1 Integración Aproximada Método del Rectángulo El método del rectángulo es el siguiente:Para n ∈ N, particionamos el intervalo [a,b] en n subintervalos de igual longitud h = b−a es decir P = n {a, t0 , t1 , ..., tn = b} con ti = a + ih y aproximamos Z b n n X X f (x)dx ≈ f (ti−1 )(ti − ti−1 ) = f (ti−1 )h a i=1 i=1 Es decir, aproximamos cada integral en [ti−1 , ti ] por el área del rectángulo de base h y altura f (ti−1 ), En otras palabras, calculamos la integral de la función que en cada intervalo [ti−1 , ti ) es constantemente igual a f (ti−1 ) Rb P llamamos In = h ni=1 f (ti−1 ) y ya hemos visto que lı́mn→∞ In = a f (x)dx desde luego hay un error cuando calculamos aproximadamente. Lo que nos preguntamos ahora es si podemos medir o estimar el error cometido al calcular Inr . Teorema.-Sea f : [a, b] → R una función con primera derivada continua en [a,b]. Si M1 = M | {záx} |f´|, entonces [a,b] Z b M1 (b − a)2 Inr − ≤ f (x)dx 2 n a Dem: tenemos que n Z b Z ti Z ti n X X Inr − = hf (ti−1 ) − = f (x)dx hf (t ) − f (x)dx ≤ f (x)dx i−1 a ti−1 ti−1 i=1 i=1 2 n Z X i=1 ti ti Z f (ti−1 )dx − ti−1 ti−1 n Z X n Z X f (x)dx = i=1 ti ti−1 (f (ti−1 ) − f (x))dx ≤ ti |f (ti−1 ) − f (x)| dx ti−1 i=1 Por el teorema fundamental del cálculo Z x f (x) − f (ti−1 ) = f 0 (t)dt ti−1 por lo tanto Z |f (x) − f (ti−1 )| dx ≤ ti Z M1 (x − ti−1 ) dx = M1 | {z } ti−1 u=x−ti−1 du=dx Por tanto Z b n Z X Inr − f (x)dx ≤ a i=1 udu = M1 0 |{z} u2 h h2 |0 = M1 2 2 x=ti−1 ⇒u=0 x=ti ⇒u=h ti |f (ti−1 ) − f (x)| dx ≤ ti−1 h n X i=1 M1 h2 h2 = nM1 = 2 2 (b − a)2 M1 (b − a)2 = 2n2 2 n Observación. Si conocemos una cota para M1 , entonces podemos saber cuál es el valor de n que debe tomarse para calcular la integral aproximada con un error dado. R2 2 Ejemplo 1. Supongamos que queremos calcular aproximadamente 0 e−x dx con un error menor a 0.1 2 2 tenemos que f (x) = e−x por tanto f 0 (x) = −2xe−x y deducimos que |f 0 (x)| ≤ 4 para x ∈ [0, 2] por tanto para n ∈ (N ) Z 2 4 22 8 2 −x Inr − ≤ e dx 2n =n 0 nM1 y para asegurar un valor < 0,1 8 8 < 0,1 ⇒ < n ⇒ 80 < n n 0,1 Para n=80 la fórmula nos da Inr = 0,89435 3 Método del Trapecio La regla del trapecio es la siguiente: Para n ∈ N particionamos (de la misma manera que antes)P = {a = to , t1 , ..., tn = b} con ti = a + ih y aproximamos Z b f (x)dx ≈ Int = a n X f (ti−1 ) + f (ti ) i=1 2 (ti − ti−1 ) Es decir, aproximamos cada integral en [ti−1 , ti ] por el área del trapecio de altura h y bases f (ti−1 ) y f (ti ) En otras palabras, calculamos la integral de la función que en cada intervalo [ti−1 , ti ) es lineal y coincide con f en ti−1 y en ti Teorema (Estimación del error de la regla del trapecio). Sea f : [a, b] → R una función con segunda derivada continua en [a,b]. Si M2 = M áx[a,b] |f 00 |, entonces Z b 3 Int − ≤ M2 (b − a) f (x)dx n2 a Dem Tenemos que n Z b Z X f (ti−1 ) + f (ti ) Int − f (x)dx = h − 2 a = Z ti n X f (ti−1 ) + f (ti ) f (x)dx ≤ − f (x)dx h 2 ti−1 ti−1 i=1 n Z ti X i=1 ti−1 ti i=1 ti dx − f (x)dx ti−1 (f (ti−1 ,f (ti )) Z Li f uncion lineal L (x) | i{z } que pasa por 4 n Z X = i=1 ti ti−1 n Z X Li (x) − f (x)dx ≤ i=1 ti |Li (x) − f (x)| dx ti−1 Intentemos ahora acotar cada uno de estos términos. Para ello consideremos un intervalo [ti−1 , ti ] de la partición, y definamos la función g(x) = Li (x) − f (x) , que se anula en x = ti−1 y en x = ti y por el teorema de Rolle existe ξi ∈ (ti−1 , ti ) tal que g 0 (ξi ) = L0i (ξi ) − f 0 (ξi ) = 0. El teorema fundamental del cálculo nos dice que si x ∈ (ti−1 , ti ), entonces Z x Z x 00 0 0 g 00 (t)dt g (t)dt = g (x) = g (ξi ) + ξi ξi como Li es lineal, g 00 (t) = L00i (t) − f 00 (t) = −f 00 (t) para t ∈ (ti−1 , ti ). por lo tanto Z x Z x 0 00 00 |g (x)| = g (t)dt = f (t)dt ≤ |x − ξi | M2 ≤ hM2 ξi ξi Esto implica que para s ∈ (ti−1 , ti ) Z s Z s 0 |g(s)| = |g(s) − g(ti − 1)| = g (x)dx ≤ |g 0 (s)| dx ≤ M2 h(s−ti−1 ) ≤ M2 h2 ti ti finalmente por lo anterior y del hecho de que g(x) = Li (x) − f (x) se sigue que Z ti Z ti |g(x)| dx ≤ M2 h2 h = M2 h3 |Li (x) − f (x)| dx = ti−1 ti−1 concluimos entonces que Z b ti Z X Int − f (x)dx ≤ a ti−1 ti ti−1 |Li (x) − f (x)| dx ≤ nM2 h3 = M2 n (b − a)3 (b − a)3 = M 2 n3 n2