3 | Física cuántica, relatividad y constitución del universo

3 | F
ísica cuántica, relatividad
y constitución del universo
La física clásica mantuvo sus postulados vigentes hasta
que un conjunto de fenómenos promovió una revisión
de aquellos. Los principios newtonianos, debieron reformularse en las fronteras del mundo a escala atómica y
de las altas velocidades, dando lugar a la física cuántica
y a la teoría de la relatividad.
Durante el siglo xx estas teorías han contribuido a un
mayor conocimiento del mundo a escalas micro y
macroscópica; han hecho posible forjar un nuevo tipo
de ciencia y una nueva forma de entender el mundo.
Las nuevas teorías del universo y de la composición de la
matería son testigos de ello, y las numerosas aplicaciones de carácter tecnológico que han promovido aconsejan un estudio acerca de los principios básicos de ambas
teorías.
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1 | La física cuántica
A fines del siglo xix la interpretación física del Universo se fundamentaba en
gran medida en las aportaciones de Newton y Maxwell. Las leyes de Newton,
además de ser aplicables a los sucesos de nuestro entorno, permitían explicar el comportamiento de los astros. Por otro lado, no hacía mucho tiempo
que Maxwell había conseguido conjugar satisfactoriamente en una única
teoría la electricidad y el magnetismo. De esta manera, tanto las leyes del
comportamiento de los sistemas materiales como las de los campos electromagnéticos se aplicaban con éxito a los nuevos descubrimientos. Sin
embargo, aparecieron fenómenos que contradecían las leyes hasta entonces aceptadas, leyes que hoy conocemos como física clásica.
De la resolución de algunos de estos problemas surgió una nueva concepción de la física. Lo que en un principio se consideró como una excepción o
un recurso matemático aplicable a casos concretos, se convir tió en una
generalización que englobó a la física clásica.
Actualmente, esta visión recibe el nombre de física cuántica. El nombre
hace referencia a la principal idea que incorporó en su momento:
La energía no puede tener cualquier valor, sino unos valores determinados que, además, son múltiplos de uno fundamental.
Por lo tanto, la energía se transforma y se propaga de una manera agrupada, como si constituyese paquetes. De ahí que se utilizara el latinismo
quantum (‘paquete’) para expresar este concepto. Sin él es imposible explicar los hechos que tienen lugar a escala atómica, donde las par tículas tienen masas muy pequeñas comparadas con las que encontramos en nuestro entorno (por ejemplo, la masa del electrón es de 9,11  10–31 kg).
El primer fenómeno que mostró esta nueva faz de la física fue la radiación
electromagnética emitida por los sólidos y los líquidos. Efectivamente, al
calentar suficientemente algunos sólidos y líquidos, pueden llegar a emitir
luz. Las bombillas domésticas ilustran este hecho: al circular los electrones
por su filamento, este se calienta y emite luz. Según la temperatura que
alcance, la luz será más o menos blanca (Fig. 1). Por ejemplo, la temperatura que alcanzan los filamentos de tungsteno de las bombillas cuando
emiten la luz que nos parece blanca es de unos 3 000 K.
1. Al aumentar la intensidad de la corriente que circula por el filamento de esta bombilla,
su temperatura se incrementa. Cuanto más elevada es, más blanca nos parece la luz que
emite.
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El estudio de la radiación emitida por los cuerpos calientes dio pie a la
teoría cuántica. A finales del siglo xix se conocía experimentalmente cuál es
la radiación emitida en función de la temperatura, y se había comprobado
que es muy similar para cualquier tipo de sustancia emisora, ya sea líquida
o sólida. También se sabía que los cuerpos calientes no emiten únicamente
en la frecuencia de la luz visible, sino que pueden irradiar otras longitudes
de onda que no percibimos directamente debido a que no tenemos la sensibilidad adecuada.
En la figura 2 se compara la cantidad de radiación que produce un cuerpo, en
una determinada longitud de onda emitida, a diferentes temperaturas. Observa que este cuerpo a 900 K no emite radiación del espectro visible, pero
sí lo hace, por ejemplo, en la zona del infrarrojo. Esta radiación nos produce
la sensación de calor cuando incide sobre nuestro cuerpo.
Por lo tanto, la emisión de ondas electromagnéticas por par te de los cuerpos calientes está constituida por diferentes longitudes de onda y sigue
unas leyes que ya eran conocidas en el siglo xix.
Cuando los científicos intentaron explicar la radiación térmica de acuerdo con
la física clásica, comprobaron que lo observado experimentalmente era diferente de lo que predecían sus cálculos. A principios de 1900, J. S. Rayleight
y J. Jeans establecieron matemáticamente cómo debería ser la radiación
térmica. La línea discontinua de la figura 2 muestra la predicción para un
cuerpo a 1 600 K. Contrariamente a lo que ocurre en realidad, la emisión
aumenta de manera continua al disminuir la longitud de onda. Por lo tanto, la
predicción fundamentada en la física clásica resulta errónea. Esta discordancia supuso una paradoja que muchos físicos trataron de desvelar.
Intensidad relativa
de la radiación
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900K
1 600K
2 000K
Previsión clásica
para 1 600K
0
2 000
visible
4 000
6 000
8 000
Longitud de onda (nm)
2. Espectros de emisión de un cuerpo
caliente en función de su temperatura. La
línea discontinua muestra la previsión de
la física clásica para un cuerpo a 1 600 K.
La temperatura de las partículas de carbón
en una llama es de unos 1 500 °C y la de
una lámpara de flash de unos 4 000 °C.
Max Planck, en la reunión de Navidad de la Sociedad Física Alemana
celebrada el año 1900, presentó una solución, conocida como hipótesis
de Planck. En ella cabía suponer que la energía, E, de las diferentes
longitudes de onda irradiadas por un cuerpo caliente se emitía en cantidades múltiplos de una fundamental. Además, el valor de esta unidad
fundamental de energía tenía que ser directamente proporcional a la
frecuencia de la radiación:
E=hν
En esta ecuación h es la llamada constante de Planck, que tiene el valor
de 6,63  10–34 J s.
Solo de esta manera la predicción de Planck coincidía plenamente con la
experiencia. Ahora bien, era a costa de alejarse muchísimo de las leyes
físicas aceptadas entonces. En primer lugar, se debía prescindir de la idea
de que la energía de las radiaciones dependía de la amplitud de sus campos eléctrico y magnético (una analogía evidente respecto a las oscilaciones mecánicas); en segundo lugar, debía aceptarse que la energía emitida
no podía tener cualquier valor continuo, sino unos discretos (no continuos),
múltiplos de h ν. El mismo Planck calificó su solución como un mero recurso matemático, pero con el tiempo y con nuevas pruebas, tanto él como la
comunidad científica terminaron por aceptar que se trataba de un hecho
real y no de un requisito formal.
3. Max Planck (1858-1947) fue uno de los
creadores de la mecánica cuántica. Le fue
concedido el Premio Nobel de Física en
1918 aunque inicialmente, al igual que
Einstein, fue menospreciado por la
comunidad científica de la época. El
descubrimiento de la constante que lleva
su nombre y la ley de radiación de un
cuerpo negro fueron algunos de sus
trabajos más significativos. Durante la
Segunda Guerra Mundial intentó
convencer a Hitler de que perdonara a los
científicos judíos.Uno de sus hijos fue
ejecutado por el gobierno nazi por haber
participado en el intento de asesinato del
mismo Hitler.
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2 | El efecto fotoeléctrico
Las características de la radiación de los sólidos y de los líquidos que has
estudiado anteriormente no es el único fenómeno que no puede ser explicado satisfactoriamente mediante la física clásica.
En uno de sus experimentos, Hertz comprobó que al iluminar con radiación
ultravioleta la placa externa de un electroscopio cargado negativamente, se
producía su descarga (Fig. 4).
El experimento de Her tz demuestra que tiene lugar una interacción entre
las radiaciones y la materia, ya que, al iluminar un metal con radiación
ultravioleta se favorece la emisión de electrones desde ese metal. Los
electrones emitidos por absorción de la luz se denominan fotoelectrones.
Este hecho experimental, que se dio a conocer como efecto fotoeléctrico,
era una predicción derivada de la naturaleza ondulatoria que se asignaba a
las radiaciones y confirmaba las hipótesis de Maxwell. Desde el punto de
vista de la física clásica, la energía de las ondas electromagnéticas se
consideraba proporcional al cuadrado de las amplitudes de sus campos
eléctrico y magnético, y podía ser absorbida por los electrones. Cuando los
electrones adquiriesen la energía necesaria, ya no serían retenidos por el
metal y podría detectarse su emisión.
A principios del siglo xx se había estudiado con detalle el efecto fotoeléctrico mediante aparatos que, esquemáticamente, eran como el que se muestra en la figura 5. La diferencia de potencial entre los electrodos mantenidos en el vacío en el interior de una campana de cristal de cuarzo (a) se
podía regular e inver tir de polaridad mediante un generador variable (b).
La corriente eléctrica en el circuito era medida por un amperímetro (c).
UV
A
c
e-
e
-
––
––
––
a
ee
-
––
ee
––
––
––
––
––
––
––
––
–
–– –––
–
––
––
e-
-
e–
–
UV
–
–
–
–
–
b
4. Al incidir radiación ultravioleta en la
placa externa de un electroscopio cargado
negativamente, tiene lugar la pérdida de la
carga, al emitirse los electrones que
absorben la radiación.
5. Esquema de un aparato diseñado para
el estudio del efecto fotoeléctrico. La
superficie iluminada con radiación
ultravioleta (UV) se denomina cátodo y la
opuesta, ánodo.
En este tipo de aparatos, al iluminar el cátodo cuando no se establece ninguna diferencia de potencial entre los electrodos, se crea una determinada
intensidad de corriente eléctrica.
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Este fenómeno tiene lugar hasta un valor determinado de potencial positivo, el cual hace que todos los fotoelectrones lleguen al ánodo y el valor de
la intensidad eléctrica obtenida sea el máximo. Esta intensidad recibe el
nombre de intensidad de saturación (Imáx). Cualquier incremento de potencial a par tir de este punto no causa un aumento de la intensidad de la
corriente eléctrica en el circuito.
Al hacer el potencial lo suficientemente negativo, se llega a un punto en el
cual la intensidad eléctrica es cero y, por lo tanto, ninguno de los fotoelectrones llega al ánodo. Al potencial en el cual tiene lugar este fenómeno se
le llama potencial de detención o de frenado (Vd).
El potencial de detención sir ve para calcular la energía cinética máxima,
Ek máx, que pueden tener algunos de los electrones en el momento en que
son liberados por el cátodo. Al aplicar el potencial de frenado, los fotoelectrones que son emitidos con Ek máx y en la dirección adecuada, pierden toda
su velocidad justo antes de llegar al ánodo, ya que no hay corriente eléctrica en el circuito. Durante el viaje entre los electrodos en contra del campo
eléctrico su energía cinética disminuye progresivamente a medida que
aumenta la energía potencial (U). Por lo tanto, en el instante en que su
velocidad es cero, la energía potencial, U(v = 0), debe ser igual a la energía
cinética que tenían al ser emitidos:
Ek máx = U(v = 0)
Como la energía potencial de una carga eléctrica es igual al producto del
potencial por el valor de la carga, para ese instante podemos expresar la
igualdad anterior como:
1
2
m v máx
= e Vd
2
En esta expresión m y e indican, respectivamente, la masa y la carga del
electrón. Obser va que, al ser e y Vd negativos, su producto tiene signo
positivo.
La unidad de energía en la escala atómica
Cuando se realizan cálculos de
energía en procesos que tienen
lugar a nivel atómico, es útil trabajar con unidades de energía
diferentes a las usadas en la
escala macroscópica. Por eso,
desde 1912, se utiliza la unidad
de electrón-voltio, eV, que corresponde a la energía cinética
que adquiere un electrón cuando se acelera con una diferencia
de potencial de 1 voltio.
Su conversión a julios es:
1 eV = 1,60  10–19 J
Los fundamentos establecidos por la física clásica podían explicar bien el
comportamiento descrito anteriormente, ya que los electrones podían captar fracciones de la energía apor tada por la radiación y adquirir diferentes
velocidades. No obstante, fueron incapaces de dar una explicación para lo
que ocurre cuando el cátodo se ilumina con varias intensidades de luz o con
radiaciones de distinta longitud de onda.
Realizando diversos experimentos se pueden extraer, principalmente, dos
conclusiones:
a) Debido a que el potencial de frenado es el mismo, podemos afirmar
que la energía cinética máxima de los electrones no depende de la
intensidad de la luz.
b) Al aumentar la intensidad de la radiación incidente en el cátodo,
aumenta el número de fotoelectrones emitidos, ya que las intensidades de saturación son proporcionales a la intensidad de la luz.
Por otro lado, realizando experimentos en un mismo aparato con diferentes
longitudes de onda, se constató que no todas las radiaciones son capaces
de generar fotoelectrones. Por mucho que se incremente la intensidad de
la luz incidente, hay una serie de radiaciones que no producen ninguna
corriente en el circuito.
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Para un cátodo compuesto de un metal determinado, las radiaciones
situadas por debajo de una determinada frecuencia no producen ningún
efecto fotoeléctrico.
Existe, por tanto, una frecuencia umbral, νL. Esta frecuencia es la mínima
que debe tener la radiación para que pueda generar fotoelectrones.
La teoría ondulatoria de la luz no podía explicar la independencia del potencial de detención –o de la Ek máx de los fotoelectrones– respecto a la intensidad de la luz. Si las radiaciones se compor taban como una onda y la energía dependía de la amplitud al cuadrado de sus campos, al aumentar su
intensidad debería incrementarse también la energía incidente en el cátodo
y, consecuentemente, la energía cinética máxima de algunos de los fotoelectrones emitidos.
Ahora bien, los experimentos ponen de manifiesto que el único efecto constatable es un aumento en la cantidad de electrones desprendidos, ya que la
intensidad de saturación sí que es proporcional a la intensidad de la luz.
6. Algunos ascensores tienen células
fotoeléctricas en las puertas que hacen
que estas se abran si, mientras se cierran,
deja de incidir un haz luminoso en ellas.
De esta manera se impide que las puertas
atrapen a las personas.
Planck, que era el editor de la
revista alemana ‘Annalen der
Physik’, en la que Einstein publicó el ar tículo sobre el efecto
fotoeléctrico, se mostró contrario durante mucho tiempo a las
nuevas ideas que sobre él se
aportaban y que, curiosamente,
tomaban al propio Planck como
referencia.
Además, la física clásica tampoco podía justificar la existencia de la frecuencia umbral. Como, según esta, era la intensidad de la iluminación y no
su frecuencia –o longitud de onda– lo que determinaba la energía de la
radiación, se creía que con una intensidad suficiente de cualquier radiación
podrían obtenerse fotoelectrones. Pero de nuevo los hechos contradecían
totalmente estas previsiones, de manera que los científicos de principios
del siglo xx se debatían entre adaptar la teoría, hasta entonces aceptada, a
los nuevos descubrimientos, o crear una totalmente nueva.
Sin embargo, Einstein sí fue capaz de dar una explicación convincente del
fenómeno fotoeléctrico. En 1905 publicó tres ar tículos. En uno de ellos
daba una polémica interpretación del efecto fotoeléctrico basada en la
hipótesis matemática de Planck sobre la emisión discontinua de la radiación por par te de los sólidos y los líquidos. En ella se descar taba la teoría
ondulatoria de la luz, la cual pasaba a considerarse de naturaleza corpuscular, y se admitía que la hipótesis de Planck de la discontinuidad de la
energía no era un recurso matemático, sino la interpretación más coherente de los resultados experimentales.
Según Einstein, la luz se compor taba como si estuviera constituida por
par tículas. Llamó a cada una de estas par tículas quantum de radiación y,
años más tarde, fotones. En su hipótesis, la energía de cada fotón depende
únicamente de la frecuencia, ν, de la luz, y tiene por valor:
E=hν
En 1922, mientras Einstein viajaba por Japón impar tiendo
conferencias, se le otorgó el
Premio Nobel de Física de 1921,
por su explicación del efecto
fotoeléctrico.
De nuevo la energía parecía estar cuantizada; con esta idea Einstein conseguía explicar per fectamente el efecto fotoeléctrico. Cuando se produce
la interacción entre un fotón y el metal del cátodo, toda la energía de ese
fotón es absorbida por un solo electrón. Par te de esta energía se utiliza
para arrancar a ese electrón del metal al que está ligado, energía que recibe el nombre de función trabajo (W), que es característica de cada metal y
que, por lo tanto, es constante. El resto de la energía del fotón incidente
proporciona energía cinética al electrón arrancado. Así:
hν=
1
2
m v máx
+W
2
Estas interpretaciones de Einstein permiten explicar per fectamente el efecto fotoeléctrico allí donde la teoría ondulatoria de la luz falla. Por un lado, la
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energía cinética máxima –y, en consecuencia, el potencial de frenado– no
depende de la intensidad de la luz, sino únicamente de la frecuencia de la
luz incidente. Obser va que, despejando la energía cinética de la ecuación
anterior, obtenemos el valor máximo que puede alcanzar:
E k máx =
1
2
m v máx
=hν–W
2
Esta ecuación nos muestra que la Ek máx únicamente varía con la frecuencia
–y, por lo tanto, con la energía– de los fotones. Cuando se aumenta la intensidad de la luz, se incrementa el número de fotones que interaccionan con
el cátodo, pero no su energía. Experimentalmente se aprecia que la intensidad de saturación es proporcional a la intensidad de la radiación: a mayor
número de interacciones entre fotones y electrones, mayor número de fotoelectrones emitidos. Por otro lado, también explica que el efecto fotoeléctrico no se produzca con todas las radiaciones, sino únicamente con aquellas que tengan una frecuencia mayor que la frecuencia umbral. Cuanto
menor es la frecuencia del fotón, menor es su energía y, por lo tanto, también lo será la energía cinética de los fotoelectrones (recuerda que la energía W necesaria para arrancarlos del metal es siempre la misma, ya que
esta solo depende del metal considerado). Así pues, podemos encontrar
unos fotones de frecuencia νL que únicamente tengan energía para arrancar
los electrones y no para proporcionarles velocidad. Esta frecuencia es la
frecuencia umbral y, como Ek = 0, la ecuación se reduce a:
h νL = W
Al ser nula la velocidad de los fotoelectrones, estos no se desplazan hasta
el ánodo y no se detecta el efecto fotoeléctrico. Evidentemente, cualquier
otra radiación con una frecuencia menor a νL no podrá arrancar los electrones de sus átomos y, por lo tanto, tampoco podrá originar ninguna corriente
eléctrica.
e j e m pl o
1.¿Qué potencial debe aplicarse a un cátodo de sodio para que no se produzca corriente eléctrica al
iluminarlo con una radiación de 420 nm? (La función de trabajo para el sodio es de 1,82 eV.)
Cuando no hay corriente en el circuito, todos los fotoelectrones, incluidos los de energía cinética máxima, son repelidos por el campo eléctrico y no alcanzan el ánodo. El potencial que causa este fenómeno es el de detención, que obtenemos a par tir de la energía cinética máxima de los fotoelectrones.
De acuerdo con la ecuación de Einstein para el efecto fotoeléctrico,
h ν = Ek máx + W
El primer término de la igualdad se calcula a par tir de la longitud de onda de la radiación y se puede
expresar en eV para simplificar los cálculos posteriores:
hc
1 eV
hν=
= 6,63  10 –34 J s 

λ
1,60  10 –19 J
3  10 8 ms –1 
Como W = 1,82 eV, la energía cinética máxima valdrá:
420 m
109 nm
1m
= 2,96 eV
Ek máx = (2,96 – 1,82) eV = 1,14 eV
Por lo tanto, el potencial que debe aplicarse para que no circule corriente en el circuito debe ser menor
o igual a –1,14 V.
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3 | Radiación electromagnética emitida y
absorbida por los gases. Explicación de
los espectros de los gases
a
b
A mediados del siglo xix R. W. Bunsen estudió los espectros de emisión de
diferentes sustancias en estado gaseoso. Para volatilizarlas introdujo
pequeñas cantidades en la llama del mechero Bunsen, la cual, debido a la
excelente combustión que la produce, alcanza temperaturas de hasta
1 800 °C y emite muy poca luz. El resultado es apreciable a simple vista con
cier tas sustancias que emiten luz de un determinado color (Fig. 7).
Si se analiza esta radiación mediante un prisma o un espectroscopio, se
comprueba que su espectro no es continuo: en función de la sustancia
estudiada, el espectro, llamado de emisión, está formado por una o varias
frecuencias de luz que aparecen en forma de rayas (Fig. 8a). Además, cada
sustancia proporciona su propio espectro, como si de una huella dactilar
se tratase, permitiendo su identificación.
7. La llama azul de un mechero Bunsen
adquiere otras coloraciones cuando se
volatilizan en ella pequeñas cantidades de
determinadas sustancias. En estos
ejemplos se ha añadido sodio (a) y cobre
(b).
El fenómeno de la emisión de luz se debe a que, cuando algunos de los átomos
volatilizados colisionan a alta velocidad en el interior de la llama, absorben
energía. Se dice entonces que se encuentran en un estado excitado, estado
que abandonan rápidamente al emitir energía en forma de luz y en todas direcciones. De este modo, los átomos se encuentran de nuevo en el estado energético inicial previo al choque, denominado estado fundamental.
a
Espectro
de emisión
Los gases absorben longi­tudes de
onda determinadas. Es el llamado
espectro de absorción, que coincide con el espectro de emisión.
b
Espectro
continuo
c
8. Las figuras muestran de manera
simplificada uno de los métodos que se
utilizan para obtener los espectros de
emisión y de absorción de una sustancia.
En el primer caso se analiza la luz emitida
por la sustancia (a), mientras que para
obtener el espectro de absorción se
analiza la luz procedente de un foco
luminoso intenso (b) que ha
interaccionado con esa sustancia (c).
Espectro
de absorción
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El modelo atómico clásico no explica los espectros de los gases.
núcleo
En el modelo de Rutherford, los electrones giran alrededor de las cargas
positivas de modo que la atracción electrostática actúa como fuerza centrípeta y los electrones se mantienen unidos al átomo (Fig. 9).
El mismo año que Ruther ford presentaba su modelo atómico, N. Bohr se
incorporó a su laboratorio. Poco tiempo después, en 1923, publicó un
modelo atómico que conciliaba los resultados experimentales de la absorción y emisión de radiación de los gases, con los de la estructura atómica
deducida de los experimentos de Ruther ford. Pero para eso tuvo que descar tar algunos de los postulados de la física clásica y enunciar otros nuevos, guiándose con las apor taciones a la nueva física que hasta entonces
habían hecho Planck y Einstein.
Según la teoría electromagnética clásica, toda carga eléctrica en rotación
emite radiación de una frecuencia igual a la frecuencia de su movimiento.
Por ello, en el modelo atómico de Ruther ford los electrones deberían emitir
radiación y, consecuentemente, perder energía. Esta pérdida haría que,
casi instantáneamente, se precipitaran sobre el núcleo, describiendo una
espiral. Pero nada de esto ocurre, ya que los átomos son estables.
+
electrón (-)
9. En el modelo atómico de Rutherford los
electrones describen órbitas alrededor del
núcleo, que ocupa una pequeña porción
del volumen total del átomo.
Bohr propuso lo siguiente:
Los electrones solo pueden girar en unas órbitas concretas alrededor del
núcleo y lo hacen sin emitir radiación, contradiciendo las ideas electromagnéticas clásicas. Por lo tanto, la energía de un electrón es constante
mientras se mantiene en una órbita y, en consecuencia, está cuantizada:
sólo puede tener los valores de energía correspondientes a cada órbita.
El modelo atómico permite que los electrones se desplacen, que salten
desde una órbita a otra. Si el salto es hacia una órbita más energética,
deben absorber energía; en caso contrario, deben emitirla.
El valor de la energía absorbida o cedida debe ser igual a la diferencia
energética entre los estados final e inicial y, además, se debe transferir
de una sola vez, como un quantum de radiación, o fotón, de energía h ν.
Este compor tamiento se expresa mediante la ecuación:
E = E final – E inicial = h ν
El signo de E nos indica si el átomo absorbe (valor positivo) o cede energía (valor negativo).
El átomo propuesto por Bohr explica los espectros de los gases, así como el
efecto fotoeléctrico. Cada una de las rayas de los espectros de los gases
corresponde a una transición electrónica concreta. Por otro lado, para que se
produzca el efecto fotoeléctrico, un electrón debe absorber la energía necesaria para que en una única transición se separe del átomo. Esto solo ocurrirá cuando los fotones incidentes tengan como mínimo esa misma energía (en
el caso de que sea mayor también se comunica velocidad al electrón
separado).
Con los años, este modelo atómico presentó algunos problemas que, de
momento, se han solventado con teorías más complejas. Por ejemplo, en
la actualidad las órbitas de los electrones ya no se consideran rígidas y
per fectamente definidas. Pero cabe destacar que la aportación de Bohr fue
crucial para establecer el concepto de cuantización de la energía en el
ámbito de la estructura de la materia.
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4 | La dualidad onda-partícula
La explicación de Einstein del efecto fotoeléctrico puso de manifiesto que, en
general, las radiaciones se comportan como ondas durante su propagación
y como partículas cuando interaccionan con la materia. En 1924 Louis de
Broglie volvió a romper esquemas y en su tesis doctoral propuso que este
comportamiento también se podía aplicar a las partículas materiales, es
decir, que estas también podían considerarse como ondas. Dedujo la relación matemática entre las características de una partícula y las de su correspondiente onda a partir de la ecuación de la energía cuántica de un fotón y
de la de su energía relativista:
E =hν=
hc
λ
y
E=cp
Donde p es la cantidad de movimiento del fotón. Combinando las dos ecuaciones, obtenemos que:
hc
h
= c p; λ =
λ
p
10. Louis de Broglie recibió el Premio
Nobel de Física en 1929 por las ideas
presentadas en su tesis doctoral de 1924.
Nadie hubiera pensado doce años antes
que De Broglie, un joven aristócrata
diplomado en política interior francesa del
siglo xviii, podría tener una carrera tan
extraordinaria en el campo de las ciencias.
Las conversaciones con su hermano
Maurice, licenciado en Física, le llevaron a
reorientar sus intereses a los 20 años de
edad.
Aunque, en principio, estas igualdades son válidas para los fotones, De
Broglie propuso que podían serlo para cualquier par tícula de masa m, que
se moviese con velocidad, v y cuya cantidad de movimiento sería entonces
p = m v. Por lo tanto:
λ=
h
mv
Si la llamada hipótesis de De Broglie es cierta, las propiedades ondulatorias
de las partículas se podrían manifestar en experimentos de difracción e interferencia. Pero para realizarlos es necesario disponer de sistemas con rendijas
o mallas comparables a la longitud de la onda. Las menores aberturas de
esta clase que podemos encontrar en la naturaleza son las de los cuerpos con
estructura cristalina. En ellos, las distancias entre los átomos son de, aproximadamente, 10–10 m y su estructura tridimensional es repetitiva.
Utilizando este tipo de materiales, C. J. Davisson y L. H. Germer, por un
lado, y G. P. Thomson, por otro, demostraron experimentalmente en 1927
el comportamiento ondulatorio de los electrones. En ambos casos se obtuvieron diagramas de inter ferencia de electrones que son muy similares a
los que resultan en los fenómenos ondulatorios. Posteriormente, se han
conseguido espectros de difracción con otras par tículas, como neutrones,
protones, átomos de sodio y átomos de helio. Así, podemos decir que las
par tículas se compor tan como si fuesen ondas.
Cuerpo
11. Al disparar un cañón de electrones
contra una fina hoja de grafito , los
electrones la atraviesan siguiendo un
comportamiento parecido al de la
difracción. Este fenómeno propiamente
ondulatorio muestra que los electrones se
comportan como ondas y como partículas.
De Broglie dedujo que la longitud de onda
de los electrones es inversamente
proporcional a su momento.
Masa (Kg)
Longitud de onda (m)
Electrón
9,11  10–31
2,62  10–5
Protón
1,67  10–27
1,43  10–8
Molécula de yodo
2,11  10–25
1,13  10–10
Hemoglobina
1,08  10–22
2,21  10–13
Bacteria (E. coli)
2  10–15
1,19  10–20
Pelota de ping-pong
2,11  10–3
1,13  10–32
Cámara fotográfica
1
2,39  10–35
Coche
1  10–3
2,39  10–38
96
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Física cuántica, relatividad y constitución del universo | 3
¿Cómo es posible que no percibamos este compor tamiento en nuestro
entorno? Fijémonos en la tabla de la página anterior, en la que se comparan
las longitudes de onda de algunos cuerpos moviéndose a 100 km/h.
Como puedes observar, la longitud de onda disminuye al aumentar la masa.
Por ello, en estos casos, a par tir de la molécula de yodo, los sistemas
poseen longitudes de onda demasiado cor tas para poder ser difractados.
G. P. Thomson y C. J. Davisson
obtuvieron conjuntamente el Premio Nobel de física en 1937 por
su demostración del carácter
ondulatorio de los elec­trones.
Lo mismo ocurre en nuestro entorno: la masa y velocidad de los cuerpos
que nos rodean causan que sus longitudes de onda sean demasiado
pequeñas como para poder obser var en ellos cualquier carácter ondulatorio. Solo podremos apreciarlos en la escala atómica.
5 | El principio de incertidumbre
En nuestro entorno macroscópico podemos describir el comportamiento de
los cuerpos con mucha precisión. Por ejemplo, si observamos un coche que
se mueve con velocidad constante y medimos su posición y velocidad en un
instante determinado, podemos calcular su evolución posterior con toda
seguridad. Eso no significa que no tengamos un margen de error, ya que
toda medida tiene asociada un límite de precisión: si el tiempo se ha medido en segundos, no podemos esperar que los cálculos de las posiciones
del coche se ajusten a la décima de segundo. Se trata, pues, de una limitación impuesta por la precisión de los instrumentos.
Otra característica de nuestra escala de trabajo habitual es que podemos saber en qué modo la medición que realizamos altera al sistema
estudiado.
Por ejemplo, sabemos que la determinación de la velocidad y la posición del
coche del ejemplo anterior no altera el movimiento del vehículo. Pero un termómetro puede alterar la temperatura del líquido en el que lo introducimos.
En este último caso, podemos saber de qué manera afecta nuestro aparato
de medición al resultado y, así, corregir el valor obtenido o utilizar aparatos de
medida que afecten de manera insignificante al sistema estudiado.
En la escala de trabajo de la física cuántica, todos los métodos de medida afectan al sistema estudiado e, inevitablemente, cambian el valor de
alguna de sus variables.
Por ejemplo, podemos determinar con precisión la posición de un electrón
mediante un choque con un fotón al que luego visualizamos en un instrumento óptico. Pero, experimentalmente, se aprecia que el choque altera la
velocidad de la par tícula (efecto Compton) y, por lo tanto, su cantidad de
movimiento o momento lineal, p. Consecuentemente, no podemos calcular
con exactitud cómo se moverá el electrón, sino únicamente indicar un intervalo de posiciones y de velocidades que puede tener.
12. Heisenberg (1901-1976) aplicó la
teoría de matrices al estudio de la
mecánica cuántica. La no conmutatividad
del producto de matrices lo lleva a
enunciar el principio de incertidumbre. En
1932 se le concedió el Premio Nobel de
Física. Discípulo de Max Born, dirigió el
intento nazi de conseguir la bomba
atómica.
En el mundo macroscópico no sucede lo mismo. Las masas que vemos son
tan grandes en comparación con la energía apor tada por la luz, que los
choques con los fotones no producen ninguna desviación apreciable en
ellas.
97
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3 | Física cuántica, relatividad y constitución del universo
En 1927 W. Heisenberg dedujo la relación entre la indeterminación de la posición, ∆x, y el momento lineal, ∆p, cuando se miden simultáneamente:
∆x ∆p >
h
4π
El principio de indeterminación indica que el producto de las incer tidumbres no puede ser menor a cier to valor. Veamos algunas de sus conse­
cuencias.
p
a) Obser va que, al disminuir la indeterminación, bien de la posición, bien
del momento, aumenta la indeterminación de la otra variable (Fig. 13).
Por ejemplo, si en un experimento la incertidumbre en la posición es muy
pequeña (tiende a cero), la de p se incrementa muchísimo (tiende a infinito), ya que cuando ∆x se aproxima a 0, obtenemos:
lim ∆p = lim
∆x →0
13. Gráfica de la relación entre ∆p y ∆x. El
área delimitada por ella que no contiene al
origen de coordenadas muestra las
soluciones de la inecuación.
∆x →0
h
=∞
4 π ∆x
b) Como el valor de h es muy pequeño, la incer tidumbre en los sistemas
macroscópicos es inapreciable y solo dependerá de la precisión de las
mediciones. Así, si en un instante concreto se ha determinado que un
coche de 850 kg de masa circula a 25 m s–1 con una precisión del 2 %,
podemos calcular la incer tidumbre en su posición tal como sigue:
∆p = precisión  p =
2
 850 kg  25 m s –1 = 425 kg m s –1
100
Por lo tanto:
∆x =
El principio de incer tidumbre ha
dado pie a numerosas implicaciones filosóficas presentadas
inicialmente por los físicos contemporáneos al desarrollo de la
física cuántica. Así, Heisenberg
ya señaló que aquello que no es
obser vable físicamente carece
de significado científico, originando así una descripción probabilística del mundo atómico.
Bohr llegó a aplicar el principio
de indeterminación más allá de
la Física. En un sentido general,
planteó que si los humanos
queremos ser espectadores del
mundo real, no podemos par ti­
cipar en lo que en él ocurre, ya
que entonces alteraremos aquello que queremos obser var. Por
otro lado, tanto Planck como
Einstein defendieron siempre
un punto de vista determinista
opuesto al indeterminista (probabilístico) derivado de la física
cuántica.
h
6,63  10 –34 J s
=
= 1,24  10 –37 m
4 π ∆p
4 π  425 kg m s –4
Esta indeterminación es muchísimo menor que, por ejemplo, el radio
promedio de un átomo (aproximadamente, 3  10–10 m) y, por lo tanto,
no implica alteración alguna en la posición del coche.
c) El principio de incer tidumbre solo se manifiesta a nivel atómico, donde
las masas son muy pequeñas. En el caso anterior, si en lugar de un
coche, se trata de un electrón, obtenemos que:
∆x =
h
=
4 π ∆p
6,63  10 –34 J s
2
4 π
 9,11  10 –31 kg  25 m s –1
100
= 1,16  10 –4 m
El resultado nos indica que, al efectuar la medición de la velocidad, se
ha alterado mucho la posición del electrón. El valor de ∆x nos muestra
que puede estar en cualquier lugar de un inter valo de distancias, que
abarca casi 400 000 veces el radio de un átomo.
d) No se puede afirmar que las par tículas de la escala atómica tengan una
posición y un momento lineal o cantidad de movimiento precisos en
cada instante, ya que no se pueden medir exactamente. Esto se debe
a la alteración del sistema que produce la propia medición. Por lo tanto,
a esta escala debe abandonarse el modelo determinista que utilizamos
a nivel macroscópico, puesto que no podemos predecir con exactitud
cuál será la evolución de las par tículas. Por eso, se utiliza un modelo
que describe su compor tamiento probable, basado en una interpretación estadística.
98
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Física cuántica, relatividad y constitución del universo
|3
Ciencia, técnica y sociedad
Los microscopios electrónicos
E
l comportamiento de onda asociado a los electrones ha permitido construir microscopios en los que el
haz de luz no está formado por ninguna de las radiaciones correspondientes al visible, sino que es un haz
de electrones. En ellos, estas partículas se pueden acelerar hasta adquirir energías de más de 125 keV, de
manera que, de acuerdo con De Broglie, sus longitudes de onda son menores a 0,0035 nm.
Esta característica nos permite observar objetos que no podemos apreciar con el microscopio óptico ya que,
a consecuencia de fenómenos de difracción, cuanto menor es la longitud de onda, menor es la distancia
entre dos puntos que se puede observar (resolución).
Debido al efecto de los campos eléctricos y magnéticos sobre los electrones, en los microscopios electrónicos se utilizan electroimanes para dirigir el haz en lugar de los sistemas ópticos convencionales.
Hay, fundamentalmente, dos tipos de microscopios electrónicos: los de transmisión y los de barrido. En
los de transmisión el haz pasa a través de la muestra y forma una imagen real sobre una pantalla fluorescente. La resolución que tienen es de unos 2 Å y alcanzan más de 600 000 aumentos. Pero estos microscopios
no proporcionan buenas imágenes en el caso de objetos tridimensionales. Para conseguirlas es necesario
utilizar los de barrido. En estos, el haz de electrones se concentra en un punto sobre la muestra (que se
habrá recubierto con una capa muy fina de oro) y se desplaza por ella. La imagen se forma a partir de los
electrones reflejados que son recogidos por un detector. En estos casos, la resolución es del orden del nanómetro y «solo» se alcanzan unos 200 000 aumentos.
Entre otros campos, estos microscopios se utilizan con mucha frecuencia en diversas ramas de la Biología y
la Medicina para determinar las estructuras de los seres vivos. Igualmente, son una valiosa herramienta en
el terreno de la microelectrónica.
Microscopio electrónico de transmisión.
Este modelo tiene un voltaje máximo de
aceleración de 125 kV, una resolución
de 2,04 Å y alcanza los 600 000
aumentos.
Imagen obtenida mediante microscopia
electrónica de transmisión. En ella se
muestran vesículas artificiales
(liposomas), constituidas por varias
membranas (líneas blancas), similares
a las de las células. La barra indica una
distancia de 200 nm.
Fotografía de piel captada con un
microscopio electrónico de barrido. La
escala está indicada en la parte inferior,
en la que la línea discontinua de puntos
muestra una longitud de 200 μm.
99
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3 | Física cuántica, relatividad y constitución del universo
6 | El movimiento relativo en física clásica
y
y’
u
s
o
x
o’
x’
r
z
z’
14. Esquema representativo de dos
sistemas de referencia, uno fijo, S, y otro
móvil, S’, con movimiento rectilíneo y
uniforme respecto al fijo.
Cuando estudiamos el movimiento en mecánica clásica, en primer lugar,
escogemos un sistema de referencia respecto al cual describimos las posiciones que el móvil ocupa en cada instante de tiempo. Muchas veces,
hemos considerado que el mejor sistema para describir los movimientos en
la mecánica newtoniana sería un sistema de referencia que estuviera
en reposo absoluto, S (Fig. 14). Sin embargo, Galileo demostró que no es
posible distinguir un sistema de referencia, S, de otro, S’, que se encuentre
en movimiento uniforme respecto al primero. Supongamos por simplicidad,
que el sistema considerado móvil se desplaza a una velocidad constante,
r
u , en la dirección del eje Ox, positivo.
Si contamos el tiempo desde el momento en que los dos orígenes de coordenadas de ambos sistemas se encuentran en la misma posición, las
coordenadas de un punto P a lo largo del tiempo, t, en el sistema fijo vendrán dadas por (x, y, z), mientras que en el sistema móvil serán (x’, y’, z’).
La relación entre estas coordenadas será:
x’ = x – u t, o x = x’ + u t’
y’ = y
z’ = z
Además, en los dos sistemas habrá transcurrido el mismo tiempo, luego:
t’ = t
Las cuatro anteriores ecuaciones reciben el nombre de transformación
de Galileo.
Encontraremos las relaciones entre las velocidades obser vadas en el sistema de referencia fijo y en el móvil aplicando derivadas respecto al tiempo
a las tres primeras ecuaciones anteriores. El resultado será:
vx’ = vx – u, o vx = vx’ + u,
v y’ = v y
v z’ = v z
t’ = t
O bien, escrito en forma vectorial:
r
r r
v’ =v –u
Y la aceleración en cada sistema de referencia estará relacionada con la
del otro según la ecuación que obtengamos de derivar la de la velocidad:
a x’ = a x
a y’ = a y
a z’ = a z
Es decir:
r
r
a’ = a
Este resultado lleva a la conclusión siguiente:
Si, para un sistema de referencia, S, se cumplen las leyes de Newton (que
tratan sobre la aceleración de los cuerpos), para cualquier otro sistema de
referencia, S’, con movimiento rectilíneo y uniforme con respecto a S, se
cumplirán igualmente.
Todos estos sistemas de referencia en los que se cumplen las leyes de la
dinámica de Newton se denominan sistemas de referencia inerciales.
Si dos sistemas de referencia son inerciales, el movimiento relativo de
uno respecto al otro es siempre un movimiento de traslación rectilíneo y
uniforme.
100
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Física cuántica, relatividad y constitución del universo | 3
e j e m pl o
2.Dos barcas se mueven en un río con una corriente de agua de 3 m/s. Las dos barcas se propulsan con
una velocidad de 5 m/s. Una de ellas va en dirección perpendicular a la corriente, mientras que la
otra va en la misma dirección de la corriente.
Describe las velocidades de las barcas respecto a dos sistemas de
y
y’
referencia, uno fijo en la orilla y el otro en movimiento con el agua
del río. Halla los vectores velocidad de las barcas en ambos sisteu m
m
3 s
3 s
mas y en los dos posibles sentidos de movimiento de cada barca.
Llamaremos u a la velocidad de arrastre del agua, que también será
la del sistema móvil respecto al fijo. Designamos la velocidad de
propulsión como vp.
La velocidad resultante para cada barca en el río será la suma vectorial de su velocidad de propulsión más la velocidad de arrastre del
r
r
agua: v p + u .
Para que la dirección de una barca sea perpendicular a la corriente
debe orientar su dirección de propulsión de manera que la suma
r
r
v p1 + u , dé un vector perpendicular a la corriente (Fig. I). Para
moverse en la misma dirección de la corriente basta con orientar
la velocidad de propulsión paralela a la corriente del río.
v1
m
5 s
vp2
u
v2
vp1
o
s
o’
s’
x
x’
I. Esquema de la suma de velocidades
cuando las barcas se mueven en un
sentido. Esta suma de vectores
r
velocidad da la velocidad resultante v 1
respecto al sistema de referencia fijo
en la orilla del río.
r
r
En el sistema de referencia S, la velocidad forma un triángulo rectángulo con los vectores v p1 y u .
Por lo tanto, su módulo se hallará:
r
v1 =
r 2
r2
v p1 – u =
(5 m/s)2 – (3 m/s)2 = 4 m/s
En consecuencia, las velocidades en el sistema S serán:
r
vr = 4 j (m/s)
 1
r
r
v 2 = 8 i (m/s)
Para hallar las velocidades de las barcas respecto al sistema móvil, S’, bastará con aplicar la ecuación
r
r r
deducida de la transformación de Galileo: v ’ = v – u .
r
r
Teniendo en cuenta que: u = 3 i (m/s),
obtenemos:
r
r
vr ’ = –3 i + 4 j (m/s)
 1
r
r
v 2 ’ = 5 i (m/s)
Cuando las barcas se desplacen en sentido opuesto (Fig. II), podemos
ver fácilmente que las velocidades en el sistema de referencia S
serán:
y
r
vr = –4 j (m/s)
 1
r
r
v 2 = –2 i (m/s)
u
vp1 v
1
Y, respecto al sistema S’, tenemos:
r
r
vr ’ = –3 i – 4 j (m/s)
 1
r
r
v 2 ’ = –5 i (m/s)
y’
vp2
v2
u
o
s
o’
s’
x
x’
II. Esquema de desplazamiento de las
barcas en el otro sentido.
101
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3 | Física cuántica, relatividad y constitución del universo
7 | La teoría especial de la relatividad
Einstein propuso en 1905 sus dos leyes de la teoría especial de la relatividad, corroboradas por la teoría electromagnética y por la experiencia. Estas
dos leyes resultan incompatibles para la mecánica newtoniana, por lo que
tuvo que adaptarse a la teoría de la relatividad.
Sus dos enunciados son los siguientes:
• El llamado principio de relatividad, según el cual las descripciones de
cualquier fenómeno realizadas por dos obser vadores inerciales con
movimiento relativo uniforme son igualmente válidas. Las leyes de la
física son las mismas para ambos.
• La segunda ley afirma que la velocidad de la luz en el vacío es una
constante universal. Esa velocidad es la misma para cualquier pareja
de obser vadores inerciales con movimiento relativo (de uno respecto
al otro) uniforme.
Los postulados de la teoría de la relatividad restringida eran incompatibles
con las leyes de la mecánica clásica y la transformación de Galileo no era
aplicable.
Hendrik Lorentz (1853–1928), físico holandés, propuso unas ecuaciones
que se ajustaban a la constancia de la velocidad de la luz para la relación
entre las descripciones de sistemas de referencia que se movieran a velocidad constante uno respecto al otro. Son las siguientes:
x = γ ( x’ + u t’),
y = y’
z = z’

x’ u 
t = γ t’ + 2 
c 

Donde:
2
γ=
u 
1–  
c
Todas estas ecuaciones constituyen la llamada transformación de Lorentz,
Si bien también se la conoce como transformación de Lorentz-Einstein,
puesto que fueron deducidas de forma independiente por los dos
científicos.
102
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DOCUMENTo
Física cuántica, relatividad y constitución del universo | 3
Un ejemplo de la transformación de Lorentz
Podemos deducir las transformaciones que se deben aplicar para relacionar las velocidades de un móvil
desde un sistema de referencia a otro, a par tir de la transformación de Lorentz-Einstein y calculando las
componentes de la velocidad. Aplicando su definición, podemos obtener las ecuaciones siguientes:
v x’ =
vy
vx – u
vz
; v y’ =
; vz’ =


u vx
u v x’
u v x’
1–
γ 1 –
γ 1 –


2
2
c
c 
c2 


Podemos ilustrar estas ecuaciones con un ejemplo.
Supongamos que desde la Tierra obser vamos dos naves espaciales que se mueven en la misma dirección,
pero en sentidos opuestos, ambas a la velocidad de 0,9 c. Averigua la velocidad de cada nave respecto a
un sistema de referencia fijo en la otra nave.
Para simplificar la resolución, escogeremos un sistema de referencia cuyo eje x coincida con la dirección
del movimiento de ambas naves, según obser vamos en la figura. Así, las velocidades de las naves solo
tendrán una componente no nula, la del eje x.
v x’ =
vx – u
–0,9 c – 0,9 c
–1,80 c
=
=
= –0,9945 c
–0,9 c  (–0,9 c)
u vx
1,81
1
–
1–
c2
c2
y’’
0,9 c
v1
y’
y
o’’
o
x’’
x
s’’
z’’
o’
v2
0,9 c
x’
s’
z
s
z’
r
Esquema del movimiento de las naves
respecto a la Tierra.
Llamaremos S al sistema de referencia de la Tierra, S’ al de la nave que se mueve hacia la derecha y S’’ al
de la que lo hace hacia la izquierda. Las velocidades de las naves respecto a la Tierra serán u1 = 0,9 c
y u2 = –0,9 c.
Aplicamos la transformación de la velocidad para obtener la velocidad de la nave 2 respecto al sistema de
referencia S’. Sustituyendo los valores vx = –0,9 c y u = 0,9 c en la ecuación, obtenemos:
v x’ =
vx – u
–0,9 c – 0,9 c
–1,80 c
=
=
= –0,9945 c
0,9 c  (–0,9 c)
u vx
1,81
1–
1–
c2
c2
Respecto al sistema de referencia S’’, para hallar la velocidad de la nave 1, habrá que sustituir vx por 0,9 c
y u por –0,9 c en la ecuación:
v x’ =
vx – u
0,9 c + 0,9 c
1,80 c
=
=
= 0,9945 c
–0,9 c  0,9 c
u vx
1,81
1
–
1–
c2
c2
Efectivamente, la velocidad de cada nave respecto a la otra es inferior a la velocidad de la luz, y una es igual
a la otra cambiada de signo, como era de esperar.
103
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3 | Física cuántica, relatividad y constitución del universo
8 | La dilatación del tiempo
Una de las consecuencias más sorprendentes de la teoría de la relatividad
es la que prevé que el inter valo de tiempo entre dos sucesos que se producen en un mismo punto de un sistema de referencia es siempre más cor to
que el intervalo de tiempo entre estos dos mismos sucesos medidos desde
otro sistema de referencia en movimiento respecto al primero, para el cual
los dos sucesos no se producirán en la misma posición.
El tiempo medido en el sistema de referencia en el cual los sucesos se
producen en la misma posición se llama tiempo propio, ∆tp. El inter valo de
tiempo, ∆t, en otro sistema de referencia cualquiera, en movimiento uniforme respecto al primero, es siempre mayor que el tiempo propio. La relación
entre estos inter valos de tiempo es la siguiente:
∆t =
1
v  2
1–  
c
∆t p = γ ∆t p
Donde v es la velocidad del sistema de referencia en movimiento y c es la
velocidad de la luz en el vacío.
e j e m pl o
3.Un astronauta hizo un viaje espacial de ida y vuelta desde la Tierra. El tiempo empleado en ese vuelo
ha sido de 4 días, medidos en un reloj del astronauta. Si el reloj de la Tierra ha calculado la duración
del viaje en 4 días y 2 segundos, ¿cuál ha sido la velocidad de la nave?
El tiempo medido por el reloj del astronauta ha sido:
∆t ’ = 4 días
86 400 s
= 345 600 s
1 día
El tiempo calculado en el reloj de la Tierra es de 4 días y 2 segundos:
∆t = 4 días + 2 s = 345 600 s + 2 s = 345 602 s
Luego:
γ=
ν 2
∆t
345 602 s
1
1
=
= 1,000005787; 1 –   = 2 =
= 0,999988426
345 600 s
∆t ’
1,0003472
γ
c
Finalmente:
v =
1 – 0,999988426 = 0,0034020
La velocidad de la nave ha sido:
v = 0,0034020 c = 0,0034020  3  108 m/s = 1,02  106 m/s
El resultado no es un valor real, ya que no existe ninguna nave espacial capaz de moverse a esta velocidad. Este ejemplo sir ve, sin embargo, para ilustrar que la aplicación de la teoría de la relatividad a
nuestras condiciones habituales apenas modifica los resultados de la teoría clásica de Newton.
No obstante, sí es aplicable a la física de partículas subatómicas, en el dominio de velocidades cercanas
a la de la luz en el vacío, c.
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Física cuántica, relatividad y constitución del universo | 3
9 | La contracción de la longitud
Cuando dos obser vadores inerciales, en movimiento relativo uniforme uno
de otro, miden las dimensiones de un objeto, el obser vador en movimiento
respecto al objeto obtendrá una medida menor de ese objeto en la dirección
de la velocidad relativa del obser vador móvil. Es la denominada contracción de la longitud.
Supongamos que un obser vador mide la longitud de una barra que se
encuentra en reposo respecto a él y obtiene un valor L0. Otro obser vador
inercial que se mueve en una dirección paralela a la barra, obtendrá una
medida de esto, L’. La relación entre los valores de ambas medidas vendrá
dada por la expresión:
L’ =
L0
γ
Si γ es un factor mayor que la unidad, el obser vador en movimiento determina una longitud inferior para la barra orientada en la misma dirección de
su movimiento.
Tanto las dilataciones del tiempo como las contracciones de longitud se
han obser vado en experiencias realizadas en centros de investigación con
aceleradores de partículas, como el CERN (Centro Europeo de Investigación
Nuclear), al comparar la vida media en reposo y la distancia recorrida por
un tipo de par tículas denominadas muones.
Una consecuencia de este hecho es que, si desde un sistema de referencia
inercial se obser van dos sucesos simultáneos que se producen en dos
posiciones distintas, cualquier otro sistema de referencia inercial, en movimiento relativo respecto al primero, no obser vará que los sucesos se produzcan simultáneamente.
e j e m pl o
4.¿Cuál debería ser la velocidad de un sistema de referencia inercial para que determinara, para un
objeto, una longitud del 75 % respecto a la longitud de ese objeto en reposo?
Aplicando la relación de la contracción de longitudes, podemos obtener γ:
γ=
L0
L
=
L0
0,75 L0
= 1,33333333
2
v 
1
1
1–   = 2 =
= 0,5625
γ
1,33333333 2
c
Luego:
v
=
c
1 – 0,5625 = 0,6614
Y:
v = 0,6614 c = 0,6614  3  108 = 1,98  108 m/s
El sistema de referencia debería ir a más del 66 % de la velocidad de la luz.
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3 | Física cuántica, relatividad y constitución del universo
10 | La masa relativista
Para las leyes de la mecánica de Newton, la masa es invariante; desde
cualquier sistema de referencia un objeto tiene la misma masa.
La teoría especial de la relatividad introduce una modificación de la masa,
para que las ecuaciones de la dinámica del movimiento concuerden con
esta teoría.
Así, si llamamos m0 a la masa de un objeto en un sistema de referencia
respecto al cual está en reposo, cuando ese objeto tenga una velocidad v
respecto a un determinado sistema, su masa será:
m =
m
v  2
1–  
c
m0 = γ m0
Es decir, su masa en movimiento será mayor a la masa en reposo del objeto. La figura 15 muestra un gráfico con la variación de la masa en función
de la velocidad del objeto material.
mo
0
1
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
v/c
15. Variación de la masa relativista con
respecto a la velocidad del objeto.
Este resultado permite razonar por qué un objeto no puede alcanzar una
velocidad mayor que la de la luz sin contravenir la segunda ley de la dinámica de Newton. Cuando un objeto está sometido a una fuerza constante,
según la mecánica newtoniana el objeto tiene una aceleración constante.
Desde este punto de vista, si mantenemos esta fuerza el tiempo suficiente,
no hay límite para la velocidad que puede alcanzar el cuerpo. Veamos qué
sucede con la aplicación de la variación de la masa propuesta por la teoría
de la relatividad.
La aplicación de una fuerza constante producirá una variación de la cantidad de movimiento del cuerpo sobre el que la fuerza actúa a lo largo del
tiempo. Esa variación de la cantidad de movimiento no se deberá a un
aumento proporcional de la velocidad del objeto, sino a que, a medida que
la velocidad se acerque a la velocidad de la luz, el aumento de la cantidad
de movimiento lineal del cuerpo se deberá, en una par te cada vez más
impor tante, al aumento de la masa, expresado por la relación anterior.
La masa tiende a infinito, a medida que la velocidad del objeto se acerca a la
velocidad de la luz. La aceleración del objeto, con el aumento de la masa,
será cada vez menor, de manera que, a velocidades muy grandes, la aceleración será prácticamente nula y su velocidad no podrá crecer más.
La velocidad de la luz es el límite de velocidad para cualquier objeto
material.
En los casos más comunes, los de nuestro entorno habitual, las velocidades de los objetos son tan pequeñas que su masa sigue siendo prácticamente constante.
Un experimento llevado a cabo por W. Bertozzi en 1964 en Estados Unidos,
mediante electrones a los que se comunicaban energías cinéticas de hasta
15 MeV, demostró que la velocidad máxima alcanzada por esos electrones
no rebasaba nunca la velocidad de la luz. Estos resultados constituyeron
una nueva prueba, de gran impor tacia, para ratificar la validez de la teoría
de la relatividad especial de Einstein; sobre todo, porque en los fenómenos
obser vados se comunicaba a unas par tículas velocidades muy cercanas a
la velocidad de la luz en el vacío. En la experiencia se producían las condiciones idóneas para aplicar la teoría de la relatividad.
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Física cuántica, relatividad y constitución del universo | 3
e j e m pl o
5.En un experimento en el CERN se han observado muones que van a 299 850 km/s. ¿Cuál es el aumento de masa que tienen estas partículas, respecto a su masa en reposo?
En este caso, calculamos primero γ:
v
299 850 Km/s
=
= 0,9995
c
300 000 Km/s
γ=
1
v  2
1–  
c
=
1
1 – 0,9995 2
= 31,64
En consecuencia, la masa relativista de las par tículas valdría:
m = γ m0 = 31,63 m0
Por lo tanto, el aumento de masa de estas par tículas respecto a su masa en reposo vale:
∆m = m – m0 = 30,63 m0
La masa de las partículas presenta un aumento de 30,63 veces la masa en reposo.
11 | La constitución del universo
El universo puede definirse como todo lo existente físicamente hablando: el espacio y el tiempo, así como todas las formas de materia y de
energía.
El universo está gobernado por unas leyes físicas que deben ser válidas
para todas las escalas de materia.
El universo no es infinito y está formado por galaxias, cúmulos de galaxias
y estructuras de mayor tamaño llamadas supercúmulos de galaxias.
Obviamente, la distribución de materia no es uniforme en el universo. Esta
se distribuye en galaxias, estrellas, planetas...
Las galaxias son enormes agrupaciones de estrellas y otros cuerpos celestes. En el universo hay miles de millones de galaxias y en cada una de ellas
podemos encontrar miles de millones de estrellas. En el centro de cada
galaxia es donde se agrupa mayor número de estrellas. El movimiento en
el interior de las galaxias se debe a la interacción gravitatoria.
16. Radioimagen de la galaxia El Triángulo.
Se supone que todas las galaxias nacieron aproximadamente a la vez, si
bien se ignora por qué hay galaxias distintas, por qué tienen el tamaño que
tienen y por qué algunas forman cúmulos o supercúmulos.
Las galaxias, según la clasificación de Hubble, pueden dividirse en elípticas, espirales e irregulares. Las galaxias elípticas son relativamente infrecuentes y tienen forma elíptica o circular en el cielo. Están formadas por
estrellas viejas de más de quince mil millones de años. No contienen nubes
de gas y polvo. Su tamaño es muy variable; pueden contener desde un
millón hasta un billón de estrellas.
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3 | Física cuántica, relatividad y constitución del universo
Galaxias
cercanas
Distancia
(años-luz)
Nubes de
Magallanes
200 000
El Dragón
300 000
Osa Menor
300 000
El Escultor
300 000
El Fogón
400 000
Andrómeda
2 200 000
El Triángulo
2 700 000
Las galaxias espirales están formadas por un núcleo y unos brazos que
forman una especie de espiral. Los hay de dos tipos: ordinarias y barradas.
En las ordinarias los espirales salen del núcleo. En las barradas los brazos
surgen de una barra que se extiende simétricamente hacia ambos lados del
núcleo. Estas galaxias contienen entre mil millones y cientos de miles de
millones de estrellas. La mayoria de las estrellas son viejas, aunque en los
espirales se encuentran estrellas azules jóvenes, conjuntamente con
nubes de gas y polvo. En estas galaxias la formación de estrellas tiene una
estructura geométrica muy bien definida.
17. Galaxia espiral NGC-7424.
18. Andrómeda.
Las galaxias irregulares son las más frecuentes y más pequeñas que las
anteriores. Tienen una gran cantidad de estrellas jóvenes, nubes de gas y
polvo. No poseen núcleo y la formación estelar ocurre de forma caótica y
desordenada.
Galaxias espirales
Sa
Sb
Sc
Galaxias lenticulares
E0
E4
E7
S0
Galaxias elípticas
SBa
SBb
SBc
Galaxias espirales barradas
19. Diapasón de Hubble, donde se expone una clasificación de las galaxias. Hubble era
un astrónomo norteamericano que en 1925 presentó los resultados observados en el
Mount Wilson, cerca de Los Ángeles.
Las galaxias E0-7 son galaxias elípticas y el número indica la excentricidad de la elipse
(0 es prácticamente redonda y 7, muy aplanada). Las estrellas se distribuyen de forma
uniforme. Las galaxias Sa-c y SBa-c son espirales en las que el número creciente
determina la definición de los brazos.
En general, no hay una postura unitaria entre los astrónomos acerca de la
estructura global del universo. Las últimas teorías parecen dar la razón a los
que postulan la existencia de unos filamentos cósmicos formados por densas
hileras de galaxias a escala supercumular con grandes vacíos intermedios.
La Vía Láctea es la galaxia en la que se halla situado el sistema solar con
nuestro planeta. Es una galaxia espiral de brazos difusos. Se estima que
está compuesta por unos doscientos mil millones de estrellas.
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Física cuántica, relatividad y constitución del universo | 3
Los cuerpos celestes más importantes son las estrellas. Las estrellas son
enormes esferas de gas cuya brillantez se debe a reacciones nucleares en
su interior. En estas reacciones, los átomos más ligeros se unen para formar otros más pesados, liberando energía. Las estrellas no son estables;
su núcleo se contrae continuamente, colapsándose cuando se agotan los
materiales que provocan las reacciones nucleares. Una estrella puede
mantenerse activa unos veinte millones de años.
Los distintos tipos de estrellas, los pulsares o los agujeros negros son
estrellas en diferentes fases de su desarrollo, cuya evolución depende de
su masa.
Las estrellas de masa intermedia, como nuestro Sol, transmutan hidrógeno
en helio en las fases iniciales de su desarrollo. Después se transforman
en una gigante roja, para acabar su ciclo transformándose en una enana
blanca.
En una gigante roja el hidrógeno se ha consumido totalmente y el núcleo
queda formado por helio. Este diminuto núcleo caliente se ve rodeado por
un envoltorio de gas a altísimas temperaturas. Pólux y Alfa Cruz son ejemplos de este tipo de estrellas.
Las enanas blancas son estrellas posteriores a la fase de gigante roja, muy
difíciles de detectar. Su tamaño es, aproximadamente, el de la Tierra y su
masa es algo inferior a la del Sol, con lo que su densidad es del orden de
de una tonelada por centímetro cúbico. Paulatinamente, las enanas blancas se van enfriando, manteniendo su volumen, mutando su color al amarillo, al pardo y, finalmente, al negro. Algunas de ellas pueden formar un
sistema estelar binario con otra estrella (una gigante roja, por ejemplo).
Una enana blanca acaba en un cataclismo estelar que desarrolla una energía equivalente a la explosión de millares de bombas de hidrógeno.
Las estrellas de masa pequeña tienen una vida tan larga que solo puede
hablarse de su evolución desde un punto de vista teórico. Las estrellas de
masa mayor tienen una vida más corta, ya que las reacciones nucleares de
su interior son muy rápidas. Paulatinamente, estas se convier ten en una
supergigante roja, cuyo núcleo colapsa en un agujero negro o explota en
una supernova, convir tiéndose en una estrella de neutrones. Estas estrellas están compuestas principalmente por neutones, como su propio nombre indica. Un pulsar es una estrella de neutrones que emite radiación
electromagnética pulsante periódica.
Un agujero negro es un región del espacio-tiempo con una concentración de
masa tan grande que la interacción gravitatoria que provoca no deja escapar ninguna par tícula, ni tan siquiera la luz.
20. Cástor y Pólux en la constelación de
Géminis.
Las enanas marrones fueron descubier tas en 1996. Son estrellas de baja temperatura mucho
menos masivas que el Sol.
21. Pulsar.
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3 | Física cuántica, relatividad y constitución del universo
12 | La formación del universo
Los trabajos de Friedman (1922) y Lemaître (1927) utilizaban la teoría de
la relatividad para demostrar que el universo se halla en constante movimiento. Hubble demostró que galaxias lejanas a la Vía Láctea se distanciaban de nosotros de manera constante, como si el universo estuviera expandiéndose. Finalmente, en 1948 George Gamow recogió todas estas ideas
para plantear que el origen del universo se debía a una gran explosión.
El big bang es el modelo científico que mejor explica el inicio del universo
tal y como lo conocemos. Es el comienzo del espacio y del tiempo, y presupone un estallido de una singularidad que da origen a todo lo existente.
Las evidencias que apoyan esta teoría son:
• Al obser var las galaxias lejanas, la luz que emiten se desplaza hacia longitudes de onda mayores (corrimiento hacia el rojo), lo que, conociendo
el funciomiento del efecto Doppler, invita a pensar que estas galaxias se
están alejando de manera continua, lo que invalida la idea de un universo
estático.
• El descubrimiento de la radiación de fondo por Penzias y Bell confirmaba
la hipótesis formulada por la teoria del big bang al respecto.
22. El espectro ultravioleta del quásar
3C273 muestra el corrimiento hacia el
rojo, que se explica por el efecto Doppler
de un universo en expansión.
• La teoría del big bang predice unas proporciones entre distintos isótopos
de helio e hidrógeno en el universo que han resultado ser, aproximadamente, iguales a las reales. Ninguna otra teoría explica la abundancia de
elementos ligeros.
Sin ser la única, sí parece que la teoría del big bang es la que cuenta con
más respaldo de los experimentos y mediciones realizados por la comunidad científica hasta la actualidad.
13 | El futuro del universo
Escala del universo
23. Fondo cósmico de microondas en el
año 2003. El mapa indica que la edad del
universo es de 13,7 billones de años, y
también que el universo se expande. Los
colores revelan la temperatura del
universo en todas las direcciones.
big rip
n
ció
Energía
oscura
constante
big crunch
era
cel
a
desaceleración
big bang
presente
futuro
Tiempo
Hay diferentes teorías sobre el posible destino del universo:
• El big crunch. Según esta teoría, si la expansión del universo va desacelerándose hasta que la gravedad termine por frenarla, este terminará por
retraerse sobre sí mismo hasta colapsarse de nuevo, reduciéndose a un
punto. Posteriormente podría formarse otro universo, dando lugar a un
universo pulsante.
• El big rip. Las galaxias se separarían entre sí. Después, la gravedad no
podría mantener la cohesión de las galaxias, desmoronándose los sistemas planetarios, así como las estrellas y los planetas. Finalmente, los
atomos quedarían destruidos. Algunos autores aseguran que el universo
podría mantener una expansión indefinida sin que se produjera este
desgarramiento.
No son estas las únicas teorías acerca del destino final del universo. La
comunidad científica no ha logrado ponerse totalmente de acuerdo acerca
de qué teoría se dibuja como la más probable, si bien el big rip parece ser
la teoría que goza de más aceptación, y la NASA ha presentado evidencias
que abogan por la expansión indefinida del universo.
24. Destino del universo.
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Física cuántica, relatividad y constitución del universo | 3
RESUMEN
En física cuántica, la energía no puede tener cualquier valor, sino unos valores determinados que,
además, son múltiplos de uno fundamental.
Todos los sistemas de referencia con movimiento
rectilíneo y uniforme se denominan sistemas de
referencia inerciales.
El valor de la energía tiene que ser directamente
proporcional a la frecuencia de la radiación y se
determina a través de la hipótesis de Planck:
El principio de relatividad afirma que las descripciones de cualquier fenómeno realizadas por dos
obser vadores inerciales con movimiento relativo
uniforme son igualmente válidas. Las leyes de la
física son las mismas para ambos.
E=hν
El efecto fotoeléctrico cumple la expresión:
E k máx
1
=
m v máx = h v – W
2
donde W es el potencial de frenado, que vale:
h νL = W
La velocidad de la luz en el vacío es una constante
universal.
La longitud, el tiempo o la masa son magnitudes no
invariantes en la física relativista:
∆t =
donde νL es la frecuencia umbral.
El modelo cuántico explica la emisión y absorción
de radiación electromagnética por par te de los
gases. El valor de la energía absorbida o cedida
debe ser igual a la diferencia energética entre los
estados final e inicial y, además, se debe transferir
de una sola vez:
E = E final – E inicial = h ν
La hipótesis de De Broglie refleja las propiedades
ondulatorias de la materia:
λ =
h
m ν
En la escala de trabajo de la física cuántica, todos
los métodos de medida afectan al sistema estu­
diado e, inevitablemente, cambian el valor de
al­guna de sus variables. Heisenberg dedujo la
re­lación entre la indeterminación de la posición,
∆x, y el momento lineal, ∆p, cuando son medidos
simultáneamente:
∆x ∆p 
1
L’ =
m =
∆t p = γ ∆t p
v  2
1–  
c
L0
1
v  2
1–  
c
γ
m0 = γ m0
El universo es todo lo existente físicamente hablando: el espacio y el tiempo, así como todas las formas de materia y de energía.
El big bang es el modelo científico que explica
mejor el inicio del universo. Es el comienzo del
espacio y del tiempo, y presupone un estallido de
una singularidad que da origen a todo lo existente.
h
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Contenido básico de la unidad en formato hipermedia, en el CD.
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3 | Física cuántica, relatividad y constitución del universo
ACTIVIDADES
Física cuántica
1 ¿Es posible calentar cualquier sólido o líquido hasta la temperatura necesaria para que
emita radiación visible? ¿Por qué?
2 ¿Por qué al conectar a 6 V una bombilla que
indica 12 V, emite una luz anaranjada?
3 Calcula la energía mínima (en julios) correspondiente a una radiación electromagnética
que tiene una longitud de onda de 1 200 µm.
4 Indica cómo varía la energía de un fotón al
considerar las diferentes longitudes de onda
que forman parte de la luz visible. Razona tu
respuesta.
5 Calcula aproximadamente la potencia de la
radiación emitida por cada metro cuadrado de
superficie de la piel humana, del Sol y de la
Tierra en nuestras latitudes. La temperatura
de la superficie del Sol es de unos 5 700 K.
6 ¿Cuál es la longitud de onda de la radiación
emitida con la máxima intensidad desde la
superficie del Sol? ¿A qué color corresponde?
7 En el interior de un horno de una fundición se
ha introducido hierro sólido. Al cabo de cierto tiempo se observa que adquiere una tonalidad rojiza y, posteriormente, después de
fundirse, un color blanco. Indica y justifica
los fenómenos que han tenido lugar.
8 Las estrellas se pueden clasificar en función
de su tamaño y color. Así, por ejemplo, encontramos denominaciones tales como gigante azul y gigante roja. Sabiendo que las
indicaciones cromáticas hacen referencia al
color con que las percibimos, calcula las
temperaturas aproximadas de sus respectivas super ficies. Considera que el espectro
visible abarca desde 380 nm a 740 nm.
9 Al entrar en una habitación a temperatura
ambiente encendemos una lámpara. Indica,
razonándolo, la temperatura que tienen los
siguientes objetos:
a)el filamento de la bombilla que hay en la
lámpara.
b)el cristal azul de un jarrón que hay en una
estantería.
c)una hoja de papel blanca que está encima
de una mesa.
d)la tinta roja de un bolígrafo.
10 ¿Cuál es el valor de la constante de Planck
en eV?
Efecto fotoeléctrico
11 Calcula la longitud de onda de un fotón que
tiene una energía de 3,89 eV. ¿Qué nombre
recibe este tipo de radiación?
12 Calcula la longitud de onda umbral para el
sodio, sabiendo que la función de trabajo
tiene un valor de 1,82 eV.
13 Se ilumina un electrodo de potasio de una
célula fotoeléctrica con una luz de 580 nm.
Sabiendo que la función de trabajo para este
metal vale 2,20 eV, calcula la velocidad
máxima de los electrones que se emitan.
14 ¿Qué frecuencia tiene la radiación incidente
en un cátodo de potasio (W = 2,20 eV) si el
potencial de frenado es de 1,3 V?
Los espectros de los gases
15 En el rubí y la esmeralda, las pequeñas
impurezas de Cr3+ hacen que sean materiales con fluorescencia. En ambos, la transición electrónica que la origina corresponde a
un salto entre dos niveles cuyas energías
difieren en 1,77 eV. ¿De qué color es la luz
que emiten?
16 En el espectro de emisión del átomo de
sodio hay dos líneas correspondientes a
radiaciones de color amarillo de 589,6 nm
y 589,1 nm causadas por transiciones electrónicas hasta el estado fundamental. ¿Qué
diferencia de energía, en eV, hay entre los
dos niveles excitados correspondientes?
17 En el átomo de hidrógeno, la energía de un
electrón en el estado fundamental es de
–13,6 eV.
a)Calcula la energía y la longitud de onda
del fotón que permite que salte a un nivel
energético de –1,51 eV.
b)¿Cuántos fotones de una radiación de
205,2 nm de longitud de onda absorberá
para realizar la misma transición?
c)¿Qué energía se necesita para ionizar el
átomo?
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Física cuántica, relatividad y constitución del universo | 3
dificultad:
SENcILLA
media
ALTA
18 Las transiciones electrónicas en el átomo de
hidrógeno que originan emisión en el visible
corresponden a saltos desde los niveles de
energía –1,51 eV; –0,85 eV; –0,54 eV y
–0,38 eV. ¿Cuál de las siguientes radia­
ciones será absorbida por el hidrógeno:
521 nm, 486 nm o 410 nm?
19 Indica la longitud de onda de un electrón
acelerado en un campo eléctrico cuya diferencia de potencial es de 100 V.
20 En un mal ser vicio, un jugador de tenis lanza
la pelota a 190 km/h, dirigida directamente
hacia la red.
a)Calcula la longitud de onda de la pelota
(supón su velocidad constante y su peso
de 56 g). ¿Se producirá la difracción de la
pelota en la red? ¿Por qué?
b)Calcula qué aberturas aproximadas debería tener la red para obser var algún fenómeno ondulatorio de la pelota a esa
velocidad.
c)Calcula la masa que debería tener
pe­lota a esa velocidad para obser var
efecto ondulatorio con la red que hay
la pista (supón que las aber turas son
1 cm de lado).
Masa de la Luna: 7,34  1022 kg.
El movimiento relativo en física clásica
La dualidad onda-partícula
un error de unos 30 cm. Suponiendo que
esta imprecisión se debía únicamente a las
limitaciones establecidas por Heisenberg,
determina la indeterminación originada en la
velocidad de nuestro satélite.
la
un
en
de
21 De acuerdo con su modelo atómico, Bohr
calculó las diferentes órbitas electrónicas
para el hidrógeno. La primera de ellas tiene
un radio de 0,053 nm y el electrón se mueve
a 2,18  108 cm/s.
a)Calcula la longitud de onda asociada al
electrón en esta órbita.
b)¿Cuántas longitudes de onda del electrón
caben en ella?
El principio de incertidumbre
22 Si en un experimento se determina la posición de un electrón en un átomo con una
indeterminación de 0,007 nm, calcula la
incer tidumbre en la velocidad del electrón.
23 En 1969 se determinó, mediante telemetría
láser, la distancia de la Tierra a la Luna con
24 Dos barcas se desplazan por un río desde un
punto A una distancia L y luego regresan al
punto de partida. El río lleva una corriente de
3 m/s. Cada barca se impulsa con una velocidad de 5 m/s. Una de las barcas se desplaza
en la dirección de la corriente, mientras que
la otra lo hace en dirección perpendicular.
Calcula el tiempo empleado por cada barca en
su recorrido, si se alejan de A una distancia
de L = 40 m.
La teoría de la relatividad
25 Dos relojes están per fectamente sincronizados en la Tierra. Cuando uno de los relojes
viaja en una nave a una velocidad de 0,6 c,
¿adelantará o retrasará respecto al reloj de
la Tierra? ¿Cuánto valdrá el período del reloj
en movimiento respecto al de la Tierra?
26 Deduce la contracción de longitudes L = L0/γ
que experimenta un objeto de longitud L0,
medida en un sistema de referencia respecto al que se encuentra en reposo, cuando
esa magnitud se mide en otro que se mueve
a velocidad constante en una dirección paralela a la longitud del objeto a par tir de la
transformación de Lorentz-Einstein.
27 Un cometa viaja a 400 000 km/h. ¿Cuál será
la longitud de la cola del cometa, medida
desde la Tierra, respecto a la longitud medida desde un sistema de referencia que viaje
junto al cometa?
28 Un astronauta que se mueve a una velocidad
de 0,4 c respecto a la Tierra, determina la
longitud de un tren, estacionado en una vía
paralela a la dirección de la velocidad de la
nave. El resultado obtenido es de 200 m.
¿Cuál es la longitud del tren medida en la
Tierra?
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3 | Física cuántica, relatividad y constitución del universo
29 Las dimensiones de un triángulo rectángulo
son 3 m, 4 m y 5 m. Si tomamos estas medidas desde un sistema de referencia que se
desplaza en una dirección paralela al lado de
4 m a una velocidad de 0,6 c, ¿cuáles serán
las nuevas dimensiones del triángulo?
30 En la par te alta de la atmósfera, a unos
9 000 m de la super ficie del mar, se forman
muones con una velocidad de 0,998 c respecto a un obser vador en la Tierra. Esos
muones tienen una vida media, en reposo,
de unos 2 µs.
Explica cómo es posible que muchos de estos
muones lleguen al nivel del mar:
a)desde el punto de vista de un sistema de
referencia que se mueve con los muones.
b)desde el punto de vista de un obser vador
en la Tierra.
31 Dos naves espaciales se mueven en la
misma dirección y sentidos opuestos a velocidades de 0,7 c y 0,5 c, respectivamente.
Calcula la velocidad de cada nave respecto a
un sistema de referencia fijo en la otra.
32 En una nave espacial que se mueve a 0,4 c
respecto a la Tierra se realiza un experimento del movimiento de una pequeña partícula.
Desde el sistema de referencia de la nave se
determina que la par tícula ha realizado un
desplazamiento de 10 cm, en una dirección
paralela a la nave, en un tiempo de 2 s.
Calcula la velocidad de la par tícula respecto
a la nave y respecto a un sistema de referencia situado en la Tierra con el eje x paralelo
a la velocidad de la nave. ¿Cómo se modificarían las respuestas si el desplazamiento
de la par tícula se hubiese producido en una
dirección perpendicular a la del movimiento
de la nave?
33 Un determinado objeto tiene una masa de
40 kg, cuando su velocidad es de 0,4 c.
¿Cuál es su masa en reposo?
34 Calcula la masa de un muón que se mueve a
una velocidad de 0,9994 c, si su masa en
reposo es de 1,881  10–28 kg.
35 ¿Cuál es la energía total de un electrón que
lleva una velocidad de 0,2 c si su masa en
reposo es de 9,11  10–31 kg?
36 Un electrón tiene una energía cinética de
15 MeV. ¿Cuál es la velocidad de este
electrón?
Datos: masa en reposo del electrón:
m0 = 9,11  10–31 kg; carga del electrón:
e = –1,602  10–19 C.
37 Un protón tiene una masa en reposo de
1,67  10–27 kg. ¿Cuál será la masa relativista de un protón cuya energía cinética es
de 1 880 MeV? Expresa el resultado en MeV
y en unidades del SI.
38 ¿Qué cantidad de masa debería conver tirse en energía para poder elevar la temperatura de 1 litro de agua desde 20 °C hasta
80 °C?
Dato: la capacidad calorífica específica del
agua es 4,18 kJ/(kg K).
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