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ESTADISTICA
INFERENCIA ESTADÍSTICA
.
TITULO:
Una corta introducción teórica de inferencia estadística
Test o Pruebas de hipótesis CHI-CUADRADO.
Ejercicios resueltos y propuestos
AUTOR:
JUAN VICENTE GONZÁLEZ OVANDO
Inferencia Estadística
La inferencia estadística es la forma de tomar decisiones basadas en
probabilidades y presenta dos aspectos:
1. Estimación de parámetros:
- Puntual
- Por intervalos
2. Prueba de Hipótesis con respecto a una función elegida como modelo.
Estimación Puntual
• Una estimación puntual del valor de un parámetro poblacional desconocido
(como puede ser la media , µ, o la desviación estándar , σ), es un número
que se utiliza para aproximar el verdadero valor de dicho parámetro
poblacional.
• Una estimación puntual es el valor de la estadística de la muestra
correspondiente.
Estimación por intervalos
Nos proponemos determinar dos números entre los cuales se halla el
parámetro estudiado con cierta certeza.
El procedimiento para obtener un intervalo (de confianza) para un
parámetro, la media , por ejemplo, requiere de la determinación de un
estimador del parámetro y de la distribución del estimador.
Nos ocuparemos del 2º. aspecto: Prueba de hipótesis con
respecto a una función elegida como modelo.
¿Qué es una Hipótesis?
Hipótesis: Es un suposición acerca del valor de un parámetro de una
población con el propósito de discutir su validez.
Ejemplo de hipótesis acerca de un parámetro de una población son:
- El sueldo promedio de un profesional asciende a $2,625.
- El veinte por ciento de los consumidores utiliza aceite de oliva
¿Qué es una prueba, test o contraste de hipótesis?
Prueba de hipótesis: es un procedimiento, basado en la evidencia de la
muestra y en la teoría de las probabilidades, usado para determinar si la
hipótesis es una afirmación razonable y debería no ser rechazada o si no es
razonable debería ser rechazada
Prueba de Hipótesis
Paso 1: Establecer la hipótesis nula y la
alternativa
↓
Paso 2: Seleccionar el nivel de significación
↓
Paso 3: Identificar el estadístico de prueba
↓
Paso 4: Formular una regla de decisión
↓
Paso 5: Tomar una muestra, llegar a una
decisión
↓
No realizar la
hipótesis
↓
Rechazar la nula y aceptar
la alternativa
¿ Cuáles son algunos de los contrastes de hipótesis?
1)
2)
3)
4)
Contraste de hipótesis para la media
Contraste de hipótesis para la varianza
Contraste de hipótesis para la diferencia de medias de dos poblaciones
Contraste de hipótesis para muestras relacionadas.
Algunas Definiciones
Hipótesis nula H0: Una afirmación acerca del valor de un parámetro de la
población. Zona de aceptación.
Hipótesis Alternativa H1: Una afirmación que es aceptada si la muestra
provee la evidencia de que la hipótesis nula es falsa. Zona de rechazo.
Nivel de significación: La probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando
en realidad es verdadera.
Error tipo I: Rechazar la nula cuando en realida es verdadera
Error tipo II: Aceptar la hipótesis nula cuando en realidad es falsa.
Estadístico de prueba: Es un valor, determinado a partir de la información de
la muestra, usado para decidir si rechazar o no la hipótesis nula.
Valor crítico: El punto que divide la región entre el lugar en el que la hipótesis
nula es rechazada y y la región donde la hipótesis nula es no rechazada.
En este trabajo concentraremos nuestro estudio en
la prueba o test Chi-cuadrado χ2
TEST o PRUEBA CHI-CUADRADO χ
2
Consideraciones generales:
La prueba o test chi-cuadrado es considerada como una prueba no paramétrica que mide
la discrepancia entre una distribución observada y una observación teórica (bondad de
ajuste), indicando en que medida las diferencias existentes entre ambas, de haberlas, se
deben al azar en el contraste de hipótesis. También se utiliza el test chi-cuadrado para
probar la homogeneidad entre dos poblaciones o independencia de dos variables entre
si, mediante la presentación de datos dados en tablas de contingencia.
Es decir:
a) Chi-cuadrado de bondad de ajuste o significancia: para comprobar si los datos se
ajustan a una distribución concreta.
b) Chi-cuadrado de homogeneidad: para ver si dos muestras provienen de una
misma población o una población con una misma familia de distribución (los
datos vienen dado en una tabla de contingencia).
c) Chi cuadrado de independencia: para comprobar si dos muestras son
independientes ( los datos vienen en una tabla de contingencia).
Para resolver estos problemas utilizaremos la distribución
χ²-cuadrado.
La aplicaremos básicamente:
χ²cuadrado
Bondad de Ajuste
Pruebas con probabilidades de cada categoría completamente
especificada
Bondad de ajuste a una variable discreta
Bondad de ajuste a una variable continua
Tablas de
contingencia
Pruebas de Homogeneidad
Pruebas de Independencia
Estadístico y Estimador:
La fórmula que dá el estadístico de prueba (de la muestra) es el siguiente:
χ2 = ∑
(observado – esperado )
esperado
2
Que debe ser comparado con el estimador (estadístico teórico aproximado de la
población ) dado en una tabla
χ2
(1-α);(i – 1)*(j-1)
=
χ2
K
Donde
α es el nivel de significación estadística )
K = (i – 1)*(j-1) K: grados de libertad de la distribución, es igual también al No. de
sumandos menos 1, en el cálculo del estadístico.
i: número de filas, j: número de columnas
Criterio de decisión:
Se acepta Ho cuando
χ2 < χ2
(1-α);(i – 1)*(j-1)
estadístico < estimador :
se acepta Ho y se rechaza la hipótesis alternativa H1
O caso contrario, se rechaza Ho si :
χ2 > χ2
(1-α);(i – 1)*(j-1)
estadístico > estimador : se rechaza la hipótesis nula Ho y se acepta la alternativa H1
Ejercicios resueltos
(Debes tener la tabla de distribución Chi-cuadrada)
1) ¿ Cúal es la distribución de probabilidad de chi-cuadrado de 4 grados de libertad
de X<10,64?
P(
χ2 < 10,64 ) = 0,90
χ2
6
0,90; 6
χ2 con 14 grados de libertad de X < 6,57
2) Calcula la distribución de probabilidad de
P(
= 10,64
χ2 < 6,57 ) = 0,050
χ2
14
= 6,57
0,05; 14
3) ¿ Para que valor de X se cumple P (
χ2 < X )
= 0,975?
7
X =
χ2
= 16,01
0,975; 7
χ2 < X )
4) ¿ Cuál es el valor de X que cumple P (
= 0,995?
15
X =
χ2
= 32,80
0,995;15
5) Halla a)
P(
χ2
> 0,58 )
b) P ( 2,18 < χ2 < 21.95 )
0,975; 7
P(
χ2
3
> 0,58 ) = 1– P (
8
χ2
3
< 0,58 ) = 1 – 0,10 = 0,90
P ( 2,18 < χ2 < 21.95 ) =P ( χ2 < 21.95 ) - P(χ2 < 2.18 ) =
8
8
8
= 0,995 – 0,025 = 0,97
6) Por interpolación lineal, halla
P ( χ2 < 1,90 )
6
Sustituyendo X = 1,90 en la expresión
Y = ( X – X1) * ( Y2 – Y1) +
( X2 – X1)
Y1
Buscamos en la tabla de chi-cuadrado los valores más próximos a X = 1,90 en la fila de
grados de libertad igual a 6, y encontramos que 1,64 < 1,90 < 2,20
Tenemos asi:
χ2
P(
< 1,64 ) = 0,05
(1,64 ; 0,05 )
< 2,20 ) = 0,10
(2,20 ; 0,10 )
6
χ2
P(
6
Sustituimos en la ecuación Y = ( X – 1,64 ) * (0,10 – 0,05) + 0,05
( 2,20 – 1,64 )
Y = ( X – 1,64 ) * 0,05
0,56
Para X = 1,90 Por lo tanto
+ 0,05
Y = ( 1,90 – 1,64 ) * 0,05
0,56
+ 0,05 =
0,073
P ( χ2 < 1,90 ) = 0,073
6
7) En una investigación sociológica se efectúa una determinada pregunta a
5000 personas, respondiendo todas ellas ¨si¨ o ¨no¨. De estas respuestas,
2449 son afirmativas y 2551 negativas. ¿Puede afirmarse, al nivel de
significación del 5 % que la población se halla igualmente repartida en
orden a su opinión sobre la pregunta formulada?
Análisis
Decir que la población se halla igualmente repartida en cuanto a su opinión
es equivalente a establecer la hipótesis de que la proporción de respuestas
afirmativas es igual a la proporción de respuesta negativas.
Ho: la población se halla igualmente repartida en orden a la pregunta
formulada.
H1: la población no se halla igualmente repartida …..
La frecuencia teórica establecida para la población según Ho es entonces
mitad / mitad: es decir respuesta afirmativa: 2500, y respuesta negativa
2500.
Establecemos la tabla de contingencia:
TIPO DE
RESPUESTA
FRECUENCIAS FRECUENCIAS
OBSERVADAS ESPERADAS
foi
fei
2449
2500
2551
2500
AFIRMATIVAS
NEGATIVAS
∑
5000
foi - fei
51
51
( foi - fei )
2601
2601
5000
2
5202
La fórmula que dá el estadístico de prueba (de la muestra) es el siguiente:
χ2 = ∑
(observado – esperado )
2
= 2601 + 2601 = 2,0808
2500
Esperado
2500
Que debe ser comparado con el estimador (estadístico teórico aproximado de la
población ) dado en una tabla
χ2
=
χ2
(1-α);(i – 1)*(j-1)
=
(1-0,05); (2-1)*( 2-1)
χ2
= 3.841
0,95: 1
Donde
α es el nivel de significación estadística )
K = (i – 1)*(j-1) K: grados de libertad de la distribución
i: número de filas, j: número de columnas
Criterio de decisión:
Se acepta Ho cuando
χ2 < χ2
(1-α);(i – 1)*(j-1)
estadístico < estimador :
En nuestro caso :
2,0808
se acepta Ho y se rechaza la hipótesis alternativa H1
=
χ2 < χ2
= 3,841
0,95: 1
La desviación de los valores de la encuesta es debida al azar, y por ello,
aceptamos la hipótesis de que la población se halla igualmente repartida en
orden a la pregunta formulada.
8) Al nivel de significación del 5 %, contrastar la hipótesis de que una
moneda está bien construida, sabiendo que los resultados obtenidos en
5000 lanzamientos fueron: ¨cara¨ 1820 veces, ¨cruz¨ 3180 veces.
Análisis
Al decir que la moneda está bien construida, quiere expresarse que los dos
sucesos, cara y cruz, son igualmente probables. Por ello, la frecuencia
esperada de cara y cruz en 5000 lanzamiento seria de 2500 y 2500
respectivamente.
Ho: las monedas están bien construidas, los dos sucesos son igualmente
probables.
H1: las monedas están defectuosas o no bien construidas.
Establecemos la tabla de contingencia:
RESULTADOS
FRECUENCIAS FRECUENCIAS
OBSERVADAS ESPERADAS
No.de
No.de
lanzamientos
lanzamientos
foi
fei
1820
2500
3180
2500
CARA
CRUZ
∑
5000
foi - fei
680
680
( foi - fei )
462400
462400
2
5000
La fórmula que dá el estadístico de prueba (de la muestra) es el siguiente:
χ2 = ∑
(observado – esperado )
Esperado
2
=
462400 + 462400 =
2500
2500
369,92
Que debe ser comparado con el estimador (estadístico teórico aproximado de la
población ) dado en una tabla
χ2
=
χ2
(1-α);(i – 1)*(j-1)
=
(1-0,05); (2-1)*( 2-1)
χ2
= 3.841
0,95: 1
Donde
α es el nivel de significación estadística )
K = (i – 1)*(j-1) K: grados de libertad de la distribución
i: número de filas, j: número de columnas
Criterio de decisión:
Se acepta Ho cuando
χ2 < χ2
(1-α);(i – 1)*(j-1)
estadístico < estimador :
En nuestro caso :
369,92
se acepta Ho y se rechaza la hipótesis alternativa H1
=
χ2 > χ2
= 3,841
0,95: 1
Al nivel de significación del 5 %, la desviación NO es debida sólo al azar,
y por ello, RECHAZAMOS la hipótesis de que la moneda estén bien
construida.
9) Con objeto de estudiar la demanda de un producto durante los cuatro
trimestres de un año se dispone de la siguiente información:
Trimestre:
1º.
2º.
3º.
4º
.
No. unidades
demandadas:
1000
950
1100
950
.
Establecer una hipótesis sobre el carácter de la distribución de la demanda,
verificando la bondad de ajuste (para comprobar si los datos se ajustan a
una distribución concreta) al nivel de significación del 1 %.
Análisis
El análisis de la información que proporciona la distribución uniforme de la
demanda, esto es que la misma (la demanda) se distribuye por igual a lo
largo de los cuatro trimestres, por lo que la frecuencia de demanda esperada
o teórica para cada trimestre es de 4000/4 = 1000 unidades c/ trimestre.
Ho: la demanda se distribuye uniformemente a lo largo de los 4 trimestres.
H1: la demanda no se distribuye uniformemente.
Establecemos la tabla de contingencia:
TRIMESTRE
1º
2º
3º
4º
FRECUENCIAS FRECUENCIAS
OBSERVADAS ESPERADAS
Unidades
Unidades
demandadas
demandadas
foi
fei
1000
1000
950
1000
1100
1000
950
1000
∑
4000
foi - fei
0
50
100
50
( foi - fei )
0
2500
10000
2500
2
4000
La fórmula que dá el estadístico de prueba (de la muestra) es el siguiente:
χ2 = ∑
χ2 =
0 .
1000
(observado – esperado )
Esperado
+
2500
1000
+
2
=
10000
1000
+
2500 =
1000
15000 =
1000
Que debe ser comparado con el estimador (estadístico teórico aproximado de la
población ) dado en una tabla
χ2
=
χ2
=
χ2
(1-α);(i – 1)*(j-1)
(1-0,01); (4-1)*( 2-1)
0,99: 3
Donde
α es el nivel de significación estadística )
K = (i – 1)*(j-1) K: grados de libertad de la distribución
i: número de filas = 4, j: número de columnas = 2
Criterio de decisión:
Se acepta Ho cuando
χ2 < χ2
(1-α);(i – 1)*(j-1)
= 11,34
15
estadístico < estimador :
se acepta Ho y se rechaza la hipótesis alternativa H1
15
En nuestro caso :
=
χ2 > χ2
= 11,34
0,99: 3
Al nivel de significación del 1 %, la desviación obtenida entre lo que
establece la hipótesis y la información obtenida NO es debida sólo al azar,
y por ello, RECHAZAMOS la hipótesis de que la demanda se distribuya
por igual a lo largo de los cuatro trimestres.
10) Para conseguir determinada calificación profesional, 100 personas se
someten a dos tipos de tests independientes entre si; el resultado de cada
test puede ser favorable (F) o desfavorable (D) para cada individuo. A la
vista de los resultados que figuran en la tabla, los calificadores determinan
3 grupos, resultando indiferente, a efectos de la inclusión en el segundo, el
test donde se obtuvo la calificación favorable. Contrastar, al nivel de
significación del 5 %, la hipótesis de que la proporción teórica de
individuos calificados con F o con D en cada tests es la que se señala.
Grupo/Calificación:
No. De individuos
Proporciones teóricas:
1º. F.F.
30
¼
2º.F.D.
40
½
3º.D.D.
30
¼
.
.
.
Análisis
Ho: la proporción teórica es de ¼, ½, ¼ para cada grupo respectivamente.
H1: la proporción teórica es distinta a ¼, ½, ¼ respectivamente.
Establecemos la tabla de contingencia:
GRUPOS
FRECUENCIAS
OBSERVADAS
No. de
individuos
FRECUENCIAS
ESPERADAS
No.de individuos
según proporcion.
foi
30
40
30
fei
25 (1/4 de 100)
50 (1/2 de 100)
25 (1/4 de 100)
100
100
1º
2º
3º
∑
foi fei
5
10
5
( foi - fei )
25
100
25
2
La fórmula que dá el estadístico de prueba (de la muestra) es el siguiente:
χ2 = ∑
χ2 =
(observado – esperado )
Esperado
25 .
25
+
100
50
+
2
=
25
25
=
4,0
Que debe ser comparado con el estimador (estadístico teórico aproximado de la
población ) dado en una tabla
χ2
(1-α);(i – 1)*(j-1)
=
χ2
(1-0,05); (3-1)*( 2-1)
=
χ2
0,95: 2
= 5,991
Donde
α es el nivel de significación estadística )
K = (i – 1)*(j-1) K: grados de libertad de la distribución
i: número de filas = 3, j: número de columnas = 2
Criterio de decisión:
Se acepta Ho cuando
χ2 < χ2
(1-α);(i – 1)*(j-1)
estadístico < estimador :
En nuestro caso :
4.0
se acepta Ho y se rechaza la hipótesis alternativa H1
=
χ2 < χ2
= 5,99
0,95: 2
Al nivel de significación del 5 %, la desviación obtenida entre lo que
establece la hipótesis y la información obtenida no es significativa. Dicha
desviación es debida sólo al azar, y por ello, aceptaremos la hipótesis de
que la proporción de los tres grupos es ¼, ½, ¼, respectivamente.
11) Méndel tenía arvejas con dos tipos de tegumento, rugoso y liso y,
según su hipótesis, en cruzamientos realizados entre ciertos tipos de
plantas, el esperaba que aparecieran en la descendencia de dichos
cruzamientos, arvejas de tegumento liso y rugoso en la proporción 3:1.
Supongamos que en un experimento en el cual se obtiene una
descendencia compuesta por 400 semillas, un genetista encuentra 285
semillas de tegumento liso y 115, de tegumento rugoso. ¿Sería razonable,
con α = 0.05, pensar que esa proporción observada no está demasiado
alejada de la proporción 3:1 dictada por la ley de Méndel?
Análisis
Según hipótesis de Méndel la frecuencia esperada o teórica de los dos
tipos de tegumentos era 3:1, es decir, 3 semillas de tegumento liso por
cada semilla de tegumento rugoso. Calculando dicha proporción para las
400 semillas serán: ¾ *400 = 300 (teg. liso), y ¼ * 400 = 100 (teg. rug.).
Se trata de comprobar si los datos se ajustan a una distribución concreta,
por lo cual utilizamos el método de Test o prueba de bondad de ajuste o
significancia).
Hipótesis. H0: la proporción es 3:1;
H1: la proporción no es 3:1.
Nivel de significación. α = 0.05.
Establecemos una tabla :
TEGUMENTOS FRECUENCIAS FRECUENCIAS
ESPERADAS
OBSERVADAS No. de semillas
No.de semillas
según
obtenidas
proporción
LISO
RUGOSO
∑
foi
285
115
fei
300 (3/4 de 400)
100 (1/4 de 100)
400
400
foi - fei
15
15
( foi - fei )
225
225
2
La fórmula que dá el estadístico de prueba (de la muestra) es el siguiente:
χ2 = ∑
χ2 =
(observado – esperado )
Esperado
225 .
300
+
225
100
2
=
3.00
= 0,75 + 2,25 =
Que debe ser comparado con el estimador (estadístico teórico ) dado en una tabla
χ2
=
χ2
(1-α);(i – 1)*(j-1)
=
χ2
(1-0,05); (2-1)*( 2-1)
= 3,84
0,95: 1
Donde
α es el nivel de significación estadística )
K = (i – 1)*(j-1) K: grados de libertad de la distribución
i: número de filas = 2, j: número de columnas = 2 (de datos en la tabla de
contingencia, no de cálculos)
Criterio de decisión:
Se acepta Ho cuando
χ2 < χ2
(1-α);(i – 1)*(j-1)
estadístico < estimador :
se acepta Ho y se rechaza la hipótesis alternativa H1
3,00
En nuestro caso :
=
χ2 < χ2
= 3.84
0,95: 1
Conclusión: Al nivel de significación del 5 %, la desviación obtenida
entre lo que establece la hipótesis de Méndel y la información obtenida
no es significativa. Dicha desviación es debida sólo al azar, y por ello,
aceptaremos la hipótesis de que la proporción entre los tegumentos lisos
y rugosos es 3:1 respectivamente.
12) En un estudio del mercado, se tiene como objetivo establecer si las
preferencias acerca del envase de dulce de leche son similares para
hombres y mujeres. Se ha hecho una encuesta a 200 personas y se han
obtenido los siguientes datos:
Envase lata plastico carton vidrio Total
varones 27
mujeres 12
30
29
19
26
24
33
100
100
39
59
45
57
200
Total
Establecer un contraste de hipótesis entre las preferencias de envase entre
hombres y mujeres con nivel de significación del 5%.
Análisis
Como podemos observar, se trata de una prueba de homogeneidad entre la
población hombres y mujeres. Según hipótesis podemos establecer que las
preferencias no difieren según el sexo por lo cual optamos que la
frecuencia esperada de preferencia para cada tipo de envase es del 50 %
del total para hombres y mujeres.
H0: las preferencias (%) acerca del envase de dulce de leche no difieren
entre hombres y mujeres
H1: las preferencias (%) acerca del envase de dulce de leche difieren entre
hombres y mujeres
Establecemos la tabla de contingencia:
FRECUENCIAS OBSERVADAS
No de PREFERENCIAS DE ENVASES
Envase
varones
mujeres
Total
lata
27
12
39
plastico
30
29
59
carton
19
26
45
vidrio
24
33
57
Total
100
100
200
FRECUENCIAS ESPERADAS O TEÓRICAS
No de PREFERENCIAS DE ENVASES IGUAL PROPORCIÓN
Envase
varones
mujeres
Total
lata
19,5
19,5
39
plastico
29,5
29,5
59
carton
22,5
22,5
45
vidrio
28,5
28,5
57
Total
100
100
200
La fórmula que dá el estadístico de prueba (de la muestra) es el siguiente:
χ2 = ∑
(observado – esperado )
Esperado
2
= lo calculamos paso a paso en la tabla siguiente
foi - fei
Envase
varones
mujeres
lata
7,5
-7,5
plastico
0,5
-0,5
carton
-3,5
3,5
( foi - fei )
Envase
varones
mujeres
lata
56,25
56,25
plastico
0,25
0,25
vidrio
-4,5
4,5
2
carton
12,25
12,25
vidrio
20,25
20,25
2
( foi - fei ) / fei
Envase
varones
mujeres
Total
lata
2,88
2,88
5,77
plastico
0,01
0,01
0,02
Finalmente, el estadístico
χ2 =
carton
0,54
0,54
1,09
vidrio
0,71
0,71
1,42
Total
4,15
4,15
8,30
8,30
Que debe ser comparado con el estimador (estadístico teórico ) dado en la tabla
χ2
χ2
χ2
=
(1-α);(i – 1)*(j-1)
=
χ2
(1-0,05); (2-1)*( 4-1)
= 7,81
0,95: 3
Donde
α es el nivel de significación estadística )
K = (i – 1)*(j-1) K: grados de libertad de la distribución
i: número de filas = 2, j: número de columnas = 4 (de datos en la tabla de
contingencia, no incluir la columna de cálculos)
Criterio de decisión:
Se acepta Ho cuando
χ2 < χ2
(1-α);(i – 1)*(j-1)
estadístico < estimador :
se acepta Ho y se rechaza la hipótesis alternativa H1
8,30
En nuestro caso :
=
χ2 > χ2
= 7,81
0,95: 3
Conclusión: se rechaza Ho, las preferencias acerca del envase de dulce de
leche difieren entre hombres y mujeres.
Ejercicios propuestos
(Debes tener la tabla de distribución Chi-cuadrada)
1) Una compañía de seguros registra los accidentes de automóvil, en una ciudad,
durante 100 dias, obteniendo la siguiente información:
Número de accidentes:
0
1
2
3 o más
Número de días:
40
34
16
10
Según el cálculo de distribución de probabilidad para los sucesos mencionados, las
frecuencias teóricas para cada uno de ellos son:
Número de días:
36.79 ; 36.79 ; 18.39 y 7.71 respectivamente.
Establecer una hipótesis acerca de la distribución de probabilidad que corresponda, y
contrastarla al nivel de significación del 5 %.
Resp.: (estadístico)
χ2
= 1,481
2) El nivel de ingresos anual de 100 familias consultadas de una población se
distribuye en la forma siguiente:
ENTRE
NIVEL DE INGRESOS
EN EUROS
ANUAL
4000
6000
6000
8000
8000
10000
10000
12000
12000
14000
NÚMERO
DE
FAMILIAS
10
25
25
20
20
Establecer una hipótesis sobre el modelo de distribución uniforme de los sueldos, esto
es que el número de familias por nivel de ingresos es la misma, y contrastarlo al nivel
de significación del 1 %.
Resp. (estadístico)
χ2
= 7,5
: Estimador: 13,28
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Biobliografía: Materiales del presente curso, Pagina web de consulta:
www.fisicanet.com.ar,
Libro ¨Problemas de Estadística¨, autor J.López de la Manzanara Barbero.