Radiactividad - Facultad de Ingeniería

Radiactividad
Medicina Nuclear (1993)
Radioterapia y Radiodiagnóstico (2008)
Facultad de Ingeniería, UNER
1.
Ley de decaimiento
En la naturaleza hay isótopos inestables y metaestables que pueden emitir espontáneamente
partículas o fotones modificando la naturaleza o el estado de los núcleos. Este proceso de emisión
se llama desintegración radiactiva y el fenómeno, radiactividad.
La desintegración radiactiva responde a leyes estadísticas (no se trata de un fenómeno determinista puesto que no se puede predecir con exactitud en qué momento se va a producir una
desintegración) y es independiente de las condiciones externas al isótopo radiactivo.
En una muestra de radioisótopo se producirán desintegraciones radiactivas según una tasa característica. Se define la constante de desintegración λ (lambda), como la probabilidad de
que un núcleo se desintegre en la unidad de tiempo. Se expresa con unidades de segundos−1 ,
minutos−1 , etc. La constante λ identifica unívocamente a cada radionucleido.
En una muestra de material con N0 núcleos radiactivos en el instante t0 , se producirán desintegraciones de modo que en un instante posterior t, la cantidad de núcleos sin decaer estará dada
por la expresión:
N (t) = N0 · eλ·(t−t0 )
(1)
Esta expresión se conoce como Ley General de la Desintegración Radiactiva. Permite conocer el número de núcleos radiactivos de una muestra presentes en el instante t, conociendo cuántos había en algún instante to. Su forma sigue la Ley de Poisson para eventos estocásticos.
El período es una magnitud asociada a la tasa de desintegración de una sustancia radiactiva.
También es llamada indistintamente semiperíodo de desintegración o período de semidesintegración. El período T 1 es el tiempo que debe transcurrir para que el número de núcleos inestables
2
en una muestra se reduzca a la mitad de su valor inicial:
N (T 1 ) =
2
N0
2
(2)
Si se reemplaza (2) en (1) se tiene la relación entre T 1 y λ:
2
T1 =
2
ln 2
λ
(3)
El período se mide en unidades de tiempo. Su valor puede encontrarse dentro de un amplio
rango, puesto que varía desde 10−10 seg hasta 1015 años (dependiendo del radioisótopo).
1
En una muestra con material radiactivo se desintegran dN núcleos en el tiempo dt. El número
de núcleos que se desintegran en la unidad de tiempo es dN
dt . Esta tasa de desintegración se
denomina actividad:
dN
(4)
A=
dt
A partir de la expresión anterior es posible expresar la actividad en función del tiempo:
A = A0 · e−λ·(t−t0 )
La actividad sigue también una ley exponencial. Se expresa en Becquerel (Bq =
(1 Ci = 3, 7 · 1010 Bq).
(5)
dec
seg )
o en Curie
Se denomina vida media (τ ), al tiempo promedio en el que se desintegra cada núcleo de una
muestra radiactiva, a partir de un instante t0 = 0. Puede demostrarse que la vida media es el
inverso de la constante de desintegración: τ1 (ver problema 2).
La actividad específica de una muestra de sustancia radiactiva es la actividad de dicha muestra
por unidad de masa:
A
(6)
Ae =
m
2.
Transformaciones radiactivas sucesivas
En la práctica habitual de radiodiagnóstico es deseable que los radioisótopos utilizados tengan
semiperíodo (T 1 ) corto (horas) para que la práctica sea ambulatoria y el paciente no permanezca
2
emitiendo radiación al finalizar el estudio. Esto implica el transporte de mayores dosis a grandes
distancias. Una opción es utilizar radioisótopos de decaimiento sucesivo en generadores por
elusión (estudiaremos el caso particular de radioisótopos madre con período mayor al del radioisótopo hija). En estos generadores se deposita una cantidad de radioisótopo que decae a su
vez en otro radioisótopo también inestable, que es el que se utiliza finalmente para realizar los
estudios. En la actualidad, el más utilizado es el generador de Molibdeno – Tecnecio.
En muchos casos, al desintegrarse una sustancia radiactiva la especie nuclear que se produce es
también radiactiva. Se llama sustancia madre a la primera, sustancia hija a la segunda. A su
vez, la hija también puede generar una sustancia radiactiva, y así sucesivamente, formándose
una cadena:
Tn−2
Tn−1
T1
T2
T3
X1 −→
X2 −→
X3 −→
. . . −−−→ Xn−1 −−−→ Xn
(7)
En la cadena representada, la madre tiene un período T1 y la hija un período T2 , con T1 > T2 .
La cadena finaliza cuando se origina un nucleido estable, Xn . La situación de la madre es de
desintegración simple, por lo que verifica la ley de desintegración radiactiva, lo que se puede
expresar como:
dN1
= −λ1 · N1 , de donde se obtiene N1 (t) = N1,0 · e−λ1 t
(8)
dt
Para X2 la evolución es más compleja. Por una parte, cada vez que se desintegra un núcleo de X1 ,
aparece un núcleo de X2 , es decir que X2 aumenta a la misma tasa que se desintegra X1 (λ1 · N1 ).
Por otra parte, X2 es radiactiva y se desintegra con un ritmo dado por su propia constante de
desintegración (−λ2 · N2 ). Por lo tanto, la tasa de generación de la sustancia hija será el balance
entre lo que se crea y lo que se desintegra:
dN2
= λ1 · N1 − λ2 · N2
dt
2
(9)
Figura 1: Generador de Tecnecio
El sistema de ecuaciones diferenciales resultantes queda así:
dN1
N1 (0) = N1,0
dt = −λ1 · N1
dN2
N2 (0) = 0
dt = +λ1 · N1 − λ2 · N2
Resolviendo el sistema se obtiene:
N1 (t) = N1,0 · e−λ1 t
λ1
N2 (t) =
· N1,0 · e−λ1 t − e−λ2 t
λ2 − λ1
(10)
(11)
La actividad se halla derivando ambas ecuaciones:
A1 (t) = −N1,0 λ1 e−λ1 t
λ1
A2 (t) =
· N1,0 · −λ1 e−λ1 t + λ2 e−λ2 t
λ2 − λ1
(12)
(13)
Se puede ver la evolución del número de nucleos de Mo-99 y Tc-99m en un generador de elusión,
a partir de contar unicamente con 1000 nucleos de Mo-99 en la figura 2.
3
Figura 2: Evolución temporal (entre 0 y 300 horas) del número de nucleos de Mo-99 y Tc99m.
Inicialmente se tienen sólo 1000 núcleos de molibdeno.
3.
Problemas
Los datos correspondientes a los radioisotopos utilizados en los siguientes problemas pueden
consultarse en el apéndice C del libro Cherry SR, Sorenson JA, Phelps ME. Physics Of
Nuclear Medicine, 4th Ed. Saunders, 2012.
1. Se obtienen las siguientes medidas de actividad (suponga la eficiencia del detector 100 %):
Tiempo (hs)
Actividad (cpm) ·106
4
854
8
709
15
515
22
365
30
270
¿Cuál es el período de semidesintegración (T 1 ), la vida media (τ ) y la constante de desinte2
gración (λ)?
¿Cuál es la actividad extrapolada a tiempo cero (en cpm, Ci, Bq)?
¿En cuánto tiempo la actividad decaerá a 5 · 104 Bq?
2. Se tiene una muestra de
presente en la muestra?
11 C
con una actividad de 1,5 · 106 Bq. ¿Cuál es la masa de
11 C
3. Calcule la cantidad de fotones y partículas beta que son emitidas por una fuente de 60 Co en
un lapso de 30 minutos.
4. Una muestra de 32 P se deja caer antes de desecharla. Si inicialmente tiene 5 µCi, responda:
¿En cuánto tiempo decae al 1 %?
¿Cuántas partículas fueron emitidas en ese lapso?
¿Qué velocidad/es tuvieron al emitirse?
4. Una aguja de 60 Co de 60mCi se va a utilizar para un implante intersticial en un tumor.
¿Qué frecuencia de conteo en cpm indicará un contador que se mantenga cerca de la aguja,
si debido a la geometría sólo detecta el 15 % de las partículas emitidas?
4
5. En un servicio de Medicina Nuclear se recibió un generador por elusión de 99m T c con una
actividad de 99 M o de 150 mCi el día martes a las 8:00 hs. El día jueves a las 10:00 hs, se
extrae todo el tecnecio para realizar los estudios ¿Cuál será la actividad de 99m T c que podrá
obtenerse del generador a las 13:00 hs del mismo día?
6. Un núcleo de 137 Cs emite una partícula β de 200 KeV.
Calcule su velocidad y su energía en reposo.
¿A que velocidad se desplazaría una partícula α de la misma energía?
¿Cuál es el núcleo hijo? ¿Cuál es la probabilidad de que sea estable?
8. El 60 Co produce dos fotones por cada desintegración. ¿Cuántos fotones emite por minuto
una fuente de 10 Ci?
9. En la figura 2 se parte de 1000 nucleos de 99 M o. ¿Cual es el isotopo más abundante al cabo
de 300 horas? ¿Que cantidad de núcleos de ese isótopo hay presente en la muestra?
10. De la tabla de decaimiento para el 51 Cr detalle:
Cuáles de sus emisiones son fotones y cuáles son partículas.
El núcleo que emite el fotón de 320.1 KeV: ¿qué elemento químico es?
Describa la secuencia de fenómenos que llevan a la emisión de electrones Auger tras el
decaimiento del núcleo de 51 Cr.
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