SEMÁNTICA: DEFINIBILIDAD (2) ARACNE Alumn@ 1. Considerad el lenguaje L de primer orden cuyos signos peculiares son P y Q como relatores monarios. Y sea A una estructura adecuada para L. Esto es, ­ ® A = A, P A , QA Asociad mediante flechas el conjunto definido y la fórmula de primer orden que lo define. (a) La unión de P A y QA (b) La diferencia de P A y QA (c) La intersección P A con el complementario de QA . (d) La diferencia simétrica del complementario de P A y QA a. P A ∪ QA b. P A − QA c. P A ∩ (∼ QA ) d. (∼ P A )4QA (¬P x ↔ Qx) (P x ∨ Qx) (P x ∧ ¬Qx) ¬P x ∧ Qx Ninguna 2. Considerad el lenguaje L de primer orden cuyos signos peculiares son R y S como relatores binarios. Y sea A una estructura adecuada para L. Esto es, ­ ® A = A, RA , S A Asociad mediante flechas el conjunto definido y la fórmula de primer orden que lo define. (a) La relación compuesta del complementario de RA con la inversa de S A (b) La composición de RA con S A (c) La intersección RA con el complementario de la inversa de S A (d) La relación compuesta del complementario de la inversa de RA con el complementario de S A a. (∼ RA ) ◦ (S A )−1 b. RA ◦ S A c. RA ∩ ∼ (S A )−1 d. (∼ (RA )−1 )◦ ∼ (S A ) ∃z (Rxz ∧ Szy) (Rxy ∧ ¬Syx) ∃z (¬Rxz ∧ Syz) ∃z (¬Rzx ∧ ¬Szy) Ninguna 1 3. Consideramos el lenguaje de primer orden con dos relatores monarios V y M , tres relatores binarios P, H y A y hagamos que signifiquen V x := x es varón M x := x es mujer P xy := x es progenitor de y Hxy := x es hermano de y Axy := x es antepasado de y Sea A una estructura adecuada ­ ® A = A, V A , M A , P A , H A , AA donde A es la humanidad. Asociad mediante flechas el conjunto o relación definida y la fórmula que lo define (a) Relación binaria: “ x es prima de y ” (b) Relación binaria: “ x es sobrina de y ” (c) Relación binaria: “ x es bisabuela de y ” (d) Relación binaria: “ x es hermana de y ” a. ((P A )−1 | M A ) ◦ (H A ◦ P A ) b. (H A | M A ) ◦ P A c. ((P A | M A ) ◦ P A ) ◦ P A d. H A | M A ∃zv (P zx ∧ P vy ∧ Hzv ∧ M x) ∃zv (P xz ∧ P zv ∧ P vy ∧ M x) ∃z (M x ∧ P zx ∧ Hzy) 2 Hxy ∧ M x Ninguna 4. Considerad el lenguaje L de primer orden cuyo único signo peculiar es el relator binario R. Y sea A una estructura adecuada para L. Esto es, ­ ® A = A, RA donde A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y RA es el orden parcial reflexivo representado por el diagrama. Seleccione una fórmula que defina a cada uno de los siguientes conjuntos Figura 1: Diagrama de Hasse (a) La clase unitaria {1} (b) El par desordenado {1, 2} (c) La clase unitaria {3} (d) El conjunto {4, 5, 6} a. {1} b. {1, 2} c. {3} d. {4, 5, 6} ∃yzv (y 6= z ∧ v 6= y ∧ v 6= z ∧ ¬Ryx ∧ ¬Rzx ∧ ¬Rvx) ∀yRyx ∃y(x 6= y ∧ ¬Rxy ∧ ∀v(v 6= x ∧ v 6= y → Rvx ∧ Rvy)) ∃yz(y 6= z ∧ x 6= y ∧ x 6= z ∧ Rxy ∧ Rxz ∧ ∀v(v 6= x ∧ v 6= y ∧ v 6= z → ¬Rxv) 3 Ninguna