Tema 3: Series de Potencias. Series de Taylor. - amp-cal

Tema 3: Series de Potencias. Series de Taylor.
Ahora que sabemos estudiar la convergencia de series infinitas de números, es posible estudiar sumas que parecen “polinomios infinitos”. A estos polinomios se les llama series de potencias
porque están definidos como series infinitas de potencias de alguna variable (usualmente x).
Una serie de potencias alrededor del punto x=a es una serie de la forma:
+∞
X
cn (x − a)n = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a)2 + ... + cn (x − a)n + ...
n=0
en la que el centro a y los coeficientes c0 , c1 , c2 , ..., cn , ... con constantes.
Teorema 1 Radio de convergencia de una serie de potencias. Dada una serie de poten+∞
X
cias
cn (x − a)n , su convergencia viene dada por alguna de las siguientes tres posibilidades:
n=0
a) Existe R > 0 (radio de convergencia) tal que la serie converge absolutamente para los x
tales que |x − a| < R; diverge para los x tales que |x − a| > R y puede converger o no en
cualquiera de los extremos x = a − R, x = a + R.
b) La serie tiene convergencia absoluta para cualquier valor de x (se dice que tiene radio de
convergencia R = ∞).
c) La serie converge en x = a y diverge para cualquier otro valor de x (se dice que tiene
radio de convergencia R = 0).
El intervalo de radio R con centro x = a se denomina intervalo de convergencia. El intervalo
de convergencia puede ser abierto, cerrado o semiabierto, lo que depende de cada serie.
Cómo estudiar el intervalo de convergencia de una serie de potencias.
a) Utilizar el criterio de la razón o de la raı́z para determinar el intervalo donde la serie
converge absolutamente.
b) Si el intervalo de convergencia absoluta es acotado, probar la convergencia o divergencia
en cada punto extremo, utilizando criterios como el de comparación, integral o de la serie
alternada.
c) Si el intervalo de convergencia absoluta es a − R < x < a + R, la serie diverge para
|x − a| > R (ni siquiera converge condicionalmente).
+∞
X
x2 x3
xn
= x − + − ...
Ejemplo 1 Estudiar la convergencia de la serie de potencias
(−1)n−1
n
2
3
n=1
1
Aplicamos el criterio de la razón a la serie
+∞
X
|un |, donde un es el n-ésimo término de la
n=1
serie de potencias anterior:
un+1 xn+1 n n
un = n + 1 · x = n + 1 |x| −→ |x|
.
La serie converge absolutamente para |x| < 1 y diverge para |x| > 1. En x = 1 obtenemos
1 1 1
la serie armónica alternada 1 − + − + ..., que sabemos que es convergente. En x = −1
2 3 4
1 1 1
obtenemos la serie armónica cambiada de signo −1− − − +... y por lo tanto es divergente.
2 3 4
Por lo tanto, el intervalo de convergencia de la serie de potencias es (−1, 1].
+∞ n
X
x
x2 x3
Ejemplo 2 Estudiar la convergencia de la serie de potencias
=1+x+
+
+ ...
n!
2!
3!
n=0
un+1 xn+1
n!
|x|
un = (n + 1)! · xn = n + 1 −→ 0
.
La serie converge absolutamente para cualquier valor de x.
+∞
X
n!·xn = 1+x+2!·x2 +3!·x3 +...
Ejemplo 3 Estudiar la convergencia de la serie de potencias
n=0
un+1 (n + 1)! · xn+1 = (n + 1)|x| −→ ∞
un = n! · xn
para cualquier valor x 6= 0.
Por lo tanto la serie diverge para cualquier valor de x excepto para x = 0.
SERIES DE TAYLOR Y DE MCLAURIN.
En esta sección veremos cómo ciertas funciones infinitamente derivables generan las series
de potencias conocidas como series de Taylor. En muchos casos, tales series pueden brindar
útiles aproximaciones polinomiales de las funciones que las generaron.
Sea f (x) una funcion con derivadas de todos los órdenes en algún entorno de un punto
x = a. Entonces la serie de Taylor generada por f (x) en x=a es
+∞ (n)
X
f (a)
n=0
n!
(x − a)n = f (a) + f 0 (a)(x − a) +
f 00 (a)
f (n) (a)
(x − a)2 + ... +
(x − a)n + ...
2!
n!
La serie de Taylor generada por f (x) en el punto a = 0 se denomina serie de McLaurin.
Ejemplo 4 Hallar la serie de Taylor generada por f (x) = 1/x en a = 2. ¿Para qué valores de
x converge?
Calculamos las sucesivas derivadas hasta el orden n:
f (x) = x−1 ; f 0 (x) = −x−2 ; f 00 (x) = 2! · x−3 , ..., f (n) (x) = (−1)n n! · x−(n+1)
.
Por lo tanto:
1
f (2) = ;
2
f 0 (2) =
−1
;
22
1
f 00 (2)
= 3
2!
2
, ...,
(−1)n
f (n) (2)
= n+1
n!
2
.
Y la serie de Taylor de f (x) en a = 2 es:
n
1 x − 2 (x − 2)2
n (x − 2)
−
+
−
...
+
(−1)
+ ...
2
22
23
2n+1
Ésta es una serie alternada y la correspondiente serie de valores absolutos es una serie
(x − 2)
1
y cuya razón es r =
, que sabemos que converge para
geométrica en la que a =
2
2
|x − 2|
|r| =
< 1.
2
Por lo tanto la serie alternada converge absolutamente para |x − 2| < 2.
Sea f (x) una función con derivadas de orden k para k = 1, 2, ..., n en algún entorno de un
punto a. Entonces, el polinomio de Taylor de orden n generado por f (x) en x = a es:
Pn (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) +
f (k)(a)
f (n) (a)
f 00 (a)
(x − a)2 + ... +
(x − a)k + ... +
(x − a)n , ∀n ∈ N.
2!
k!
n!
Teorema 2 Fórmula de Taylor
Si f (x) tiene derivadas de todos los órdenes en un intervalo abierto I que contiene a x = a,
entonces ∀n ∈ N, ∀x ∈ R:
f (x) = Pn (x) + Rn (x)
donde Rn (x) =
f (n+1) (c)
(x − a)n+1 para algún c entre a y x.
(n + 1)!
Al término Rn (x) se le llama residuo de orden n o término de error para la aproximación
de f (x) por medio de Pn (x) en el intervalo I.
Si Rn (x) −→ 0 cuando n −→ +∞ para todo x ∈ I, se dice que la serie de Taylor generada
por f (x) en x = a converge a f (x) en I y escribimos
f (x) =
+∞ (n)
X
f (a)
n=0
n!
(x − a)n .
Ejemplo 5 Demostrar que la serie de McLaurin generada por f (x) = sen(x) converge a f (x),
∀x ∈ R.
La función y sus derivadas son:
f (x) = sen(x); f 0 (x) = cos(x); f 00 (x) = − sen(x); f 000 (x) = − cos(x); ...
...; f 2n (x) = (−1)n sen(x);
y por lo tanto f 2n (0) = 0 y f 2n+1 (x) = (−1)n .
f 2n+1 (x) = (−1)n cos(x)
La serie sólo tiene términos de potencia impar y para n = 2k + 1, la fórmula de Taylor nos
da:
sen(x) = x −
x3 x5
(−1)k x2k+1
+
− ... +
+ R2k+1 (x)
3!
5!
(2k + 1)!
f (2k+2) (c) 2k+2
x
para algún c entre 0 y x.
(2k + 2)!
Como todas las derivadas de f (x) = sen(x) tienen valores absolutos menores o iguales a 1,
tenemos que:
|x2k+2 |
|R2k+1 (x)| ≤ 1 ·
.
(2k + 2)!
|x2k+2 |
Como
−→ 0 cuando k −→ +∞ para cualquier valor de x, entonces R2k+2 (x) −→ 0
(2k + 2)!
y la serie de McLaurin para f (x) = sen(x) converge a sen(x) para todo x.
Por lo tanto:
donde R2k+1 (x) =
sen(x) = x −
x3 x5 x7
+
− ...
3!
5!
7!