En cada problema muestre todo el trabajo necesario

Universidad de Puerto Rico.
Recinto Universitario de Mayagüez
Departamento de Ciencias Matemáticas
Examen de Practica Unidad IV
Dr. Angel L. Cruz Delgado
Nombre______________________. Número de estudiante____________________
Fecha________________________ Valor 100 puntos
En cada problema muestre todo el trabajo necesario para llegar a su
respuesta. Soluciones presentadas sin trabajo podrían no recibir crédito.
Respuestas numéricas deben presentarse como expresiones matemáticas
exactas, no mediante una aproximación decimal. Use aproximaciones
decimales solo en casos en que las instrucciones del problema las pida.
Para los problemas 1 al 3 de esta sección, considere los vectores
a = 2i + k
b =i −2j+k
Encuentre
1)(4 puntos) 7a − 4b
2)(4 puntos ) a + b
3) (4 puntos) Un vector de largo 2 que tenga la dirección opuesta a b
4 a)(2 puntos) Encuentre la ecuación de una esfera que pasa por el punto (6, -2,3) y
tiene centro en (-1,2,1).
4 b)(2 puntos) Encuentre y describa verbalmente la curva de intersección de esta
esfera con el plano xz.
5 (6 puntos) Encuentre el centro y el radio de la esfera
x2 + y 2 + z 2 − 6 x − 2 y − 8z + 1 = 0
6. (2 puntos) El punto medio entre (-4,9,2) y (2,3,6) es _________________ (
7. (9 puntos)Considere los puntos A=(23,92,48) B= (-60,0,0) y C=(60,1,92).
a) ¿Cuál de estos tres puntos está mas cerca del origen? ___________
b) ¿Cuál de estos tres puntos está sobre el plano yz?____________
c) ¿Cuál de estos tres puntos está mas lejos del plano xy? _____________
8. (4 puntos) Encuentre la suma de la serie
1 − ln 3 +
( ln 3)
2
2!
−
( ln 3)
3!
3
+⋯
∞
∑
(6 Puntos ) S up onga que
cn (10) n
converge. Deter min e si cada serie converge o diverge
n =1
∞
∑
∑
cn ________________
n =1
∞
cn (−4)n ______________
n =1
9. (9 puntos) Determine el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de la
∞
serie la
∑
n =1
2 n ( x + 4) n
n
10. (9 puntos)Encuentre una representación como serie de potencias para la función
f ( x) =
x+3
. ¿Cuál es su radio de convergencia?
x+2
senx − x +
11.(9 puntos)Use series de potencias para evaluar lim
x →0
1 3
x
6
x5
12.(9 puntos)\Use series de potencias para evaluar la integral indefinida
∫
t
dt
1 − t8
13. (9 puntos) Use series de potencias para estimar el valor de
∫
1
2
e − x dx con una
0
precisión tal que el error en la aproximación sea menor a 0.001.
. (7 puntos) Construya el polinomio de Taylor de grado 3, T3 con centro en a = 1 que
3
2
se asocia con la función f ( x) = x .
(4 puntos)Use la desigualdad de Taylor para estimar la precisión de la aproximación
3
2
x ≈ T3 ( x) cuando 0.8 ≤ x ≤ 1.2
(2 puntos) Estime (1.1)
3
2