Análisis Matemático I Actividad 4 Conjuntos Finitos, Conjuntos

Análisis Matemático I
Actividad 4
Conjuntos Finitos, Conjuntos Numerables y Conjuntos No Numerables
1. Definición. Decimos que dos conjuntos A y B tienen la misma cardinalidad, denotado A ∼ B, si existe una función biyectiva A → B. Verifica que
tener la misma cardinalidad es una relación de equivalencia.
2. Definición. Para todo entero positivo n sea In = {1, 2, . . . , n}. Para todo
conjunto A, decimos que
a) A es finito si A ∼ In para algún n (el conjunto vacı́o se considera
finito).
b) A es infinito si no es finito.
c) A es numerable si A ∼ N.
d ) A es no numerable si no es finito ni numerable.
e) A es a lo más numerable si es finito o numerable.
3. Ejemplo: N ∼ Z. ¿ Puede un conjunto numerable tener un subconjunto
numerable?
4. Definición. Una sucesión es una función definida en N. Si para cada
n ∈ N, f (n) = xn , se acostumbra representar a la sucesión f mediante
{xn }, o mediante x1 , x2 , x3 , . . .. Los valores de f , o sea los elementos xn ,
se llaman términos de la sucesión. Si A es un conjunto y xn ∈ A para toda
n ∈ N, se dice que {xn } es una sucesión en A, o una sucesión de elementos
de A.
A veces es conveniente sustituir N en esta definición por N ∪ {0}.
5. Teorema. Todo subconjunto infinito de un conjunto numerable es numerable.
6. Corolario.
a) Existe una función suprayectiva f : N → A si, y sólo si, A es a lo
sumo numerable.
b) Existe una función inyectiva f : A → N si, y sólo si, A es a lo sumo
numerable.
7. Teorema. Si {En } es una sucesión de conjuntos numerables y
S=
∞
∪
n=1
entonces S es numerable.
1
En ,
[Define la sucesión usando el siguiente diagrama:
x11
x21
x31
x41
x12
x22
x32
x42
x13
x23
x33
x43
x14
x24
x34
x44
...
...
...
...
]
8. Corolario. Si A es a lo sumo numerable, y para cada a ∈ A, Ba es a lo
sumo numerable, entonces
∪
T =
Ba
a∈A
es a lo sumo numerable.
[T es equivalente a un subconjunto de S arriba]
9. Teorema. Si A es un conjunto numerable y Bn es el conjunto de todas las
n-adas (a1 , . . . , an ) con ak ∈ A (para k = 1, . . . , n) sin que los elementos
sean necesariamente diferentes, entonces Bn es numerable.
∪
[Procede por inducción y usa que Bn = a∈A {(b, a) : b ∈ Bn−1 }]
10. Corolario. El conjunto de los números racionales es numerable.
11. El conjunto A, que consta de todas las sucesiones cuyos elementos son los
dı́gitos 0 y 1, es no numerable.
[Si B es un subconjunto numerable de A, define un elemento de A que no
pertenece a B]
Ejercicios
1. Demuestra que el conjunto vacı́o es subconjunto de cada conjunto.
2. Se dice que un número complejo z es algebraico si hay enteros a0 , . . . , an ,
que no son todos cero, tales que
a0 z n + a1 z n−1 + . . . + an−1 z + an = 0.
Demostrar que el conjunto de todos los números algebraicos es numerable.
[Sugerencia: Para cada entero positivo N hay solo un número finito de
ecuaciones con
n + |a0 | + |a1 | + . . . + |an−1 | + |an | = N ]
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