Procesos de Poisson

Procesos de Poisson
FaMAF
19 de marzo, 2015
Distribución exponencial
Definición
Una v.a. X con función de densidad dada por
fλ (x) = λ e−λx ,
x > 0,
para cierto λ > 0 se dice una v.a. exponencial con parámetro λ.
1
λ
I
E[X ] =
I
Var (X ) =
1
λ2
Propiedades
Z
I
I
I
t
exp(−λx) t
|0 = 1 − exp(−λt)
−λ
0
P(X > t) = 1 − [1 − exp(−λt)] = exp(−λt)
F (t) =
λ exp(−λx)dx = λ
Una variable aleatoria con distribución exponencial tiene falta de
memoria.
P(X > s + t | X > s) = P(X > t).
P(X > s + t | X > s) =
=
I
P(X > s + t)
P(X > s + t, X > s)
=
P(X > s)
P(X > s)
exp(−λt + s)
= exp(−λt) = P(X > t).
exp(−λs)
Si X ∼ E(λ), entonces c X ∼ E( 1c λ)
FcX (x) = P(cX ≤ x) = P(X ≤ x/c) = 1 − exp(−λx/c)
Variable aleatoria Gamma
Definición
Una variable aleatoria con función de densidad de probabilidad
f (t) = λe−λt
(λt)n−1
(n − 1)!
se dice una variable aleatoria gamma con parámetros (n, λ).
Proposición
La suma de n variables aleatorias exponenciales independientes,
cada una de ellas de parámetro λ, es una variable aleatoria Gamma
de parámetro (n, λ).
Variable aleatoria gamma (n, λ)
I
Γ(2, 2)
I
Γ(5, 2)
Γ(1, 2) ∼ E(2)
I
Procesos estocásticos
Definición
Un proceso estocástico es una sucesión de variables aleatorias
observadas sobre el mismo espacio muestral.
Ejemplo
Supongamos tener una pieza de material radioactivo, el experimento
consiste en observar cuantas partículas N(t) se desintegran en un
intervalo de tiempo [0, t], y el tiempo Sk que tarda en desintegrarse la
k esima partícula observada.
N y S son procesos estocasticos relacionados entre si.
Proceso de Poisson homogéneo
La colección de variables
N(t),
t ≥ 0,
es un proceso de Poisson homogéneo de razón λ, λ > 0, si:
I
Para cada t, N(t) es una variable aleatoria discreta que toma
valores enteros positivos.
I
N(0) = 0 proceso comienza en cero
I
incrementos independientes Para cada n ≥ 1 y cada partición
0 ≤ t0 < t1 < · · · < tn se tiene que N(t0 ), N(t1 ) − N(t0 ), . . . ,
N(tn ) − N(tn−1 ) son variables aleatorias independientes.
I
incrementos estacionarios Para cada t ≥ 0, s > 0, se cumple
que la distribución de N(t + s) − N(t) es igual a la de N(s).
P(N(h) = 1)
limh→0
= λ,
h
P(N(h) ≥ 2)
limh→0
= 0.
h
I
I
Incrementos independientes
N(tn ) − N(tn−1 )
N(t1 )
0
1
0
t1
1
0
11
00
t2 t3
11
00
tn−1
1
0
tn
I
N(t1 ): nro. de llegadas hasta t = t1 .
I
N(tn ) − N(tn−1 ): nro. de llegadas entre tn−1 y tn .
I
En dos intervalos de tiempo disjuntos, las variables ”número de
llegadas” son independientes.
Incrementos estacionarios
N(s)
0
N(t + s) − N(t)
1
0
s
11
00
t
1
0
t +s
La distribución del número de llegadas depende sólo de la longitud
del intervalo.
N(s) ∼ N(t + s) − N(t),
s < t.
Ocurrencia de 1 o más eventos
I
La probabilidad de que ocurra un evento en un intervalo de
tiempo pequeño es proporcional al tamaño del intervalo por la
tasa λ.
P(N(h) = 1)
= λ,
lim
h→0
h
I
La probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos en un
intervalo muy pequeño es cero.
P(N(h) ≥ 2)
= 0.
h→0
h
lim
Consecuencias
Proposición
Supongamos que N(t) es el número de llegadas en el intervalo de
tiempo [0, t], que forma un proceso de Poisson de tasa λ. Entonces,
la distribución de cada N(t) es Poisson de tasa λt
La variable aleatoria N(t)
n intervalos
0
1
0
0
1
0
1
01
1
0
1
00000
1
0
1
00000000
11111111
01
1
0
011111
1
0
0
t
n
2t
n
1
0
0
01
1
0
1
01
1
0
t
I
Para probarlo, dividamos el intervalo en n pedazos, cada uno de
largo nt .
I
En cada sub-intervalo, el número de llegadas es una v.a.
Bernoulli, con p = λ nt
I
El número total de llamadas en [0, t] es el número de
sub-intervalos que contienen una llegada.
I
La independencia de los sub-intervalos implica que el número
total de llegadas N(t) es binomial de parámetro p = λ nt .
La variable aleatoria N(t)
I
Cuando n tiende a infinito, tenemos
k n−k
n
λt
λt
pN(t) (k ) ∼ lim
1−
n→∞ k
n
n
n(n − 1) . . . (n − k + 1)
= lim
n→∞
k!
(λt)k
= lim
n→∞ k !
λt
1−
n
n
λt
n
k n−k
λt
1−
n
n(n − 1) . . . (n − k + 1)
nk
λt
1−
n
−k
n −k (λt)k
λt
λt
1
2
k −1
=
lim 1 −
1−
1−
1−
... 1 −
k ! n→∞
n
n
n
n
n
Poisson
I
Observando que
lim
n→∞
1−
λt
n
n
= e−λt
y que los otros términos a la derecha del límite tienen límite 1, se
obtiene
(λt)k −λt
e
pN(t) (k ) =
k!
donde λt, esa constante que supusimos existe, es la tasa de
llegadas en el intervalo [0, t].
I
N(t) es una variable con distribución Poisson de tasa λt.
Tiempos entre llegadas
S1
X1
1
0
S2 S3
X2
1
0
11
00
X3
Sn−1
Sn
11 Xn 0
00
1
I
Sn : tiempo hasta el evento n-esimo.
I
X1 : tiempo transcurrido hasta el primer evento.
I
Xj = Sj − Sj−1 : tiempo transcurrido entre el (j − 1)-ésimo evento
y el j-ésimo, para j > 1.
{Xj } es la sucesión de tiempos entre llegadas
{Sk } es la suma de los k tiempos entre llegadas, Sk =
Pk
j=1
Xj
Distribución de los tiempos entre llegadas
Proposición
Las variables aleatorias X1 , X2 , . . . , son v.a. independientes,
igualmente distribuidas, con distribución exponencial con parámetro
λ.
Xi ∼ E(λ),
i = 1, 2, . . . .
Tiempo entre llegadas
Para probar esto observemos que
I
P(X1 > t) = P(N(t) = 0) = e−λt por lo cual X1 es una variable
aleatoria exponencial de parámetro λ.
I
P(X2 > t | X1 = s)
= P(0 eventos en (s, s + t] | X1 = s)
= P(0 eventos en (s, s + t])
= e−λ t
Por lo cual X2 ∼ E(λ), y es independiente de X1 .
Tiempo entre llegadas
Sea s = s1 + · · · + sj−1 el tiempo hasta el evento j − 1.
P(Xj > t | X1 = s1 , . . . , Xj−1 = sj−1 ) =
= P(0 eventos en (s, s + t] | X1 = s1 , . . . , Xj−1 = sj−1 )
= P(0 eventos en (s, s + t]) (incrementos independientes)
= e−λt (incrementos estacionarios)
por lo cual la distribución de las Xj es exponencial, independiente de
todas las anteriores.
Sn tiempo hasta el n-esimo evento
Proposición
El tiempo hasta el n-esimo evento tiene densidad Gamma de
parámetros (n, λ).
(λt)n−1
fn (t) = λe−λt
(n − 1)!
Esto ocurre pues la variable Sn =
n
X
Xj es una suma de
j=1
exponenciales independientes.
Proposición
Dado N(t) = n; el conjunto de S1 , . . . , Sn tiene la misma distribucion
conjunta que los estadisticos de orden de n v.a. independientes,
cada una con distribucion uniforme en el [0, t].
Conclusion
N es un proceso de Poisson con tasa λ entonces para cada t,
1. N(t), el número de eventos registrados, es una variable Poisson
con tasa λt,
2. Xn el tiempo entre el registro del n-esima evento y el anterior, es
exponencial de tasa λ
3. Sn el tiempo hasta el registro del n-esimo evento es Gamma de
parámetros (n, λ).
4. Dado N(t) = n; el conjunto de S1 , . . . , Sn tiene la misma
distribucion conjunta que los estadisticos de orden de n v.a.
independientes, cada una con distribucion uniforme en el [0, t].
Ejemplo
Ejemplo
Los clientes llegan a una tienda de acuerdo con un proceso de
Poisson de tasa λ = 4 por hora. Si la tienda abre a las 9hs. ¿Cual es
la probabilidad de que un cliente haya entrado antes de la 9:30 y que
un total de seis hayan entrado antes de las 11:30?
Medimos el tiempo t en horas a partir de las 9 am. Queremos hallar
P((N(1/2) = 1) ∩ (N(5/2) = 6)).
P((N(1/2) = 1)∩(N(5/2) = 6)) = P(N(1/2) = 1, N(5/2)−N(1/2) = 5)
= P(N(1/2) = 1).P(N(5/2) − N(1/2) = 5) independencia
= P(N(1/2) = 1).P(N(2) = 5) estacionaridad
= exp(−4/2)(4/2).
exp(−4.2)(4.2)5
5!
El proceso de Poisson no homogéneo
La colección de variables aleatorias
N(t),
t ≥0
es un proceso de Poisson no homogéneo con función de intensidad
λ(t), t ≥ 0, si:
1. N(0) = 0
2. para cada n ≥ 1 y cada partición 0 ≤ t0 < t1 < · · · < tn se tiene
que N(t0 ), N(t1 ) − N(t0 ), . . . , N(tn ) − N(tn−1 ) son variables
aleatorias independientes.
P(exactamente 1 evento entre t y t + h)
=
3. limh→0
h
P([N(t + h) − N(t)] = 1)
limh→0
= λ(t),
h
P(dos o mas eventos entre t y t + h)
4. limh→0
=
h
P([N(t + h) − N(t)] ≥ 2)
limh→0
= 0.
h
Valor medio del proceso
Z
m(t) =
t
λ(s) ds
0
I
Si λ(t) = λ, constante, entonces m(t) = λ · t.
Número de eventos en (t, t + s]
Proposición
Para cada t ≥ 0 y s > 0 se tiene que N(t + s) − N(t) es una variable
aleatoria Poisson con media
Z t+s
m(t + s) − m(t) =
λ(x) dx.
t
Corolario
Si λ(t) = λ (es constante), N(t + s) − N(t) es una variable aleatoria
Poisson con media λt.
Poisson homogéneo y Poisson no homogéneo
I
Supongamos que observamos eventos del tipo A, y que
ocasionalmente son marcados como evento del tipo AB.
I
Independientemente de lo que ocurrió antes, un evento A se
marca como AB con probabilidad p(t).
I
N(t)= número de eventos del tipo A en [0, t]
I
A(t)= número de eventos marcados AB en [0, t].
Proposición
Si (N(t))t≥0 es un proceso de Poisson homogéneo con razón λ > 0,
entonces (A(t))t≥0 es un proceso de Poisson no homogéneo con
función de intensidad λ(t) = λ · p(t), ∀t > 0.
Poisson homogéneo y Poisson no homogéneo
I
El proceso A(t) cumple con las condiciones de comenzar en el
cero, tener incrementos independientes y probabilidad nula de
observar instantáneamente mas de un evento.
I
Para ver la tasa instantánea de observar un evento
P(solo un evento AB en [t, t+h]) = P(un evento y es de tipo AB)+
+P(dos o mas eventos y solo uno es de tipo AB)
∼ P(un evento AB en [t, t+h]|un evento A en [t, t+h]).P(evento A)
= p(t).λh