E. T. S. DE INGENIERÍA INFORMÁTICA INGENIERO EN INFORMÁTICA Estructuras Algebraicas para la Computación Curso 2000/2001 Relación 1: Conceptos fundamentales 1. Establece si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: (a) ∅ ⊆ {∅} (c) {∅} ⊆ ∅ (e) {a, b} ∈ {a, {a, b}} (b) ∅ ∈ {∅} (d) {∅} ∈ {∅} (f ) {a, b} ⊆ {a, {a, b}} 2. Sean A, B y C subconjuntos de un universo U. Determina la veracidad de los siguientes enunciados, demostrando los que sean verdaderos y dando un contraejemplo para los falsos. (a) Si A ∪ B = A ∪ C, entonces B = C. (b) Si A ∩ B = A ∩ C, entonces B = C. (c) A ⊆ B ⇐⇒ P(A) ⊆ P(B) (d) Si A∪B =A∪C y A ∩ B = A ∩ C, entonces B = C. 3. Especifica todas las posibles particiones del conjunto A = {a, b, c, d, e}. 4. Simplifica la expresión (A ∪ B) ∩ C ∪ B 5. Los empleados de una fábrica están clasificados por (a) su estado civil (solteros o casados) (b) su nacionalidad (españoles o extranjeros) (c) su color de pelo (rubios o no rubios) Un jefe de personal averigua que un empleado que está buscando es “soltero o no español rubio”. Otro jefe de personal averigua que ese mismo individuo es “o soltero o extranjero o no rubio” ¿Cuál de los dos jefes de personal tiene más información sobre el individuo? 6. Estudia si son ciertas las siguientes igualdades. Cuando no lo sean, compara por inclusión ambos miembros: (a) A ∩ (B − C) = A ∩ B) − (A ∩ C) (b) A − (B ∩ C) = (A − B) ∩ (A − C) (c) P(A) ∪ P(B) = P(A ∪ B) (d) P(A) ∩ P(B) = P(A ∩ B) 7. Dado el alfabeto Σ = {0, 1}, escribe los elementos del conjunto S3 que contiene todas las palabras de longitud menor o igual a 3 que se pueden formar con sı́mbolos de Σ. 8. Para el alfabeto Σ = {a, b, c} determina S2 . 1 9. Se consideran las relaciones R ⊆ N × R y S ⊆ R × N, definidas por n R x ⇔ n = x2 y S m ⇔ y2 = m − 1 Encuentra, si es posible, una expresión para las relaciones R ◦ S , S ◦ R , (R ◦ S)−1 y (S ◦ R)−1 . De cada una de estas relaciones describe el dominio y la imagen (o codominio). 10. Sean R1 y R2 relaciones binarias definidas sobre un conjunto A. Estudia las relaciones R1 ∪ R2 , R1 ∩ R2 y R1 ◦ R2 cuando: (a) R1 y R2 son relaciones de equivalencia. (b) R1 y R2 son relaciones de orden. 11. Utiliza el algoritmo de Warshall para determinar la mı́nima relación de equivalencia que contiene a la relación R = {(x, y), (x, v), (y, z), (z, x), (z, u), (u, v), (v, y)} definida sobre el conjunto {x, y, z, u, v}. Describe la partición determinada por dicha relación. 12. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} y R = {(1, 2), (2, 1), (3, 3), (4, 5)}. Prueba que S = R∪R2 es una relación transitiva. Halla la mı́nima relación de equivalencia que contiene a S y determina las clases de equivalencia. 13. Se consideran los conjuntos parcialmente ordenados (A, 1 ) y (B, 2 ). En el conjunto A × B se define la relación (a1 , b1 ) (a2 , b2 ) ⇐⇒ a1 1 a2 ∧ a2 2 b2 Demuestra que (A × B, 4) es un conjunto parcialmente ordenado. 14. Sea A = {a, b, c, d} y π1 la siguiente partición de A: π1 = {{a, b, c}, {d}} (a) Especifica la relación de equivalencia inducida por π1 . (b) Haz lo mismo para las particiones π2 = {{a}, {b}, {c}}, {d}} π3 = {{a, b, c, d}} (c) Dibuja un diagrama del conjunto parcialmente ordenado (P, 4), donde P = {π1 , π2 , π3 } y la relación 4 viene definida por πi 4 πj ⇐⇒ πi es un refinamiento de πj 15. Dado el entero positivo m, denotamos por πm la partición correspondiente a la relación de congruencia(mod.m) definida en el conjunto Z. Demuestra que πk ⇐⇒ es un refinamiento de πj k es un múltiplo de j. 16. Se define la función f : [0, 1] → (0, 1) de la siguiente manera: 1 f (0) = , 2 1 1 f( ) = , n n+2 1 1 1 f (x) = x ∀x ∈ [0, 1] − 0, 1, , , . . . , , . . . 2 3 n 2 (a) Estudia qué propiedades verifica f . (b) Deduce qué relación hay entre el cardinal de [0, 1] y el de (0, 1). 17. Determina si los siguientes enunciados son Verdaderos o Falsos (demostrando los que sean V y poniendo un contraejemplo de los F). (a) Si A y B son conjuntos numerables, entonces A ∪ B es numerable. (b) Si A y B son conjuntos no numerables, entonces A ∩ B es no numerable. (c) Si A y B son conjuntos numerables, entonces A − B es numerable. (d) Si A y B son conjuntos no numerables, entonces A − B es no numerable. (e) Si A es no numerable y B es numerable, entonces A ∩ B es no numerable. (f) Si A es no numerable y B es numerable, entonces A − B es numerable. 18. En el conjunto de los números naturales se definen: (a) a ∗ x = ax (b) a ∗ b = a (c) x ∗ y = m.c.m.(x, y) (d) x · y = m.c.d.(x, y) Determina si son leyes de composición interna y, en el caso que lo sean, estudia qué propiedades verifican. 19. Estudia si las siguientes funciones f : Z × Z → Z son operaciones b) f (x, y) = xy a) f (x, y) = x + y − xy En caso afirmativo determina sus propiedades. 3