Fundamentos matemáticos para el estudio del medio ambiente

Fundamentos Matemáticos para el
Estudio del Medio Ambiente.
Universidad
de Murcia
Dpto. de Matemáticas
Examen Final. 15.09.2005.
1. (2,5p) Escribe la ecuación de todas las rectas que pasan por el punto (1, −1) y que
tienen una pendiente arbitraria m. Es claro que cuando la pendiente m verifica m > 0
entonces estas rectas cortan a los ejes coordenados en dos puntos de la forma (x, 0)
y (0, y) de modo que x > 0 e y < 0 y ambos determinan un triángulo junto con el
origen (0, 0). Encuentra el área de este triángulo en función de la pendiente m. ¿Para
qué valor de m el valor del área es mı́nimo?
2. (2,5p) Representa gráficamente la función f (x) = x2 ln(x).
3. (2,5p) Discute y resuelve – cuando sea posible – el siguiente sistema de ecuaciones en
función del parámetro t.

x+y =
1

ty + z =
0

x + (1 + t)y + tz = 1 + t
Cada una de las ecuaciones del sistema representa un plano en el espacio. Como bien
sabes, las soluciones del sistema representan los puntos en común de los tres planos.
Interpreta los resultados obtenidos y determina la posición relativa de estos tres planos
(si se cortan en un punto, en una recta, si son paralelos, si no se cortan...).
4. (2,5p) Sea A la matriz dada por


a −1 1
1 3 
A= 0
0
2 2
Determina si la matriz A es diagonalizable o no en función del parámetro a. ¿Es
diagonalizable para a = 4? En caso afirmativo, encuentra una matriz de paso P y una
matriz diagonal D de forma que A = P DP −1 .
Nota: no es necesario calcular la inversa de P .