Modelo agregado de crecimiento neoclásico (Solow)

Claudia Reyes González
Modelo agregado de crecimiento neoclásico ------------------------------------------------------------------------- curso 2002 - 2003
Modelo agregado de crecimiento neoclásico (Solow)
a)Breve reseña histórica:
-Robert Merton Solow es un economista estadounidense, nacido en
New York, que obtuvo el Premio Nobel de Economía en 1987 por sus
contribuciones a la teoría del crecimiento económico.
Estudió en Harvard y ejerció la docencia en el Massachusetts Institute of
Technology. Su aportación más conocida es un modelo neoclásico del crecimiento
considerado la respuesta ortodoxa al modelo keynesiano de Harrod-Domar.
-Robert Solow analiza de manera diferente el crecimiento. Basándose en el modelo de
Harrod ,en el sentido que el crecimiento es inestable en la economía de mercado, debido
a una tendencia crónica del exceso de ahorro sobre las necesidades del capital.
-El modelo de Solow sirve como marco analítico para el desarrollo de otras
investigaciones teóricas que analizan algunas cuestiones referidas al funcionamiento del
sistema económico de mercado.
-Mientras que el modelo de Harrod es un modelo de demanda, donde el crecimiento es
función del consumo o de la inversión, el modelo de Solow es un modelo de oferta, no
tiene en cuenta los problemas del mercado, se verifica la hipótesis de Say, y el ahorro es
igual a la inversión.
-En el estudio de este modelo veremos si es posible una situación de crecimiento de la
renta con pleno empleo del trabajo, y si es estable esta situación.
b)Hipótesis:
-El modelo de Solow es considerado, tanto neoclásico (en oposición a Harrod), como
del Keynesianismo;
......del Keynesianismo porque retoma los aportes relativos al mercado de bienes
(considera que el ahorro es determinado por el ingreso, conclusión desechada por el
paradigma neoclásico), y al mercado del trabajo( la oferta de trabajo es independiente
del salario real).
.....neoclásico, porque admite la posibilidad de sustituir continuamente capital y trabajo
(determinada cantidad de producción puede ser obtenida a partir de diferentes
combinaciones de capital y trabajo).
-La insuficiencia de demanda, que jugaba un papel fundamental en el modelo de
Harrod, aquí se encuentra ausente, admitiéndose la igualdad entre inversión y ahorro.
-Trabajaremos con variables continuas.
-Suponemos que no existe progreso técnico (e).
-La población crece a una tasa constante (n), al igual que la mano de obra.
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Modelo agregado de crecimiento neoclásico -------------------------------------------------------------------------curso 2002 - 2003
-Consideramos la función de producción [f( K,L)] de “buen comportamiento”.
c)Formulación matemática:
s/k = S/Y (∆Y/∆K) = ∆Y/Y
s = propensión media al ahorro
k = relación media entre capital/producto
∆Y/Y = tasa de crecimiento de la renta
Puesto que operando con magnitudes netas ∆K = I (inversión),
y en equilibrio I = S
(S=sY)
La renta crece con pleno empleo si: n = s/k
n = tasa de crecimiento de la población
s/k = tasa de crecimiento de la renta.
d)Resolución y análisis del modelo:
Harrod llegó aquí a la conclusión de que estas tres variables( n, k, s) son
determinadas e independientes entre si.
Solow supone k como variable.
Debe buscarla relación capital/producto que da lugar a una relación producto/trabajo
que haga que capital/producto sea la deseada:
(Función de producción): Y = f( K,L)
(expresada de forma intensiva): Y/L = f(r,1)
k = K/Y =
=K/L f(r,1) =
=r/f(r,1)
siendo r = K/L
r = (cantidad de capital exigido por unidad de trabajo) = s/n*f(r,1)
Solow establece las siguientes condiciones iniciales:
Y = L f(r,1)
S = sY
I=S
I = K’
K’ = sY
L = Lo en
t
(la mano de obra esta plenamente empleada)
r = K/L
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K = r Lo en t
K’ = r’ Lo en t + n r Lo en t
s Lo en t f(r,1) = r’ Lo en t + n r Lo en t
r’ = s f(r,1) - nr
nr
S f (r,1)
-Gráfico 1-
Siempre existirá un solo punto de corte (A)
Ya conocemos la cantidad que necesitamos de capital por unidad de trabajo, la cual
hace que la relación capital/producto (k/Y) sea igual a “s/n”.
Concluimos que si es posible el crecimiento de la renta con pleno empleo de trabajo
continuo.
Resolución con “Mathematica 4.1”
Al ser una función muy “general” no encontramos solución en Mathematica
@
@
D@
@
DD@
D@
DD
::@
D B
@@
D
>
à @D F
DSolve r' t Š s f r t , 1 - n r t , r t , t
Solve::tdep : The equations appear to involve the variables to be solved for in an essentially non- algebraic way.
r t ® InverseFunction
#1
K$21
1
K$20 n - s f K$20, 1
â
K$20 &
-
t+ C 1
Le damos un valor a la función f (r, 1), tipo Coob-Douglas
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F (r,1) = ra
@
@
DH
@
D
L@
@
D
@
D
D
::@
D B DH@
@@
D
>>
LD@
HLDF
DSolve r' t Š s r t
^a- n r t , r t , t
Solve::tdep : The equations appear to involve the variables to be solved for in an essentially non- algebraic way.
Log #1
r t ® InverseFunction
n
+
Log #1
-
1+a n
-
Log n #1 - s #1a
-
1+ a n
&
-
t+ C 1
pero no obtenemos solución (si la tendremos como se verá en las variantes del modelos
al sustituir por otra variable z) ya que puede ser una función no lineal que no reconoce
el programa.
Dando valores específicos en “a” si obtenemos resultados posibles:
@
D
@
@
D
@
D
H

L
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D
@
D
D
@
D
i
y
k
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D {>
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D
H
L
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D
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D
D
@
D
:@
D@
D>
Para f r = r, a = 1 2
DSolve r' t Š s r t ^ 1 2 - n r t , r t , t
ã
- nt
1 nC 1
ã2
r t ®
2
nt
+ ã 2
s
n2
Para f r = r, a = 1
DSolve r' t Š s r t ^ 1 - n r t , r t , t
r t ® ã
- n+s t
C 1
Para f r = r, a = 2
DSolve r' t Š s r t ^ 2 - n r t , r t , t
ãnC 1 n
r t ®
ãnt + ãnC 1 s
e)Variantes del modelo:
1.-Para el estudio de algún caso en concreto, sustituimos la función genérica [f(r,1)] por
alguna función, como puede ser la función de Cobb-Douglas: f(r,1) = r∂
(*) r’ = s r∂ - nr
( Al no ser una ecuación lineal, la convertimos mediante una
variable: z = r1-∂ )
Cambio de variable para resolver la ecuación:
z’ = (1-∂) r -∂ r’
Multiplicando (*) a ambos lados por: “ r - ∂ ”
r’ r -∂ = s – n r1-∂
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z’/(1-∂) = s – nz
z’ + n(1 - ∂) = s (1-∂)
Ecuación lineal de coeficientes constantes.
@
8@
D
H
L
@
D
H
L
<
@
D
D
HLH
HL
H
L
HL@
::@
D@
D
>
L
D
:@
D HL@
D
>
Podemos conocer directamente la solución de la general completa:
DSolve
z' t + 1 - d n z t Š s 1 - d
z t ® -
ã
- n t - 1+d +t - n+n d
s- sd
n - 1+ d
Simplify %
s
nt
z t ®
+ã
n
- 1+d
+ ã
,z t ,t
t - n+n d
C 1
C 1
O podemos hallarla a través de varios pasos:
HL<
L
88@
H
<D
H
L
@
D
HL
1º hallamos las raíces del polinomio característico:
Solve l + 1 - d n Š 0, l
l ® -
n 1- d
2º exponemos la solución general de la homogénea:
GH t = C1 ã - n
ã
- n t 1- d
1- d t
C1
La solución particular es una constante (sa), haciendo z’ =0
@
D
@
H
L
H
L
D
: >
P t_ = A
A
Buscamos el valor de A:
Solve
A®
A=
s
1- d n A Š s 1 - d , A
n
s s
n n
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@
DH@
D
LD@
La solución general de la completa (de la variable z):
GC t = GH t + P t
s
- n t 1- d
+ã
C1
n
Si z = r1-∂
r = z1/ (1-∂)
La solución general es:
r(t) = {C1 exp [-n (1-∂) t ]+ s/n }1/ (1-∂)
2. -Podemos hacer otra interpretación de “n”:
Introduciendo el progreso técnico, suponiendo que eleva la productividad del trabajo,
pues en cualquier momento “t” una unidad física de trabajo produce más que en “t – dt”,
midiendo el trabajo en “unidades de eficiencia”, y suponemos que crece a un ritmo
proporcional y constante.
La nueva interpretación de “n” es la tasa de crecimiento de la mano de obra más la tasa
del progreso tecnológico( trabajo aumentativo)
L = Lo en t (Trabajo medido en unidades de eficiencia)
Si suponemos que el sistema se encuentra en su senda de equilibrio, y la sociedad desea
maximizar el consumo por unidad de trabajo.
Sabemos que en la senda de equilibrio todas las variables crecen a la misma tasa (n)
K’ = nK
C = f (K,L) – nK
C = consumo
nK = inversión
C/L = f(r,1) – nr
f(r,1) es una función homogénea de grado 1
C/L será máximo si d[ f(r,1) – nr ] / dr = f ’(r,1) – n = 0
f ‘(r,1) = productividad
marginal del capital
Para el caso concreto anterior, donde ∂ = 0.2, y con la misma función Coob-Douglas (r∂)
( r0.2 ) ’- 0.03 = 0
@
H
L
8
<
D
8
<
FindRoot 0.2 r^ - 0.8 - 0.03 Š 0, r, - 1, 1
r ® 10.7122 + 0.000060442 ä
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Suponemos que cuando r toma dicho valor, entonces C/L toma su valor máximo, así es
ya que f ‘’(r,1) es negativo [(r0.2) ‘’ = -0.16 r -1.8] . Para maximizar el consumo por
unidad de trabajo, el capital exigido por unidad de trabajo torna el valor 10.7.
Obtenemos así la condición de la “regla de oro” de la acumulación de capital, que
establece que para maximizar el consumo por unidad de trabajo ( C/L); f ‘(r,1) debe ser
igual a la tasa de crecimiento de la mano de obra (n), determinada exógenamente.
f)Conclusiones posibles económicas:
-En un régimen transitorio, se observa una correlación entre la tasa de inversión y la tasa
de crecimiento. Mientras que la tasa de crecimiento a largo plazo no depende de la tasa
de inversión.
-Estabilidad y convergencia
A continuación veremos si el crecimiento de la renta con pleno empleo de trabajo
continuo puede ser una situación estable.
Suponemos que r = ro, para t = 0
0<∂<1
n>0
ro = ( C1+ s/n)1/ (1-∂)
ro1-∂ = C1+ s/n
C1= ro1-∂ - s/n
r(t) ={ (ro1-∂ - s/n ) exp [-n (1-∂) t ]+ s/n }1/ (1-∂)
A medida que “t” aumenta;{ (ro1-∂ - s/n ) exp [-n (1-∂) t ]} tiende a cero
r(t) tenderá a: (s/n )1/ (1-∂) , es decir, a su valor de equilibrio.
Como vimos antes “Mathematica” no nos permite representar esta función ya que
puede ser no lineal.
Por ello vamos a dar valores a las constantes para poder representarlo y estudiar su
estabilidad:
s = propensión media a ahorro del 10%
n = tasa de crecimiento de la población al 3%
∂ = constante que toma valores entre 0 y 1 = 20%
Partiendo de la ecuación:
r’ = s r∂- n r
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@
8
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D
8
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D@
D
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@
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<D<8 <D
@@
@
D
D8 <
D
FindRoot 0.1 r^0.2 - 0.03 r Š 0, r, - 100, 100
r ® 4.504 + 1.35951 ´ 10- 7 ä
En este caso en concreto r tiende a un valor de equilibrio cercano a 4.5
NDSolve
r' t Š - 0.03 r t + 0.1 r t ^0.2, r 0 Š 4 , r, t, 0, 300
r ® InterpolatingFunction
0., 300.
, <>
Plot Evaluate r t . % , t, 0, 300
4.5
4.4
4.3
4.2
4.1
50
100
150
200
250
300
-Gráfico 2Vemos que r ( cantidad de capital exigido por unidad de trabajo) presenta
estabilidad y converge hacia un punto de equilibrio.
El punto de equilibrio será estable. Si imponemos la condición de que r esté en
equilibrio, es decir, r’ = 0 ,entonces:
s f(r,1) = nr que podemos observar en el grafico 1.
A la izquierda del punto A(mirar gráfico 1); “s f(r,1)” cae por encima de “nr”, es decir:
sf (r,1)- nr > 0.
Por lo tanto r’ es positiva (“r” aumenta), r es mayor que su valor en equilibrio (ocurre al
contrario para la derecha del punto A.). Llegamos a la conclusión que si es estable.
g)Bibliografía:
-Gandolfo, G.:Métodos y modelos matemáticos de la dinámica económica, ed. Tecnos,
Madrid 1976.
-Revista de la facultad de economía-BUAP Año VI Núm.17, Destinobles, A.Gerald,
Hernández Arce, Jesús.
-Información en Internet.
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-Programa Mathematica versión 4.1
-Ayuda de los profesores que imparten la asignatura.
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