Ajuste Automático de controladores PID

Ajuste Automático de controladores PID
R.Mazaeda (*), C. De Prada(**)
(*) Centro de Tecnología Azucarera. Calle Real de Burgos. Edificio
Alfonso
VIII,
s/n,47011,
Valladolid,
España.
E-mail:
rogelio@cta.uva.es.
(**) Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática, Facultad
de Ciencias, Universidad de Valladolid, c/ Real de Burgos s/n, 41011,
Valladolid, España. E-mail: prada@autom.uva.es.
este contexto que surgen nuevos y prometedores
métodos de sintonía tales como el IFT (H.
Hjalmarsson, 1994, 95, 98).
Resumen
Este articulo presenta un sistema de sintonía
automática de reguladores PID en lazo cerrado
basado en la técnica del IFT. El sistema se conecta
al sistema de control del proceso mediante OPC,
aunque puede operar también autónomamente. Se
ilustra su funcionamiento con un ejemplo practico.
En este artículo se describen las características de
dicho método y se presenta, además, el IFTtune un
software de ajuste de PIDs basado en el IFT con
algunas modificaciones útiles para adaptarlo a la
práctica industrial.
El método IFT.
Palabras clave: Reguladores PID, sintonía en
línea, ITF.
El método de ajuste IFT (Iterative Feedback
Tuning) tiene como objetivo la sintonía directa, en
lazo cerrado, de los parámetros de un controlador
tipo PID. El ajuste se realiza mediante la
minimización de una función de coste. El método
no exige ningún conocimiento explícito del modelo
de la planta ni de las perturbaciones.
Introducción.
A pesar de los grandes avances en la teoría de
control automático, el regulador PID continúa
siendo el controlador más ampliamente utilizado en
la industria de procesos. A pesar de esto, no deja de
reportarse, que un muy alto porcentaje de los PIDs
actualmente en funcionamiento, está sintonizados
de manera deficiente .
Los desarrollos se efectuarán en referencia al
sistema SISO de dos grados de libertad de la
Fig.1. Se trata de ajustar los parámetros ρ del
controlador C, de manera que se minimice cierta
función de coste típicamente relacionada con el
error de seguimiento de la referencia y con el
esfuerzo de control como se muestra en (1).
Esta circunstancia explica el siempre creciente
interés en el desarrollo de métodos prácticos para
el ajuste de los parámetros de este tipo de
controladores. Es en
v
u
r
Cr
G
Cy
Fig.1
y
N
N

J (ρ ) =  ∫ e 2 + λ ∫ u 2 
t =0
 t =0

1
∂y
(ρ) =
C r (ρ )
∂ρ
(1)
 ∂C r ∂C y 

∂C
T0 r + y T0 (r − y )
−

∂ρ
∂ρ 
 ∂ρ

(6a)
Matemáticamente, el problema se plantea como
encontrar los parámetros óptimos ρ* tales que :
ρ∗ = arg min J (ρ)
(2)
ρ
Una manera sistemática de resolver un
problema de optimización como el planteado es
mediante un algoritmo numérico iterativo del
tipo:
∂J
ρ i +1 = ρ i − δ i R i−1 (ρ i )
(3)
∂ρ
donde Ri es el Hessiano de J y δ el paso de
optimización. En cada iteración, el algoritmo
propone un nuevo vector de parámetros ρi+1 que
modifica los parámetros de la iteración anterior,
ρi, según un vector relacionado con el gradiente
de la función de coste con respecto a los
parámetros.
Ahora bien, para poder aplicar este algoritmo se
necesita conocer el gradiente del índice. Es
evidente, sin embargo, que dicha magnitud
depende de la función de transferencia de la
planta que se asume desconocida. La principal
aportación del método IFT es haber hallado la
manera de estimar dicho gradiente a partir de
experimentos sobre el sistema en lazo cerrado
Para una deducción completa del algoritmo IFT
ver [Hjalmarsson et al, 1994] . No es difícil, sin
embargo, captar la idea principal del algoritmo
si se realizan las siguientes manipulaciones
matemáticas.
Primero, se sabe que un estimado del gradiente
de la función de coste puede ser hallado como:

∂~
y
1 N ~
J
∂
est (ρ) = ∑
y (ρ)est t (ρ) + (4)
 t =1 t
∂ρ
N
∂ρ

+ λ ∑ N u (ρ)est
t =1 t
∂u

t (ρ)

∂ρ

donde:
~
y (ρ ) = y(ρ ) − y d
(5)
siendo y la salida del sistema en lazo cerrado e
yd la salida deseada (referencia).
Para calcular los gradientes del índice se debe
primero obtener los gradientes de la salida del
sistema y del controlador con respecto a los
parámetros de este último:

∂C
1  ∂C r ∂C y 
∂u
T0 r + y T0 (r − y )
(ρ) =
−

C r (ρ )  ∂ρ
∂ρ
∂ρ
∂ρ 

(6b)
Como era previsible, se comprueba que ambos
gradientes dependen de la desconocida función
de transferencia en lazo cerrado del sistema
(T0). La forma de la ecuación sin embargo
sugiere que una estimación de dicho gradiente
pudiera ser obtenida mediante el siguiente
algoritmo:
1.
2.
3.
4.
est
5.
Se realiza un primer experimento, en
condiciones nominales (referencia = r)
y se obtienen N muestras de la salida
del lazo y de la señal de control (y1 y
u1).
Se realiza un segundo experimento,
esta vez con la referencia igual a r - y1.
Se recogen otras N muestras: y2 y u2.
Se realiza un tercer experimento, otra
vez en condiciones normales con la
referencia igual r. Se obtiene y3 y u3.
Se calcula un estimado de los
gradientes de la salida del lazo y de la
señal de control aplicando los
siguientes filtros que dependen
exclusivamente del controlador de
2DoF conocido:
∂y
1
=
∂ρ C r ( ρ )
 ∂C r ∂C y  3 ∂C y 2 
y +
−
y  (7)

∂ρ 
∂ρ

 ∂ρ
Contando con los gradientes de la
salida y de la señal de control, se puede
encontrar inmediatamente el gradiente
de índice y por tanto, se estaría en
condiciones de aplicar el algoritmo
iterativo de optimización.
Es importante esclarecer el por qué es necesario
realizar un tercer experimento. Se pudiera
pensar en utilizar en lugar de y3, el resultado del
primer experimento (y1) que fue realizado en
definitiva, bajo las mismas condiciones.
En realidad no han sido exactamente las mismas
condiciones porque estaban presenten otras
perturbaciones en el lazo. La derivación formal
del método IFT asume que las perturbaciones
están compuestas por ruido aleatorio y que las
perturbaciones de un experimento no está
correlacionas con la del siguiente. Para el caso
de 2DoF la única manera de garantizar que el
estimador obtenido sea no sesgado pasa por la
condición de no reutilizar el resultado del
experimento 1 sino de realizar otro nuevo.
est
Como resultará evidente de la discusión
anterior, la aplicación del algoritmo descrito no
está restringida al caso de controladores PID. El
IFT puede aplicarse a cualquier controlador de
complejidad arbitraria cuya estructura pueda
asimilarse a la mostrada en las figura 1 ó 2.
Todo lo que se requiere es proporcionar al
algoritmo los filtros dados por la ecuaciones (8)
Ahora los gradientes se reducen a:
(8a)

∂u 1  ∂C
=  T0 (ρ )(r − y )
∂ρ C  ∂ρ

(8b)
La calidad del ajuste obtenido por la aplicación
del método IFT depende de la sintonía inicial
del controlador, de las características de la
planta y de la configuración del algoritmo: el
número de muestras, el criterio escogido, el
paso de optimización, etc. La naturaleza de esta
dependencia es, por supuesto, muy compleja.
En este caso si se puede demostrar que dos
experimentos son suficientes:
El IFT no puede garantizar que los parámetros
hallados sean los óptimos, en un sentido global,
para el criterio propuesto. En todo caso, con una
buena configuración, se puede garantizar la
mejora de la sintonía inicial del controlador en
un número reducido de iteracionesSe debe
señalar que aunque se asume el carácter lineal
de la planta, las aplicaciones prácticas del
algoritmo a sistemas claramente no lineales
ofrece buenos resultados.
Iteración N
30
Iteración N+1
25
20
Referencia
15
VControlada
10
5
Exp. 1
Exp. 2
Tiempo
Fig.2
97
91
85
79
73
67
61
55
49
43
37
31
25
19
13
0
7
3.
1
2.
Se realiza un experimento inicial que
simplemente consiste en obtener N
muestras de la salida (y1) y la señal de
control (u1) en condiciones nominales
(con la referencia del lazo r).
Se realiza un segundo experimento,
esta vez aplicando por la referencia la
señal r - y1. Se obtiene otros dos
conjuntos de N muestras, en este caso
y2 y u2.
Se obtienen estimaciones del gradiente
de la salida del lazo y de la señal de
control filtrando las señales y2 y u2 con
el siguiente filtro que depende
exclusivamente de el controlador
conocido:
Nivel
1.
(9)
En la figura 2 se muestran dos iteraciones de
algoritmo para el caso de un grado de libertad
Para el caso de controladores de un solo grado
de libertad, el algoritmo se simplifica de la
siguiente manera.

∂y 1  ∂C
=  T (ρ )(r − y )
∂ρ C  ∂ρ 0

∂y 1  ∂C  2
=
y
∂ρ C  ∂ρ 
Fig 3.
IFTtune, un software para ajuste
automático de controladores.
Se ha desarrollado un programa para el ajuste
automático de PIDs que utiliza el método IFT
descrito en la sección anterior. La aplicación
(llamada IFTtune) ha sido diseñada con el
objetivo de brindar la mayor flexibilidad
posible. En este sentido hace uso, para la
comunicación con la planta, el estándar OPC de
amplia utilización en la industria de procesos.
Por otra parte, aunque tiene preprogramados los
elementos necesarios para ser aplicado a
controladores del tipo PID en cualquiera de sus
variantes brinda la posibilidad de incluir otros
algoritmos de control aprovechando en este caso
la generalidad inherente del método IFT.
El programa IFTtune presenta las siguientes
características:
Elementos de configuración:
• La aplicación permite configurar el lazo
que se desea ajustar. Para ello se deberá
suministrar las direcciones OPC o tags de las
variables de proceso necesarias así como de
los parámetros del controlador que se desean
ajustar.
•
Se deben brindar los valores de una
serie de parámetros importantes del algoritmo
como son:
N: el tamaño de los experimentos en
número de muestras.
δ: Paso de optimización deseado.
λ: Peso que se quiere dar al esfuerzo de
control en el índice.
•
Permite escoger entre dos funciones de
costes predefinidas:
Criterio ISE: que incluye la sumatoria
de los errores al cuadrado.
Criterio ISTSE: pesa la sumatoria del
producto del tiempo por el error,
ambos al cuadrado.
Se puede configurar si se desea ajustar
el controlador ante cambios en la
referencia o ante perturbaciones.
Durante el funcionamiento:
•
Inicialmente la aplicación permite el
monitoreo de las variable de proceso, la
referencia y la señal de control. La evolución
de estas variables se muestra gráficamente.
También se muestran los valores actuales de
los parámetros en forma de tabla.
•
El operador puede decidir en cualquier
momento el inicio del proceso de sintonía.
•
En condiciones normales el algoritmo
avanza ajustando en cada iteración los
parámetros del controlador y da por finalizado
el ajuste en el momento en que no se pueda
seguir mejorando el índice de coste.
•
El IFTtune incorpora algunos elementos no
considerados originalmente en el método IFT
pero que resultan imprescindible para su
aplicación a la práctica industrial.
Por ejemplo se ha hecho necesaria la
modificación al segundo experimento del
algoritmo. En su versión original se exige que el
sistema en lazo cerrado se le suministre por la
referencia una señal igual a la referencia
nominal menos el resultado de primer
experimento (r - y1). Es evidente que la
realización de un experimento como el señalado
implicaría que se estaría obligando al sistema en
lazo cerrado a realizar excursiones muy amplias
(entre la referencia nominal y el valor cero
aproximadamente) lo cual sería intolerable en
condiciones de producción de cualquier
industria de proceso.
Para evitar estas oscilaciones tan pronunciadas
se ha modificado el segundo experimento.
Ahora se requiere que se inyecte por la
referencia la señal r - ηy1. Donde η es un
parámetro entre 0-1. Para valores pequeños de
η, la referencia del segundo experimento no se
aleja demasiado de la referencia normal del
lazo. El límite inferior al valor de η dependerá
de cada caso concreto y estará dado por la
relación señal-ruido existente en el lazo de que
se trate.
Se han agregado otros elementos al programa de
ajuste, destinados ha facilitar su uso y a
aumentar la seguridad en su aplicación
industrial:
•
•
Se pueden configurar límites absolutos
para los valores de cada uno de los
parámetros del controlador. También
se puede fijar un limite máximo a la
variación de los parámetros en cada
iteración. Estas previsiones aumentan
la seguridad en la aplicación del
algoritmo evitando que se proponga
unos valores del controlador demasiado
alejados de los valores iniciales.
Se permite definir la salida deseada
para el ajuste. Esta valor era
originalmente igual a la referencia pero
ahora se puede definir como la
respuesta de un sistema de primer
orden con retardo. Esta modificación
mejora la convergencia del algoritmo
hacia la solución óptima.
Al final de cada iteración, se calculan
unos nuevos parámetros para el
controlador que son enviados a la
planta para realizar, entonces, la
iteración siguiente. Este es el
comportamiento por defecto del
algoritmo pero el mismo se puede
considerar demasiado arriesgado según
en que condiciones. Una variante más
cautelosa consiste en repetir los
experimentos y los cálculos del
gradiente varias veces para después
actualizar en el controlador el
promedio de todos los intentos
realizados.
Conclusiones
Se ha desarrollado un programa de ajuste
automático de controladores estilo PID basado
en el método IFT.
El programa permite la sintonía de los
parámetros de un PID. La sintonía es realizada
directamente en lazo cerrado, sin asumir un
modelo de la planta ni de las perturbaciones.
La aplicación ha sido probada extensamente en
simulación y en plantas piloto obteniéndose, en
ambos casos resultados satisfactorios.
Bibliografía.
Hjalmarsson H.,Gunnarsson S.,Gevers M.
(1994) “A convergent iterative restricted
complexity control design scheme” Proc. 33
IEEE CDC, pags. 1735-1740.
Hjalmarsson H. (1995), “Model free tuning of
controllers: Experience with time varying linear
systems” Proc 3 European Control Conference.
Hjalmarsson H., Gevers M., Gunnarsson S.
Lequin O. (1998) Iterative Feddback Tuning:
Theory and Applications, IEEE
ControlSystems, pags 26-41.
Mazaeda R. de Prada C. (2000) “Iterative
Feedback Tuning of a PID in a pilot plant”,
IFAC Worksho on Digital Control: Past, present
and future of PID Control, Terrassa, España.