Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Junio 2010 OPCIÓN A PROBLEMA 3. Se sabe que p(B/A) = 0,9, p(A/B) = 0,2 y p(A) = 0,1. a) Calcula p(A∩B) y p(B) b) ¿Son independientes los sucesos A y B? ¿Por qué? c) Calcula p A ∪ B , donde B representa el suceso complementario de B. ( ) Solución: De los datos del problema, conocemos: p (B I A ) (1) p B = 0´9 → (2) = 0´9 A p ( A) p( A I B ) (3) p A = 0´2 → (4) = 0´9 B p( B) (5) p ( A) = 0,1 ( ) ( ) a) Calculemos p(A∩B) y p(B) p( A I B) = 0´9 → p ( A I B ) = 0´09 (6) 0´1 0´09 0´09 = 0´2 → p ( B ) = = 0´45 p( B) 0´2 A partir de las expresiones (2) y (5) A partir de las expresiones (4) y (6) b) Para que los sucesos A y B sean independientes debe cumplirse: p(A∩B) = p(A) . p(B) Sustituyendo los valores de las probabilidades: 0`09 = 0´1 . 0´45 = 0´045 falso Por lo tanto A y B no son independientes. c) ( ) () ( p A ∪ B = p ( A) + p B − p A I B ) Calculemos las tres probabilidades de la parte derecha. Ya conocemos el valor de p(A) = 0´1 () p B = 1 − p( B) = 1 − 0´45 = 0´55 La última probabilidad la obtenemos de la siguiente forma: llamando E al suceso seguro, sabemos que ( ) ) por lo que p ( A) = p[( A I B ) U (A I B )] = p ( A I B ) + p (A I B ) − p[( A I B ) I (A I B )] = como ( A I B ) I (A I B ) = A I B I B = A I ∅ = ∅ = p ( A I B ) + p (A I B ) − p (∅) = p ( A I B ) + p (A I B ) − 0 = p ( A I B ) + p (A I B ) Luego p ( A) = p ( A I B ) + p (A I B ) Sustituyendo las probabilidades conocidas queda: ( 0´1 = 0´09 + p A I B Finalmente ( ( A = A I E = A I B U B = (A I B) U A I B E = B U B luego, ) → ) ( ) p A I B = 0´1 − 0´09 = 0´01 p A U B = 0´1 + 0´55 − 0´01 = 0´64