VERDAD EN UNA ESTRUCTURA (2) ARACNE Alumn@ 1. Considerad el lenguaje de primer orden cuyos signos peculiares son: P y Q como relatores monarios; R y S como relatores binarios y las constantes individuales c y d. Considerad la estructura A = hA, P A , QA , RA , S A , cA , dA i donde A = {1, 2, 3, 4} P A = {1, 3} , QA = ∅ RA = {h1, 2i, h1, 3i, h3, 4i, h3, 3i, h2, 3i, h4, 1i} S A = {h1, 2i, h1, 3i, h1, 4i, h3, 4i, h1, 1i} cA = 1 y dA = 2. ¿Cuáles de las siguientes sentencias son verdaderas en A? Contestad SI o NO. SI a b c d e f NO A ° ¬P d A ° (P c → ¬Qd) A ° ∃x (P x ∧ Qx) A ° ∀x(Qx → ∃y(P x ∨ Qx)) A ° ∀x(∃yRxy → P x) A ° ∀x (P x → ∃y (Sxy ∧ Rxy)) 2. Considerad el mismo lenguaje y la misma estructura que en el ejercicio anterior. ¿Cuáles de las siguientes sentencias son verdaderas en A? Contestad SI o NO. SI a b c d e f NO A ° ∀x∃ySxy A ° ∃y∀xRxy A ° ∀xy (¬Sxy → Rxy) A ° ∀xy (∃z (Sxz ∧ Rzy) → Rxy) A ° ∀x (x = c → ∃yRyx) A ° ∀x (∃yRyx → P d) 1 3. Considerad el lenguaje de primer orden cuyos signos peculiares son: P y Q como relatores monarios; R y S como relatores binarios y la constante individual c. Considerad la estructura A = hA, P A , QA , RA , S A , cA i donde A = {1, 2, 3, 4, 5} P A = {1, 2, 3} , QA = {3, 5} RA = {h1, 2i, h1, 3i, h2, 3i, h3, 3i} , S A = {h1, 3i, h3, 1i, h3, 3i} cA = 1 ¿Podríais dar alguna interpretación F de la variable x que haga verdadera a las siguientes fórmulas? F (x) = 1 a b c d e f F (x) = 2 F (x) = 3 F (x) = 4 F (x) = 5 NO (P x ∨ Qx) ∃y (Rxy ∨ Sxy) ∀y (P x → Rxy) ∀y ((P x ∧ Qc) → ¬Rxy) (P x → ¬Qx) ∃y (P x → Sxy) 4. Considerad el lenguaje de primer orden que sólo posee un relator binario R.Sea A la estructura A = hA, RA i donde A = {1, 2, 3, 4, 5} RA = {h1, 1i, h2, 2i, h3, 3i, h4, 4i, h5, 5i, h2, 3i, h3, 4i, h3, 5i, h4, 1i, h5, 1i, h2, 1i, h2, 4i, h2, 5i} ¿Podríais elegir valores para una asignación F de manera que haga verdaderas las fórmulas siguientes? (a) AF ° (Rxy ∧ x 6= y) → ∃z((Rxz ∧ Rzy) ∧ (x 6= z ∧ z 6= y)) (b) AF ° ∃z(Rxz ∧ Ryz) → ∃v(Rvx ∧ Rvy) (c) AF ° ∀z(Rxz ∧ Ryy) (d) AF ° ¬Rxy → Ryx (e) AF ° Rxy → ∃z((Rxz ∧ Rzz) ∧ ¬Ryx) (f) AF ° ∀uv((Rux ∧ Rvy) → (Ryu ∧ Rxv)) F (x) = 3 F (y) = 4 F (x) = 3 F (y) = 2 F (x) = 2 F (y) = 3 a b c d e f 2 F (x) = 2 F (y) = 4 NINGUNA 5. Considerad las sentencias A, B, C, D,E y las estructuras A, B, C, D, E siguientes: A := ∀x (P x → ∃yRxy) A = hA, P A , QA , RA i B := ∀x (Qx → ∃yRxy) B = hB, P B , QB , RB i C := ∃x (P x ∧ Qx) C = hC, P C , QC , RC i D := ∀x∃yRxy D = hD, P D , QD , RD i E := ∃x∃y¬Rxy E = hE, P E , QE , RE i A = {1, 2, 3, 4} P A = {1} A Q = {3} R = {h1, 2i , h3, 4i} B = {1, 2, 3, 4, 5} P B = {4} QB = {5} B R = {h1, 1i , h2, 3i , h3, 3i , h4, 1i , h5, 3i} C = {1, 2} PC = ∅ C Q =∅ RC = ∅ D = {1} PD = ∅ QD = ∅ RD = {h1, 1i} E = {1, 2, 3, 4, 5} P E = {1, 2, 4} E A Q = {4, 5} R = {h1, 1i , h4, 2i , h2, 3i} A Siempre que sea posible elegid estructuras en las que: (a) Las sentencias A, C y E sean verdaderas y las restantes falsas (b) Las sentencias A, B y D sean verdaderas y las restantes falsas. (c) Todas las sentencias sean verdaderas. (d) Las sentencias B y C sean verdaderas y las restantes falsas. (e) Todas las sentencias sean falsas (f) Las sentencias B ,C y D sean verdaderas y las restantes falsas. A B C D E IMPOSIBLE a b c d e f 3