITAL VIVO al inicio de cada uno de los períodos es exactamente el
mismo. Por lo tanto, los INTERESES que paga el prestatario en cada período son
cuantitativamente iguales y de importe:
I1 = I2 = .....In = C1 x i
Por tanto, los “ términos amortizativos” que paga el PRESTATARIO al final de cada período,
son:
0 <= t <= n-1
t=n
at = It = C1 x i
(Solo intereses)
an = A + I = C1 + C1 x i = C1 (1+ i)
(Amortización (C1) MÁS los intereses del
período “n”)
B) Los CERTIFICADOS DE DEPÓSITO son instrumentos bancarios de financiación,
representativos de este tipo de préstamos AMERICANOS: Son títulos emitidos por una entidad
financiera y adquiridos por un tercero a cambio de una cantidad de dinero (PRINCIPAL). Estos
títulos son transferibles por endoso. La entidad financiera emisora del Certificado de Depósito paga
a lo largo de la vida del título, INTERESES PERIÓDICOS al tenedor del mismo.
Al final de la vida del título, la entidad financiera pagará a su tenedor además del INTERÉS, el
PRINCIPAL.
Las OBLIGACIONES y BONOS AMERICANOS, son otro valor mobiliario representativo de
este tipo de préstamos. Funcionan exactamente igual que los Certificados de Depósito, con la única
diferencia de que las OBLIGACIONES y BONOS son emitidos normalmente o bien por el
Tesoro Público, o bien por las empresas privadas.
V.
PRÉSTAMOS CON PAGO PERIÓDICO DE INTERESES Y
DEVOLUCIÓN DEL PRINCIPAL EN UN SOLO PAGO, MEDIANTE
LA CONSTRUCCIÓN DE UN FONDO DE AMORTIZACIÓN.
Estos préstamos son IDÉNTICOS a los del epígrafe IV. Es decir, a lo largo de la vida del préstamo
el PRESTATARIO paga:
- Al final de cada período de tiempo: los INTERESES generados en dicho período.
- Al final de la vida del préstamo (t = n): la totalidad del CAPITAL PRESTADO (C1).
La única diferencia con los préstamos del apartado anterior, es que el PRESTATARIO con la
finalidad de disponer de la liquidez necesaria al final de la vida del préstamo para devolver el
PRINCIPAL (C1), va realizando a lo largo de la vida del préstamo aportaciones a un FONDO, de
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manera tal que dichas “aportaciones” junto con los “intereses que generan”, constituyan un montante
igual a C1 en t = n.
A) También se le denomina PRÉSTAMO SINKING-FUND.
La estructura de estos préstamos es:
I
C1
F
F
C1
F
0
1
2
3 ......
n-1
n
En este tipo de préstamos, el “término amortizativo” que paga el PRESTATARIO en cada
período se desglosa en dos sumandos:
1. INTERESES (I). Al FINAL de cada período, el prestatario paga los intereses (igual que
ocurría en el PRÉSTAMO AMERICANO):
I = C1 x i
, siendo idénticos en todos los períodos.
2. FONDO (F).
Al FINAL de cada período, el prestatario deposita en una cuenta corriente una
cantidad F a un tipo de interés “r”. Al final de la vida del préstamo, la suma de estas cantidades
depositadas (F), junto con los intereses por ellos generados, han de ser igual a la cuantía del
capital prestado.
C1 = F x Sn⎤ r
C1
. Por tanto: F = ⎯-⎯
Sn⎤ r
Es decir, la estructura del “ término amortizativo” en cada período, será:
0 <= t <= n
a=I+F
Ejemplo:
Un individuo solicita un préstamo de 25.000 € a un TAE del 9%.
El préstamo se amortizará en un período de 6 años por el sistema del FONDO DE
AMORTIZACIÓN, rentabilizando las cantidades depositadas en el mismo a un TAE del 5%.
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Se pide:
Calcular la cuantía del FONDO ANUAL en los dos siguientes casos:
a) Las aportaciones son constantes y vencidas.
b) Las aportaciones crecen geométricamente en un 10% anual.
Solución
Como ya se ha apuntado en el epígrafe V del presente tema, en este tipo de préstamos, el
PRESTATARIO paga:
- Al final de cada año: los INTERESES generados en dicho período de tiempo. Es decir, al
final de cada año, el prestatario satisface en concepto de INTERESES:
I1 = I2 = ....... = I6 = C1 x i = 25.000 x 0,09 = 2.250 €
- Además, al final de cada año: realiza APORTACIONES a un FONDO (Fk), de manera tal,
que al final de la vida del préstamo (año 6), dichas APORTACIONES junto con los
INTERESES que generan (5% anual), constituyan un FONDO FINAL igual al CAPTIAL
PRESTADO (C1):
6
∑ Fk x (1 + i)6-k = C1
1
a) Aportaciones constantes y vencidas.
- La estructura del FONDO DE AMORTIZACIÓN sería:
C1 = 25.000
0
F
F
F
F
F
F
1
2
3
4
5
6 años
i = 5%
- Planteando el equilibrio financiero en t = 6 años (final del préstamo) y teniendo en
cuenta que las “aportaciones al fondo” constituyen una RENTA ANUAL CONSTANTE
Y POSPAGABLE:
C1 = F x S6⎤ i
Es decir:
25.000 = F x S6⎤ i
⇒
F = 3.675,43 €
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- Así, el prestatario al FINAL de cada año satisface en concepto de “término
amortizativo”:
a = F + I = 3.675,43 + 2.250 = 5.925,43 €
b) Aportaciones crecen geométricamente en un 10% anual.
- La estructura del FONDO DE AMORTIZACIÓN sería:
C1 = 25.000
0
F
Fxq
Fxq2
Fxq3
Fxq4
1
2
3
4
5
Fxq5
6 años
i = 5%
- Planteando el equilibrio financiero en t = 6 años (final del préstamo) y teniendo en
cuenta que las “aportaciones al fondo” constituyen una RENTA ANUAL VARIABLE
EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA DE RAZÓN q = 1,10:
C1 = A (F ; q)6⎤ i x (1 + i)6
Es decir:
q
6
1–
1+i
x (1 + i)6 ⇒
25.000 = F x
(1 + i) - q
1,10
6
1–
1,05
x (1 + 0,05)6 ⇒
25.000 = F x
F = 2.897,1039 €
1,05 – 1,10
- Así, el prestatario satisface, por ejemplo, al final del año 4 en concepto de “término
amortizativo”:
a4 = F4 + I = F x q3 + I = 2.897,1039 x 1,103 + 2.250 = 6.106,04 €
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VI. CARENCIA EN LOS PRÉSTAMOS.
A) Se dice que en un préstamo existe CARENCIA, cuando se retrasa el PAGO DE LA PRIMERA
“CUOTA DE AMORTIZACIÓN” “S” períodos desde la fecha de concesión del préstamo.
Así, un préstamo con “S” períodos de CARENCIA tendría la forma:
As+1
As+2
An
C1
0
1
2 ……………… s
s+1
s+2 …………. n
“s” períodos de carencia
B) Existen dos tipos de PRÉSTAMOS CON CARENCIA:
1. PRÉSTAMOS CON CARENCIA SIN PAGO DE INTERESES DURANTE EL PERÍODO
DE CARENCIA: En este tipo de préstamos, el PRESTATARIO no paga nada hasta el final
del período t = s+1. Por lo tanto, los INTERESES de los períodos de “0” a “s”, se habrán
ACUMULADO hasta el inicio del período t = s+1.
Por todo lo expuesto, es por lo que en este tipo de préstamos, se considera que:
1. El préstamo es como si se iniciase al INICIO del período t = s+1.
2. La cuantía del capital prestado al inicio del período t = s+1, se considera que es el
PRINCIPAL inicial, más los INTERESES acumulados hasta el inicio de t = s+1. Es decir:
Cs+1 = C1 (1+i)s , y
3. Se considera que el préstamo tiene una DURACIÓN de (n-s) períodos.
C1 (1+i) s
C1
0
1
2 ………………. s
a1
s+1
a2
a
(n-s)
s+2 ……....... n
“s” períodos de carencia
sin pago de intereses
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2. PRÉSTAMOS CON CARENCIA CON PAGO DE INTERESES DURANTE EL
PERÍODO DE CARENCIA: En este tipo de préstamos, el PRESTATARIO paga al final de
cada período de carencia los INTERESES generados durante dicho período. Por lo tanto, en
este tipo de préstamos, se considera que:
1. El préstamo es como si se iniciara al INICIO del período t = s+1.
2. La cuantía del capital prestado al inicio del período t = s+1, es exactamente igual que el
PRINCIPAL inicial concedido. Es decir, C1.
3. Se considera que el préstamo tiene una DURACIÓN de (n-s) períodos.
C1 x i
C1 x i
C1 x i
C1 x i
C1
C1
0
1
2
3 ............... s
a1
a2
a ( n-s)
s+1
s+2 …………. n
“s” períodos de carencia
con pago de intereses
C) El concepto de CARENCIA es aplicable a cualquier tipo de préstamo.
VII. PRÉSTAMO FRANCÉS.
A) La estructura de este préstamo es:
C1
I1
a
I2
A1
a
A2
In
a
An
0
1
2
........................................
n-1
n
B) Este tipo de PRÉSTAMO se caracteriza porque el PRESTATARIO, paga al final de cada
período, un “ término amortizativo” (a), cuantitativamente igual” en cada período.
Así: a1 = a2 = a3 =.......= an = a
, conteniendo cada “término amortizativo” (a), una parte de
CUOTA DE AMORTIZACIÓN (Ak) y otra parte de INTERESES (Ik):
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a = A k + Ik
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Planteando el equilibrio financiero en t = 0, el valor actual de dichos “términos amortizativos”,
debe ser igual al importe del “capital inicial prestado” (C1):
C1 = a x a n⎤ i
Por tanto, cada “término amortizativo” será igual a:
C1
a = ⎯⎯⎯
an⎤ i
C) Como ya hemos visto anteriormente, cada “término amortizativo” consta de dos sumandos:
1. INTERESES (Ik):
Los INTERESES a pagar al final de cada período se calculan, aplicando
el TIPO DE INTERÉS del préstamo, sobre el CAPITAL VIVO al inicio de dicho período.
Ik = Ck x i
Para calcular el CAPITAL VIVO al INICIO del período “k”, podemos plantear el equilibrio
financiero al INICIO de dicho período, y calcular el valor actualizado de los “términos
amortizativos” que faltan por pagar:
C1
k-1
t=k
a
a
a
k
k+1 ............ n
Ck = a x a n- (k-1)⎤ i
2. CUOTA DE AMORTIZACIÓN (Ak):
En el caso del préstamo francés las “cuotas de
amortización” a pagar al FINAL de cada período, varían respecto a la del año anterior, en
progresión geométrica de razón “(1+i)”. Es decir:
Ak = A k-1 x (1+i)
Cualquier cuota de amortización, la podemos expresar en función de la cuota de amortización
del PRIMER AÑO, de forma que:
Ak = A1 x (1+i) (k-1)
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La CUOTA DE AMORTIZACIÓN DEL PRIMER AÑO (A1) la podemos calcular de dos
formas:
- Primera forma: Puesto que el término amortizativo del primer año es:
a = C1 x i + A1
y una vez calculado “a” y puesto que “C1” e “i” son datos del problema, podemos calcular A1
como:
A1 = a – C1 x i
- Segunda forma: Puesto que la suma aritmética de las “cuotas de amortización” tiene que ser
igual a la cuantía del “capital prestado” (C1) y puesto que dichas cuotas de amortización
varían en progresión geométrica de razón “(1+i)” entonces:
C1 = A1+A1 (1+i)+A1(1+i)2+.....+A1(1+i)n-1= A1 x Sn⎤ i
Por tanto:
C1
A1= ⎯⎯⎯
Sn⎤ i
D) Por último, si el problema nos pide calcular el CAPITAL AMORTIZADO hasta el período “k”
(M k), habrán de sumarse las “cuotas de amortización” satisfechas desde el inicio del préstamo,
hasta el final del período “k”:
M k = A1 + A1 (1+i) + A1 (1+i)2 +.....+ A1 (1+i) (k-1) = A1 x Sk⎤ i
C1
Como A1 = ⎯⎯⎯ , entonces nos queda que:
Sn⎤ i
C1
M k = ⎯⎯⎯ x SK⎤ i
Sn⎤ i
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Ejemplo:
Un individuo solicita un préstamo de 100.000 € a amortizar en 8 años por anualidades
constantes, a un TAE del 7%.
Se pide:
a) Término amortizativo anual.
b) Capital vivo al inicio del año 4.
c) Componentes del cuadro de amortización del año 6.
Solución
a) Término amortizativo anual (a).
- Como ya se ha apuntado en el presente epígrafe, el PRESTATARIO paga al final de
cada año un importe IDÉNTICO (término amortizativo), estando contenido en dicho
importe, tanto los INTERESES generados durante el año, como la CUOTA DE
AMORTIZACIÓN (Ak) correspondiente:
a = Ak + Ik
- La estructura de este préstamo es:
C1
0
a
a
a
a
a
a
a
a
1
2
3
4
5
6
7
8 años
i = 7%
- Como ocurre en todos los préstamos, el CAPITAL RECIBIDO en t = 0 (C1 = 100.000
€), tiene que ser IGUAL al VALOR ACTUAL de las cantidades a ENTREGAR (a) a
cambio, a lo largo de la vida del préstamo. Por lo tanto, planteando el equilibrio
financiero en t = 0.
C1 = a x a8⎤ i
De donde:
100.000 = a x a8⎤ 0,07
⇒
a = 16.746,77 €
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TÉRMINO
AMORTIZATIVO
ANUAL
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Unidad 3 – Préstamos.
b) Capital vivo al inicio del año 4.
- El planteamietno sería el siguiente:
C4
3
a
a
a
a
a
4
5
6
7
8 años
- Como ocurre en todos los tipos de préstamo, el CAPITAL VIVO al inicio de un
período (es decir, el capital PENDIENTE DE AMORTIZAR), tiene que ser IGUAL al
VALOR ACTUAL de las cantidades PENDIENTES DE ENTREGAR (a) hasta el
final de la vida del mismo. Por lo tanto, planteando el equilibrio financiero en t = 3 (inicio
del período 4):
C4 = a x a5⎤ 0,07
De donde:
C4 = 16.746,77 x a5⎤ 0,07 = 68.665,09 €
c) Componentes del cuadro de amortización del año 6.
AÑO
TÉRMINO
AMORTIZATIVO
(a)
INTERESES
(I4)
CUOTA
AMORTIZACIÓN
(A4)
TOTAL
AMORTIZADO
(M4)
CAPITAL
VIVO (C7)
6
16.746,77
3.076,42
13.670,35
69.721,47
30.278,53
1. INTERESES (I4)
Los intereses SIEMPRE se calculan sobre el CAPITAL VIVO al
inicio del período. Por ello, lo primero que tengo que calcular es el CAPITAL VIVO AL
INICIO DEL AÑO 6 (C6):
C6
5
a
a
a
6
7
8 años
- Como ya hemos apuntado antes, el CAPITAL VIVO al inicio de un período tiene que
ser igual al VALOR ACTUAL de las cantidades PENDIENTES DE ENTREGAR
(a) hasta el final de la vida del mismo. Por lo tanto planteando el equilibrio financiero
en t = 5 (inicio del período 6):
C6 = a x a3⎤ 0,07 = 16.746,77 x a3⎤ 0,07 = 43.948,81 €
- Una vez calculado el CAPITAL VIVO AL INICIO DEL AÑO 6 (C6), podemos
calcular los INTERESES generados a lo largo de ese año:
I6 = C6 x i = 43.948,81 x 0,07 = 3.076,42 €
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2. CUOTA DE AMORTIZACIÓN (A6)
La puedo calcular de 2 FORMAS:
1ª FORMA: Puesto que el “término amortizativo” del año 6 es:
a = A6 + I6
Entonces (dado que son conocidos “a” e “I6”) por diferencia obtendré la “cuota de
amotización”:
A6 = a - I6 = 16.746,77 – 3.076,42 = 13.670,35 €
2ª FORMA: Como ya se ha expuesto en el epígrafe VII del presente tema:
C1
A1 =
Sn⎤ i
A6 = A1 x (1 + i)5
Por lo tanto:
A6 = A1 x (1 + i)5 =
C1
100.000
x (1 + i)5 =
Sn⎤ i
3. TOTAL AMORTIZADO (M6)
tema:
x (1,07)5 = 13.670,35 €
S8⎤ 0,07
Como ya se ha expuesto en el epígrafe VII del presente
C1
A1 =
Sn⎤ i
M 6 = A1 x Sk⎤ i
C1
M 6 = A1 x S6⎤ i =
100.000
x S6⎤ i =
Sn⎤ i
x S6⎤ 0,07 = 69.721,47 €
S8⎤ 0,07
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4. CAPITAL VIVO AL FINAL DEL AÑO 6 (C7)
Lo puedo calcular de 2 FORMAS:
1ª FORMA: El CAPITAL VIVO AL INICIO DEL PERÍODO 7 (final del año 6) tiene que
ser IGUAL al VALOR ACTUAL de las cantidades PENDIENTES DE ENTREGAR (a)
hasta el final de la vida del mismo. Por lo tanto, planteando el equilibrio financiero en t = 6
(final del año 6):
C7
6
a
a
7
8
C7 = a x a2⎤ 0,07 = 16.746,77 x a2⎤ 0,07 = 30.278,53 €
2ª FORMA: Si el capital inicialmente prestado (C1) fue de 100.000 €, y al final del año 6
se ha amortizado (devuelto) un total de 69.721,47 € (M6), quiere decir que falta por
amortizar (CAPITAL VIVO):
C7 = C1 x M6 = 100.000 – 69.721,47 = 30.278,53 €
VIII. PRÉSTAMO DE CUOTA DE AMORTIZACIÓN CONSTANTE.
A) Este tipo de préstamos se caracteriza porque las “CUOTAS DE AMORTIZACIÓN” que el
PRESTATARIO paga al final de cada período, son cuantitativamente iguales.
Así:
A1 = A2 = A3 = ..... An = A
Puesto que la suma aritmética de las “cuotas de amortización”, contenidas en cada “término
amortizativo”, tiene que ser igual al importe del capital prestado (C1), entonces:
C1 = A1 + A2 + A3 + ..... +An = n x A
Por lo tanto, cada “cuota de amortización” será igual a:
C1
A = ⎯⎯
n
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B) Para calcular el CAPITAL VIVO al INICIO del período “k” (Ck), basta con sumar
aritméticamente las “cuotas de amortización” que faltan por pagar desde el inicio del período
“k” hasta el final del préstamo.
Ck = Ak + Ak+1 + ..... An = [n - (k-1)] x A
t=k
C) Los INTERESES que el prestatario tiene que pagar al FINAL del período “k”, se calculan
aplicando el TIPO DE INTERÉS del préstamo (i) sobre el CAPITAL VIVO al inicio del
período “k”:
t=k
Ik = CK x i
D) Por último, por lo que respecta a los “TÉRMINOS AMORTIZATIVOS” (ak), hay que señalar
que en este tipo de préstamos la CUANTÍA del TÉRMINO AMORTIZATIVO de un período,
varía respecto a la del año anterior, en progresión aritmética de razón:
C1
d = - ⎯⎯ x i = - A x i
n
De tal forma que:
C1
ak = a k-1 - ⎯⎯ x i
n
ó
ak = a
k-1 –
Ax i
Cualquier TÉRMINO AMORTIZATIVO lo podemos expresar en función del TÉRMINO
AMORTIZATIVO del PRIMER AÑO, de forma que:
C1
ak = a1 – (k - 1) ⎯⎯ x i
n
ó
ak = a1 -(k - 1) x A x i
Ejemplo:
Un individuo solicita un préstamo de 10.000 €. La duración del préstamo es de 6 años.
Existe una CARENCIA SIN PAGO DE INTERESES de 3 años.
El préstamo se concede a un tanto semestral del 2% y se amortiza por el sistema de cuota de
amortización constante anual.
Se pide:
a) Anualidad del año 2 y 5.
b) Capital vivo al inicio del año 5.
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Solución
a) Anualidad del año 2 y 5.
- La estructura del préstamo es:
C4 = C1 x (1 + i)3
0
1
2
3
a4
a5
a6
4
5
6
años
CARENCIA SIN PAGO
DE INTERESES
- Como los TÉRMINOS AMORTIZATIVOS son ANUALES y sin embargo el TANTO
DE INTERÉS es SEMESTRAL, lo primero que hay que hacer es calcular el TANTO DE
INTERÉS ANUAL, para que podamos aplicar las fórmulas conocidas:
i = (1 + i)2 – 1 = (1 + 0,02)2 – 1 = 0,0404 anual
- En segundo lugar, hay que destacar que se trata de un préstamo con CARENCIA SIN
PAGO DE INTERÉS durante los 3 primeros años, por lo tanto, los INTERESES NO
PAGADOS en dicho período se ACUMULAN hasta el inicio del año 4, tal y como ya se
expuso en el epígrafe VI del presente tema.
Así, al inicio del año 4, el CAPITAL VIVO (C4) (es decir, el capital pendiente de
devolver) sería de:
C4 = C1 x (1 + i)3 = 10.000 x (1 + 0,0404)3 = 11.261,62 €
- Por todo lo expuesto hasta el momento, a efectos de calcular los “términos amortizativos”
(ak) y las “cuotas de amortización” (A), habrá de considerarse COMO si el préstamo dado
fuera:
C4 = 11.261,62
3
a4
a5
a6
4
5
6
- Por lo tanto, la CUOTA DE AMORTIZACIÓN (A) a satisfacer a partir del año 4, será
de:
C4
A4 = A5 = A6 = A =
11.261,62
=
3
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= 3.753,97 €
3
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Unidad 3 – Préstamos.
- Puesto que en este tipo de préstamos, los “términos amortizativos” DECRECEN EN
PROGRESIÓN ARITMÉTICA de razón “- A x i”, la anualidad del año 6 será de:
a6 = a4 – (6 – 4) A x i
Por ello, lo primero que tenemos que hacer, es calcular la cuota de amortización del año
4 (a4).
a4 = C4 x i + A = 11.261,62 x 0,0404 + 3.753,87 = 4.208,84 €
Intereses Amortización
Por lo tanto:
a6 = a4 – (6 – 4) x A x i = 4.208,84 - 2 x 3.753,87 x 0,0404 = 3.905,52 €
- La anualidad del año 2 será igual a CERO, ya que en dicho período existe CARENCIA
SIN PAGO DE INTERESES, es decir, el prestatario no paga nada, ni en concepto de
INTERESES, ni en concepto de AMORTIZACIÓN.
b) Capital vivo al inicio del año 5.
- El planteamiento es el siguiente:
C5
4
A
A
5
6
- Es decir, al inicio del año 5, el CAPTIAL VIVO (C5) tiene que ser igual a la suma
aritmética de las CUOTAS DE AMORTIZACIÓN (A) que faltan por pagar hasta el
final de la vida del préstamo:
C5 = A5 + A6 = 2 x 3.753,87 = 7.507,74 €
IX. PRÉSTAMOS DE TÉRMINOS VARIABLES LINEALMENTE.
A) Este tipo de préstamos, se caracteriza porque los TÉRMINOS AMORTIZATIVOS que el
PRESTATARIO paga al FINAL de cada período, varían respecto al del período anterior, en
progresión aritmética de razón “d”. Es decir:
t=k
ak = ak-1 + d
Cualquier término amortizativo, lo podemos expresa en función del término amortizativo del
PRIMER AÑO, de forma que:
ak = a1 + (k - 1) x d
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B) Este tipo de préstamos, tiene la forma:
C1
0
a1
a1 + d
a1 + 2 x d
1
2
3
.............................. a1 + (n-1) x d
..............................
n
Planteando el equilibrio financiero en t = 0, el valor actual de todos los “términos
amortizativos”, debe ser igual al importe del “capital prestado” (C1):
d
dxn
+ d x n x an⎤ i -
C1 = A (a1 ; d) n⎤ i = a1 +
i
i
Puesto que el importe de “C1”; “d”; “n” e “i” serán datos del problema, de la expresión anterior
despajaremos “a1” para obtener el importe del PRIMER TÉRMINO AMORTIZATIVO, y a
partir del mismo, poder obtener el resto de TÉRMINOS AMORTIZATIVOS. Por lo tanto:
C1 + d x n/i
a1 =
d
-
a n⎤ i
-dxn
i
El resto de términos amortizativos será:
ak = a1 + (k - 1) x d
C) Como ya hemos visto anteriormente cada TÉRMINO AMORTIZATIVO consta de dos
sumandos:
1. INTERESES (Ik): Los INTERESES a pagar al FINAL de cada período se calculan
aplicando el TIPO DE INTERÉS del préstamo, sobre el CAPITAL VIVO al INICIO de
dicho período:
Ik = Ck x i
Para calcular el CAPITAL VIVO al INICIO del período “k”, podemos plantear el equilibrio
financiero al INICIO de dicho período, y calcular el valor actualizado de los “términos
amortizativos” que faltan por pagar:
Ck
k+1
t=k
ak
ak+1 .......... an
k
k+1 .......... n
Ck = A (ak; d) n – (k-1)⎤ i
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, siendo ak = a1+ (k - 1) x d
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Matemática Financiera
Unidad 3 – Préstamos.
2. CUOTA DE AMORTIZACIÓN (Ak): Las cuotas de amortización a pagar por el
PRESTATARIO al FINAL de cada período, “k” pueden calcularse de dos formas:
- Primera forma: Puesto que el “término amortizativo” del año “k” es:
ak = Ck x i + Ak
una vez calculado “ak” y “Ck” como ya hemos indicado anteriormente, podemos calcular
“Ak” como:
Ak = a k – Ck x i
- Segunda forma: Si conocemos la cuota de amortización del período anterior, podemos
calcular la del período “k”, ya que:
Ak = Ak-1 x (1 + i) + d
Normalmente las cuotas de amortización de este tipo de préstamos, se calculará por la
primera de las formas señaladas, al fin de evitar memorizar más fórmulas.
D) Por último si el problema nos pide calcular el CAPITAL AMORTIZADO hasta el período k
(Mk), lo más sencillo es calcularlo por diferencia entre el CAPITAL INICIAL PRESTADO (C1) y
el CAPITAL VIVO al INICIO del período “k + 1”. Es decir:
Mk = C1 – Ck+1
, siendo Ck+1 = A (a k+1; d) n-k⎤ i
Ejemplo:
Se solicita un préstamo de 12.000 € a amortizar en 8 años a un 10% efectivo anual.
Los términos amortizados son anules, aumentando cada año en 200 €.
Determinar:
a)
b)
c)
d)
Término amortizativo del año 3.
Intereses del año 5.
Cuota de amortización del año 5.
Total amortizado hasta el año 4.
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Unidad 3 – Préstamos.
Solución
a) Término amortizativo del año 3.
La estructura del préstamos es:
C1
0
a1
a1+d
a1+2d
a1+3d
a1+4d
a1+5d
a1+6d
1
2
3
4
5
6
7
a1+7d
8 años
- Es decir, se trata de un préstamo cuyos términos amortizativos varían en progresión
aritmética de razón “d = 200 €”. Por lo tanto, dichos términos amortizativos forman una
RENTA ANUAL VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA de razón 200 €,
cuyo valor actualizado en t = 0 viene representado por la expresión: “A (a1; 200)8⎤ 0,10”.
- Como ocurre en todos los préstamos, el CAPITAL RECIBIDO en t = 0 (C1 = 12.000 €),
tiene que ser IGUAL al VALOR ACTUAL de las cantidades a entregar (ak) a cambio a
lo largo de la vida del préstamo. Por lo tanto, planteando el equilibrio financiero en t = 0:
C1 = A (a1;200) 8⎤ 0,10
De donde:
12.000 = A (a1;200) 8⎤ 0,10 ⇒
200
12.000 =
200 x 8
a1 +
+ 200 x 8
⇒
x a 8⎤ 0,10 -
0,10
0,10
a1 = 1.648,43 €
- Por lo tanto, el término amortizativo del año 3, será:
a3 = a1 + 2 x d = 1.648,43 + 2 x 200 = 2.048,43 €
b) Intereses del año 5 (I5).
Los intereses SIEMPRE se calculan sobre el CAPITAL VIVO al inicio del período. Por
ello, lo primero que hay que calcular es el CAPITAL VIVO al INICIO DEL AÑO 5º (C5):
C5
4
a1+4xd
a1+5xd
a1+6xd
5
6
7
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a1+7xd
8 años
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Unidad 3 – Préstamos.
- Como ya se ha apuntado anteriormente, el CAPITAL VIVO al inicio de un período, tiene
que ser igual al VALOR ACTUAL de las CANTIDADES PENDIENTES DE
ENTREGAR (ak) hasta el final de la vida del mismo.
Teniendo en cuenta que los términos amortizativos forman una RENTA VARIABLE EN
PROGRESIÓN ARITMÉTICA, y planteando el equilibrio financiero en t = 4 (inicio del
año 5):
C5 = A (a1 + 4 x d; 200) 4⎤ 0,10 = A (1.648,43 + 4 x 200 ; 200) 4⎤ 0,10 ⇒
200
C5 =
(1.648,43 + 4 x 200) +
200 x 4
+ 200 x 4
⇒
x a4⎤ 0,10 -
0,10
0,10
C5 = 8.636,81 €
- Una vez calculado el CAPITAL VIVO AL INICIO DEL AÑO 5 (C5), podemos calcular
los INTERESES generados a lo largo de dicho año:
I5 = C5 x i = 8.636,81 x 0,10 = 863,68 €
c) Cuota de amortización del año 5 (A5).
- Puesto que el “término amortizativo” del año 5 es:
a5 = a1 + 4 x d = 1.648,43 + 4 x 200 = 2.448,43 €
- Dado que:
a5 = A5 + I5
Y dado que son conocidos “a5” e “I5”, entonces por diferencia obtendré la “cuota de
amortización”.
A5 = a5+ I5 = 2.448,43 – 863,68 = 1.584,75 €
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d) Total amortizado hasta el año 4 (M 4).
Si el capital inicialmente prestado (C1) fue de 12.000 €, y al inicio del año 5 aún me
queda pendiente de amortizar (C5) la cantidad de 8.636,81 €, quiere decir que hasta dicha
fecha había amortizado un total de:
M 4 = C1 - C5 = 12.000 – 8.636 ,81 = 3.363,19 €
X.
PRÉSTAMOS DE TÉRMINOS VARIABLES ACUMULATIVAMENTE.
A) Este tipo de préstamos se caracteriza porque los TÉRMINOS AMORTIZATIVOS que el
PRESTATARIO paga al FINAL de cada período, varían respecto al del período anterior, en
progresión geométrica de razón “q”. Es decir:
t=k
ak = ak-1 x q
Cualquier término amortizativo, lo podemos expresar en función del término amortizativo del
PRIMER AÑO, de forma que:
ak = a1 x q (k-1)
B) Este tipo de préstamos tiene la forma:
C1
a1
a1 x q
0
1
2
a1 x q2 ......................................... a1x q (n-1)
3
.........................................
n
Planteando el equilibrio financiero en t = 0, el valor actual de todos los “términos
amortizativos”, debe ser igual al importe del “capital prestado” (C1).
C1 = A (a1; q) n⎤ i
En el caso de que “q” no sea igual a (1 + i), entonces:
q
n
1(1 + i)
C1 = A (a1; q) n⎤ i = a1 x
(1 + i) - q
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Unidad 3 – Préstamos.
En el caso de que “q = (1 + i)”, entonces:
C1 = a1 x n x (1 + i) –1
En cualquiera de los casos, puesto que el importe de “C1”; “d”; “n” e “i” serán datos del problema,
de las expresiones anteriores despejaremos “a1” para obtener el importe del PRIMER
TÉRMINO AMORTIZATIVO y a partir del mismo, poder obtener el resto de términos
amortizativos.
Si “q” no es igual a (1+i), entonces:
C1 x [(1 + i) – q]
a1 =
n
q
11+i
Si q = (1 + i), entonces:
C1 x (1 + i)
a1 =
n
El resto de términos amortizativos será:
ak = a1 x q (k-1)
C) Como ya hemos visto anteriormente, cada TÉRMINO AMORTIZATIVO consta de dos
sumandos:
1. INTERESES (Ik): Los INTERESES a pagar al FINAL de cada período, se calculan aplicando
el TIPO DE INTERÉS del préstamo, sobre el CAPITAL VIVO al INICIO de dicho período:
Ik = Ck x i
Para calcular el CAPITAL VIVO al INICIO del período “k”, podemos plantear el equilibrio
financiero al INICIO de dicho período, y calcular el valor actualizado de los “términos
amortizativo” que faltan por pagar.
Ck
k+1
t=k
ak
ak+1 .......... an
k
k+1 .......... n
Ck = A (ak; q) n – (k-1)⎤ i
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, siendo ak = a1 x q (k-1)
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Unidad 3 – Préstamos.
2. CUOTA DE AMORTIZACIÓN (Ak): Las cuotas de amortización a
PRESTARIO al FINAL de cada período, se pueden calcular de dos formas:
pagar
por
el
- Primera forma: Puesto que el “término amortizativo” del año “k” es:
ak = Ck x i + Ak
una vez calculado “ak” y “Ck” como ya hemos indicado anteriormente, podemos calcular
“Ak” como:
Ak = ak – Ckx i
- Segunda forma: Si conocemos la cuota de amortización del período anterior, podemos
calcular la del período “ k”, ya que:
Ak = Ak-1 (1 + i) – a1 x q (k-2) x (1 - q)
Dada la complejidad de cálculo de las cuotas de amortización por la segunda forma señalada,
normalmente calcularemos las mismas por el primero de los sistemas indicados, al fin de
evitar memorizar más fórmulas.
D) Por último, si el problema nos pide calcular el CAPITAL AMORTIZADO hasta el período k
(Mk), lo más sencillo es calcularlo por diferencia entre el CAPITAL INICIAL PRESTADO (C1) y
el CAPITAL VIVO al INICIO del período “k + 1”. Es decir:
Mk = C1 – Ck+1, siendo Ck+1
= A (a k+1; q) n-k⎤ i
Ejemplo:
Se concede un préstamo de 18.000 € a amortizar en 7 años a un TAE del 8%, y de forma que los
términos amortizativos aumenten cada año en un 3% sobre los del año anterior.
Se pide:
a) Anualidad del año 4.
b) Cuota de amortización del año 6.
c) Total amortizado al final del año 5.
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Solución
a) Anualidad del año 4.
C1
0
a1
a1xq
a1xq2
a1xq3
a1xq4
a1xq5
1
2
3
4
5
6
a1xq6
7 años
- Es decir, se trata de un préstamo cuyos términos amortizativos varían en progresión
geométrica de razón q = 1,03. Por lo tanto, dichos términos amortizativos forman una
RENTA ANUAL VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA de razón 1,03,
cuyo valor amortizativo en t = 0, viene representado por la expresión A (a1; 1,03) 7⎤ 0,08.
- Como ocurre en todos los préstamos, el CAPITAL RECIBIDO en t = 0 (C1 = 18.000),
tiene que ser IGUAL al VALOR ACTUAL de las cantidades a entregar (ak) a cambio a
lo largo de la vida del préstamo. Por lo tanto, planteando el equilibrio financiero en t = 0:
C1 = A (a1;1,03) 7⎤ 0,08
1,03
⇒
7
11,08
⇒
18.000 = a1 x
1,08 – 1,03
a1 = 3.187,19 €
- Por lo tanto, la anualidad del año 4, será:
a4 = a1 x q3 = 3.187,19 x 1,033 = 3.482,72 €
b) Cuota de amortización del año 6.
1º. Puesto que el “término amortizativo” del año 6 es:
a6 = A6 + I6
Entonces la “cuota de amortización”, la obtendré por diferencia:
A6 = a6 - I6
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Unidad 3 – Préstamos.
2º. Así, lo primero que hay que calcular es el término amortizativo del año 6:
a6 = a6 x q5 = 3.187,19 x 1,035= 3.694,82 €
3º. En segundo lugar, deberemos de calcular los “intereses” del año 6 (I6). Los intereses
SIEMPRE se calculan sobre el CAPITAL VIVO al inicio del período.
Por ello, debemos calcular el CAPITAL VIVO AL INICIO DEL PERÍODIO 6 (C6):
C6
5
axq5
axq6
6
7
- Como ya se ha apuntado anteriormente, el CAPITAL VIVO al inicio de un período,
tiene que ser igual al VALOR ACTUAL de las CANTIDADES PENDIENTES DE
ENTREGAR (ak) hasta el final de la vida del mismo.
Teniendo en cuenta que los términos amortizativos forman una RENTA VARIABLE
EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, y planteando el equilibrio financiero en t = 5
(inicio del año 5):
C6 = A (a1 + q5; 1,03) 2⎤ 0,08 = A (3.694,82; 1,03) 2⎤ 0,08 =
1,03
2
11,08
3.694,82 x
= 6.683,87 €
1,08 – 1,03
- Una vez calculado el CAPITAL VIVO AL INICIO DEL AÑO 6 (C6), podemos
calcular los INTERESES generados a lo largo de dicho año:
I6 = C6 x i = 6.683,87 x 0,08 = 534,71 €
4º. Una vez calculado el “término amortizativo del año 6” (a6) y los “intereses del año 6” (I6),
la “cuota de amortización” (A6) será:
A6 = a6 - I6 = 3.694,82 - 534,71 = 3.160,11 €
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c) Total amortizado al final del año 5.
Si el capital inicialmente prestado (C1) fue de 18.000 €, y al inicio del año 6 aún me queda
pendiente de amortizar (C6) la cantidad de 6.683,87 €, quiere decir que hasta dicha fecha
había amortizado un total de:
M5 = C1 – C6 = 18.000 – 6.683,87 = 11.316,13 €
XI. PRÉSTAMO CON RÉDITO
MÉTODO ALEMÁN.
ANTICIPADO.
APLICACIÓN
AL
A) Este tipo de préstamos se caracterizan porque el INTERÉS de cada período se paga al INICIO
de dicho período (y no al FINAL como venía ocurriendo en los préstamos vistos hasta ahora).
Así, el interés correspondiente al primer período de tiempo se paga en el momento t = 0 (momento
de la concesión del préstamo). Es decir, si el capital solicitado en la póliza del préstamo es C1x, el
banco ingresará en la cuenta del prestatario “C1*- I1 = C1”, siendo: C1 el importe efectivo
ingresado por el prestamista al prestatario en el momento de la concesión del préstamo; C1* el
importe de préstamo solicitado; I1* el interés que corresponde pagar por utilizar el capital prestado
durante el primer período de tiempo de duración del préstamo. Este interés, en lugar de pagarse al
FINAL del período 1, se paga al INICIO del período 1, es decir, en el momento t = 0.
I1* = C1* x i*
Al final del año 1, el prestatario pagará:
a) El interés anticipado del período 2: I2* = C2* x i* , y
b) La cuota de amortización del período 1: A1
Al final del año 2, el prestatario pagará:
a) El interés anticipado del período 3: I3* = C3* x i* , y
b) La cuota de amortización del período 2: A2
Y así sucesivamente, de tal manera que al FINAL del último período de vigencia del préstamo,
el prestatario solo pagará la cuota de amortización de dicho período (An), ya que el interés
anticipado del período “n” ya se habrá pagado al final del período (n - 1).
B) La estructura de este tipo de préstamos es:
I1 *
C1*
0
I*2
a1
I*3
a2
A1
1
I*4
a3
A2
2
I*n
..................... an-1
A3
3
an
An-1
.....................
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n–1
An
n
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C) Para calcular el importe de los “TÉRMINOS AMORTIZATIVOS” seguiremos siempre los
siguientes pasos:
- Primero: Planteamos el equilibrio financiero en t = 0 “sin aplicar fórmulas” y considerando
que no se trata de un préstamo de rédito anticipado:
C1 = a1 (1 + i) –1 + a 2 (1 + i) –2 + …+ an (1 + i) -n
- Segundo: Hacemos el cambio de las variables “C1” e “i” a las variables que tienen en
cuenta la anticipación del rédito: C*1 e “i*”. Las relaciones entre unas y otras variables son:
C1 = C*1 (1 - i*)
(1 + i) –1 = (1 - i*)
Por lo tanto, sustituyendo las variables en la ecuación anterior nos queda:
C1* (1 - i*) = a1 (1 - i*) + a2 (1 - i*)2 +…+ an (1 - i*) n
- Tercero: Simplificamos y sustituimos los datos de C1* e i* para después despejar “at”.
C*1 = a1 + a 2 (1 - i*) + ...+ an (1 - i*) n-1
D) Cada “término amortizativo” consta de dos sumandos. Así, el término amortizativo del período
“s” estará integrado por la suma de:
1. INTERÉS DEL PERÍODO s+1 (I* s+1) y,
2. CUOTA DE AMORTIZACIÓN DEL PERÍODO s (As).
Una vez calculados los términos amortizativos de cada período, debemos construir el cuadro de
amortización de este tipo de préstamos a partir del ÚLTIMO PERÍODO de vida del mismo, ya
que en dicho período: an = An, puesto que los intereses del período “n” se pagan al final del
período “n-1”.
En el período “n - 1”, se pagarán:
a) los intereses anticipados del período “n” (I*n), siendo estos:
I*n = C* n x i* = An x i *
y,
b) la cuota de amortización del período “n-1” (A n-1), la cual se calcula por diferencia entre:
An-1 = a n-1 – I* n
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En el período “n - 2” se pagarán:
a) los intereses anticipados del período “n - 1” (I*n-1), siendo éstos:
I*n-1 = C*n-1 x i* = (An + A n-1) x i*
b) la cuota de amortización del período “n - 2” (An-2), la cual se calcula por diferencia entre:
An-2 = an-2 - I* n-1
Y así sucesivamente hasta llegar al período primero de vida del préstamo.
Ejemplo:
Un individuo solicita un préstamo de 36.000 € a amortizar en 5 años por el sistema de
amortización anticipada a un 8% anual, y de forma que los términos amortizativos sean: “a”;
“2a”; “4a”; “6a” y “a” en cada año respectivamente.
Se pide:
a) Término amortizativo del año 3.
b) Elementos del cuadro de amortización del año 3.
Solución
a) Término amortizativo del año 3.
- La estructura de este préstamo es:
I1 *
C1*
0
a
2a
4a
6a
a
1
2
3
4
5 años
Es decir, en el momento t = 0, el individuo ha solicitado un préstamo de 36.000 € (C1*) y
sin embargo, recibe líquido (C1):
C1 = C1* - I1* , siendo I*1 los intereses anticipados del año 1.
C1 = C1* - C1* x i* = 36.000 – 36.000 x 0,08 = 33.120 €
I1 *
Por lo tanto, al individuo le llega un total de 33.120 €, pese a haber solicitado una cuantía
de 36.000 €. Sobre este último importe (36.000 €) se cobran los INTERESES.
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- A efectos de calcular el TÉRMINO AMORTIZATIVO del año 3, seguiremos los
pasos indicados en el epígrafe XI del presente tema:
1º. Planteamos el equilibrio financiero en t = 0 “sin aplicar fórmulas” y considerando que
no se trata de un préstamo de rédito anticipado:
C1 = a x (1 + i) -1 + 2a (1 + i) -2 + 4a (1 + i) -3 + 6a (1 + i) -4 + a (1 + i) -5
C1 = C*1 (1 - i*)
2º. Hacemos un cambio de variable
(1 + i)-1 = (1 - i*)
C*1 (1 - i*) = a (1 - i*) + 2a (1 - i*)2 + 4a (1 - i*)3 + 6a (1 - i*)4 + a (1 - i*)5
3º. Simplificamos:
C*1 = a x [1 + 2 x (1 - i*) + 4 x (1 - i*)2 + 6 x (1 - i*)3 + (1 - i*)4]
4º. Sustituimos los valores de “C*1” e “i*”:
36.000 = a x [1 + 2 x (1 - 0,08) + 4 x (1 - 0,08)2 + 6 x (1 - 0,08)3 + (1 - 0,08)4]
5º. Despejamos “a”:
a = 3.099,67
- Por lo tanto, el término amortizativo del año 3 será:
a3 = 4 x a = 4 x 3.099,67 = 12.398,68 €
b) Elementos del cuadro de amortización del año 3.
AÑO
TÉRMINO
AMORTIZATIVO
INTERESES
(I*4)
AMORTIZACIÓN
(A3)
CAPITAL
AMORTIZADO
(M3)
CAPITAL
VIVO (C4)
3
12.398,68
1.715,97
10.682,71
14.550,28
21.449,72
1. INTERESES (I*4). Los intereses que se pagan al final del año 3, son los INTERESES
ANTICIPADOS DEL AÑO 4. Por lo tanto, dichos intereses se calcularán sobre el
CAPITAL VIVO AL INICIO DEL AÑO 4 (C4).
- Como ya hemos apuntado en anteriores ocasiones, el CAPITAL VIVO al inicio de un
período tiene que ser igual al VALOR ACTUAL de las cantidades PENDIENTES DE
ENTREGAR (ak) hasta el final de la vida del mismo. Por lo tanto, planteando el
equilibrio financiero en t = 3 (inicio del año 4) y siguiendo los mismos pasos antes
señalados para el cálculo del término amortizado del año 3:
C*4
3
6a
a
4
5
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1º. Equilibrio financiero en t = 3 “sin aplicar fórmulas” y considerando que no se trata
de un préstamo de rédito anticipado:
C4 = 6 a x (1 + i)-1 + a x (1 + i)-2
C1 = C*1 (1 - i*)
2º. Hacemos un cambio de variable
(1 + i)-1 = (1 - i*)
C*4 (1 - i*) = 6a (1 - i*) + a x (1 - i*)2
3º. Simplificamos:
C*4 = a x [6 x (1 - i*)]
4º. Sustituimos los valores de “a” e “i*”:
C*4 = 3.099,67 x [6 + (1 - 0,08)] = 21.449,72
- Una vez calculado el CAPITAL VIVO AL INICIO DEL AÑO 4 (C*4), podemos
calcular los INTERESES DEL AÑO 4 que se pagan ANTICIPADAMENTE al
final del año 3:
I*4 = C*4 x i* = 21.449,72 x 0,08 = 1.715, 97 €
2. CUOTA DE AMORTIZACIÓN (A3): Puesto que el “término amortizativo” del año 3
es:
a 3 = A3 + I*4
Entonces (dado que son conocidos “a3” e “I*4”), por diferencia obtendré la “cuota de
amortización”:
A3 = a 3 – I*4 = 12.398,68 – 1.715, 97 = 10.682, 71 €
3. CAPITAL AMORTIZADO HASTA t = 3 (M3).
Si el capital inicialmente percibido (C*1) fue de 36.000 euros, y al inicio del año 4 aún
me queda pendiente de amortizar (C*4) la cantidad de: 21.449,72 €, quiere decir que
hasta dicha fecha había amortizado un total de:
M 3 = C*1 – C*4 = 36.000 – 21.449,72 = 14.550,28 €
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E) Un tipo concreto de préstamos con rédito anticipado, son los PRÉSTAMOS ALEMANES, los
cuales se caracterizan porque todos sus “términos amortizativos” son iguales:
I1 *
C*1
0
a
a
a ...............................................................
a
1
2
3 ...............................................................
n
1. En este caso, para calcular el importe de los “términos amortizativos”, seguimos las mismas
reglas antes indicadas:
- Primero: Planteo el equilibrio en t = 0 “sin aplicar formulas” y considerando que no se
trata de un préstamo de rédito anticipado:
C1 = a (1 + i) –1 + a (1 + i) –2 + ...+ a (1 + i) -n
C1 = C*1 (1 - i*)
- Segundo: Haremos el cambio de variables:
(1 + i)-1 = (1 - i*)
C*1 (1 - i*) = a [(1 - i*) 1 + a (1 - i*) 2 + ...+ (1 - i*) n]
- Tercero: Simplificamos:
C*1 = a [1+ (1 - i*) + ...+ (1 - i*) n-1]
(1)
- Cuarto: El sumatorio que se encuentra dentro del corchete es “la suma de una
progresión geométrica de razón (1 - i*)”. Si llamamos: “a1” al primer término de la
progresión geométrica; “an” al último término de la progresión geométrica y “r” a la razón, la
suma de una progresión geométrica es:
a1 - an x r
S=
1-r
En nuestro caso concreto:
1- (1 - i*) n-1 x (1 - i*)
a1 - an x r
S=
=
1–r
1 - (1 - i*) n
=
1 – (1 - i*)
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i*
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Unidad 3 – Préstamos.
- Quinto: Puesto que C*1 e i* son datos del problema, entonces: despejando “a” de la
ecuación (1), nos queda:
1 – (1 – i*)n
C*1 = a [1 + (1 – i*) + .... + (1 – i*)
n-1
]=ax
⇒
i*
C*1 x i*
a=
1 – (1 - i*) n
2. Además, en el caso de que el préstamo sea alemán, se sabe que las CUOTAS DE
AMORTIZACIÓN varían en progresión geométrica de razón “(1 - i)”.
As = As+1 (1 – i*)
Cualquier cuota de amortización, se puede calcular en función de la del último año:
As = An (1-i*) n-s
, siendo
An = a
3. Por lo tanto los INTERESES de cada período los calcularemos por diferencia entre:
I*s = as-1 – As-1
Ejemplo:
El señor X solicita un préstamo de 60.000 € con una duración de 3 años y a un rédito del 10%
anual.
El préstamo se amortiza por el sistema alemán.
Se pide:
a) Anualidades que amortizan el préstamo.
b) Cuota de amortización del año 1.
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Solución
a) Anualidades que amortizan el préstamo.
- La estructura del préstamos es:
I*1
C*1
0
a
a
a
1
2
3
- A efectos de calcular la anualidad, seguiremos los pasos indicados en el epígrafe XI del
presente tema:
1º. Planteamos el equilibrio financiero en t = 0 “sin aplicar fórmulas” y considerando que
no se trata de un préstamo de rédito anticipado:
C1 = a x (1 + i)-1 + a x (1 + i)-2 + a x (1 + i)-3
C1= C*1 (1 - i*)
2º. Hacemos un cambio de variable
(1 + i)-1 = (1 - i*)
C*1 (1 - i*) = a x (1 - i*) + a x (1 - i*)2 + a x (1 – i*)3
3º. Simplificamos:
C*1 = a x [1 + (1 - i*) + (1 - i*)2]
4º. Sustituimos los valores de “C*1” e “i*”:
60.000 = a x [1 + (1 - 0,10) + (1 - 0,10)2]
5º. Despejamos “a”:
a = 22.140,22 €
Por lo tanto, la “anualidad” que amortiza el préstamo es de 22.140,22 € anual.
b) Cuota de amortización del año 1.
- Puesto que se trata de un préstamo ALEMÁN (o de “rédito anticipado”), los
INTERESES de cada período se pagan ANTICIPADAMENTE en el año anterior. Por
lo tanto, la anualidad del ÚLTIMO AÑO, se destinará a pagar EXCLUSIVAMENTE la
“CUOTA DE AMORTIZACIÓN” de dicho año, ya que los INTERESES ya se habrán
satisfecho el año anterior. Así:
a3 = A3 = 22.140,22 €
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Unidad 3 – Préstamos.
- Por otro lado, sabemos que las CUOTAS DE AMORTIZACIÓN varían en progresión
geométrica de razón “(1 - i*). Por lo tanto:
A1 = A3 x (1 - i*)2
Así, la CUOTA DE AMORTIZACIÓN DEL AÑO 1 será:
A1 = A3 x (1 - i*)2 = 22.140,22 x (1-0,10)2 = 17.933,57 €
XII. VALOR DEL PRÉSTAMO: USUFRUCTO Y NUDA PROPIEDAD.
A) Se denomina VALOR DE UN PRÉSTAMO AL INICIO DEL PERÍODO S+1 (Vs+1) a la
actualización de los “términos amortizativos” pendientes de pago, valorados al rédito de
mercado existente en dicho momento (i’).
Se denomina USUFRUCTO DE UN PRÉSTAMO AL INICIO DEL PERÍODO S+1 (Us+1) a la
actualización de los INTERESES FUTUROS del préstamo contenidos en cada término
amortizativo, valorados al rédito de mercado existente en dicho momento (i’).
Se denomina NUDA PROPIEDAD DE UN PRÉSTAMO AL INICIO DEL PERÍODO s + 1 (Ns+1)
a la actualización de las CUOTAS DE AMORTIZACIÓN futuras del préstamo contenidos en
cada término amortizativo valorados al rédito de mercado existente en dicho momento (i’).
B) 1. Por lo tanto, la relación entre Vs+1; Us+1 y Ns+1 es:
(1)
Vs+1 = Us+1 + Ns+1
2. Por otro lado, la FÓRMULA DE MAKEHAN relaciona el Us+1 y Ns+1 con el capital vivo al
inicio del período s + 1 (Cs+1):
i
(2)
[Cs+1 - Ns+1]
Us+1 =
i’
Siendo “i” el tanto al que se concertó el préstamo e “ i’ ” el tanto de mercado existente en el
período “s + 1”.
C) Las fórmulas (1) y (2) permiten formar un sistema de 2 ecuaciones con 4 incógnitas (Vs+1; Us+1;
Ns+1 y Cs+1).
Para poder resolver dicho sistema de ecuaciones, deberemos de calcular previamente dos de las
cuatro incógnitas, para reducir dicho sistema a dos ecuaciones con dos incógnitas.
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Las dos incógnitas a calcular con carácter previo a la resolución del sistema de ecuaciones,
dependerá del tipo de préstamo de que se trate:
1. Si se trata de un PRÉSTAMO FRANCÉS, lo más sencillo es calcular previamente:
Cs+1 = a x an-s⎤ i
Vs+1 = a x an-s⎤ i’
2. Si se trata de un PRÉSTAMO DE CUOTA CONSTANTE, lo más sencillo es calcular
previamente:
Cs+1 = (n-s) x A
Ns+1 = A x an-s⎤ i’
3. Si se trata de un PRÉSTAMO VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, lo más
sencillo es calcular previamente:
Cs+1 = A [as+1; qn-s]
n-s⎤ i
= A [a1 x qs; q] n-s⎤ i
Vs+1 = A [as+1; qn-s]
n-s⎤ i’
= A [a1 x qs; q] n-s⎤ i’
4. Si se trata de un PRÉSTAMO VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, es aplicable
lo dicho en el punto anterior.
5. Si se trata de un PRÉSTAMO DE RÉDITO ANTICIPADO, lo más sencillo es calcular
previamente:
Cxs+1 = aS+1 + as+2 (1 - ix) + ….. + an (1 - ix) n – (s+1)
Vxs+1 = aS+1 + as+2 (1 - i’x) + ….. + an (1 - i’x) n – (s+1)
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