VARIABLES ALEATORIAS

VARIABLES
ALEATORIAS
Ejemplo: lanzar dos dados y sumar lo que sale en las dos caras.
El espacio muestral está formado por los 36 resultados posibles (de lanzar los dados)
Y el resultado del experimento está formado por los números de 2 al 12. Por ejemplo
●
●
El resultado sacar 3 define los eventos {(1,2), (2,1)}
El resultado sacar 10 define los eventos {(6,4), (5,5), (4,6)}
Los resultados definen conjuntos de eventos y permiten calcular las probabilidades
Una variable aleatoria es una función (fórmula, regla) que asigna a cada elemento del
espacio muestral un número real.
La variable aleatoria X es discreta si
● sólo toma una cantidad finita (o una sucesión) de valores numéricos x ,x ,x
1 2 3
● Para cada valor está bien definida la probabilidad de que X tome el valor x
i
La variable aleatoria X es continua si
● si sus valores forman un conjunto continuo dentro de los números reales (como
una unión finita de intervalos, acotados o no),
● Dado un intervalo I=(a,b) (puede ser a=-infinito o b=+infinito), la probabilidad
P ( X ∈I )
● de que el valor de X esté dentro de ese intervalo I está bien definida.
Ejemplo:
● La regla que asocia al lanzamiento de 2 dados la suma del resultado de cada
lanzamiento es una variable aleatoria discreta.
●
La regla que asocia a cada individuo su altura es una variable aleatoria continua.
Ver sección 4.1 del libro
Ejemplo: Un experimento de Bernouilli es un experimento aleatorio que sólo tiene
dos resultados éxito (E) y fracaso (F) con probabilidades
P ( E)= p
P ( F )=q
p+q=1
Nos referiremos a esto como a un experimento Bernouilli(p).
Una variable aleatoria X es de tipo Bernoullí asigna
X(Éxito) = 1,
X(Fracaso) = 0
1. Lanzar una moneda; éxito cara y fracaso cruz. Si no está trucada
P(E) = P(X = 1) = 0.5
P(F) = P(X = 0) = 0.5
2. Obtener un 5 al lanzar un dado; éxito = "sacar 5" y fracaso ="no sacar 5”.
Si no está trucado
P(E) = P(X=6) = 1/6
P(F) = P(X <> 6) = 5/6
Ver sección 5.1.1 del libro
Un experimento binomial de tamaño n con probabilidad de éxito p consiste en realizar n
veces, de forma independiente, un experimento de Berniulli con probabilidad de éxito p.
Para un experimento binomial, se llama variable aleatoria binomial a la variable
X = “nº de éxitos al repetir n veces el experimento Bernoulli”
Ejemplo:
● Considera el experimento Bernoulli: lanzar un dado y que salga 6.
● Éxito = que salga 6, P(E) = 1/6.
● Fracaso = que NO salga 6, P(F) = 5/6.
●
●
●
El experimento binomial consiste en lanzar 5 veces un dado (repetir 5 veces el
experimento Bernoulli).
X = “nº de seises en 5 lanzamientos”.
¿Cuál es la probabilidad de sacar 2 seises? ¿P(X = 2)?
Ver sección 5.1.2 del libro
Empezamos haciendo un recuento de las situaciones en las que salen 2 seises en 5
tiradas:
Llamamos Ai = “sacar 2 seises en la tirada nº i”
Queremos calcular
P(sacar 2 seises al lanzar un dado 5 veces) =
Ver sección 5.1.2 del libro
Llamamos A_i = “sacar 2 seises en la tirada nº i”
Queremos calcular
Los eventos son disjuntos, por tanto
Calcular, por ejemplo, la probabilidad de A_1
Como los eventos son independientes
¿Por qué hay 10 posibles eventos asociados con el éxito?
Ver sección 5.1.2 del libro
En general, si X es una variable binomial de parámetros
● n (nº de repeticiones del experimento Bernoulli) y
● p (probabilidad de éxito
●
La probabilidad de obtener k éxitos en los n experimentos Bernoulli es
Ver sección 5.1.2 del libro
La función de densidad (de probabilidad) de una variable aleatoria discreta es la
función definida mediante:
f (x) = P (X = x),
para cualquier número real x.
Ejemplo: lanzar dos dados y sumar lo que sale en las dos caras.
Ejemplo. El experimento consiste en lanzar 5 veces un dado,
X = “nº de seises en 5 lanzamientos”. Éxito = sacar 6.
X
0
1
2
3
4
5
P(X = x)
0.4019
0.4019
0.1608
0.03215
0.003215
0.0001286
MEDIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: EL VALOR ESPERADO
Recordad la media de una variable estadística:
Junto con la definición frecuentista de probabilidad
Ejemplo: valor esperado de la suma del resultado de lanzar dos dados
Al aplicar la fórmula anterior obtenemos:
VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Recordad la varianza de una variable estadística:
Junto con la definición frecuentista de probabilidad
Ejemplo: varianza de la suma del resultado de lanzar dos dados
Al aplicar la fórmula anterior obtenemos: