Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Septiembre 2006 EJERCICIO A PROBLEMA 2. Una destilería produce dos tipos de whisky blend mezclando sólo dos maltas destiladas distintas, A y B. El primero tiene un 70% de malta A y se vende a 12€/litro, mientras que el segundo tiene un 50% de dicha malta y se vende a 16 €/litro. La disponibilidad de las maltas A y B son 132 y 90 litros, respectivamente. ¿Cuántos litros de cada whisky debe producir la destilería para maximizar sus ingresos, sabiendo que la demanda del segundo whisky nunca supera a la del primero en más del 80%? ¿Cuáles serían en este caso los ingresos de la destilería? Solución: Utilizamos las incógnitas: x = litros del whisky del tipo 1 y = litros del whisky del tipo 2 De los datos del problema podemos sacar la siguiente tabla: Malta A B Venta Tipo 1 70% 30% 12 €/l Tipo 2 50% 5% 16 €/l restricciones 132 l 90 l Los ingresos serían: 12 x + 16 y Las restricciones son: por la malta A: por la malta B: la demanda del 2º whisky no supera a la del 1º en más de 80%: 0´7 x + 0´5 y ≤ 132 0´3 x + 0´5 y ≤ 90 y ≤ 1´8 x El problema a resolver es: maximizar z = 12 x + 16 y 0´7 x + 0´5 y ≤ 132 0´3 x + 0´5 y ≤ 90 s.a. y ≤ 1´8 x x, y ≥ 0 Cálculos para representar las restricciones 0´7 x + 0´5 y ≤ 132 0´7 x + 0´5 y = 132 x y 0 264 1320 0 7 ¿(0,0) cumple ? 0´7 . 0 + 0´5 . 0 ≤ 132 sí 0´3 x + 0´5 y ≤ 90 0´3 x + 0´5 y = 90 x y 0 180 300 0 y ≤ 1´8 x y = 1´8 x x y 0 0 100 180 ¿(0,0) cumple ? 0´3 . 0 + 0´5 . 0 ≤ 90 sí ¿(100,0) cumple ? 0 ≤ 1´8 . 100 sí Debemos calcular los siguientes puntos de corte, 0´3 x + 0´5 y = 90 y = 1´8 x 0´3 x + 0´5 . 1´8 x = 90 → 0´3 x + 0´9 x = 90 → 1´2 x = 90 → → y = 1´8 . 75 = 135 → (75 , 135) 0´7 x + 0´5 y = 132 0´3 x + 0´5 y = 90 1ª − 2 ª ; 0´4 x = 42 → x= 42 = 105 0´4 sustituyendo en la 2 ª , 0´3 . 105 + 0´5 y = 90 31´5 + 0´5 y = 90 0´5 y = 58´5 y= 58´5 = 117 → 0´5 (105 , 117 ) La región factible está limitada por los puntos 1320 (0 , 0), (75 , 135), (105 , 117) y , 0 7 x= 90 = 75 1´2 Sabemos que la función que queremos maximizar alcanzará su máximo en los extremos de la región factible. ( x, y ) (0,0) (75,135) (105,117 ) 1320 ,0 7 z = 12 x + 16 y 12 . 0 + 16 . 0 = 0 12 . 75 + 16 . 135 = 3060 máximo 12 . 105 + 16 . 117 = 3132 1320 12 . + 16 . 0 = 2262´86 7 El máximo se alcanza en el punto (105,117). Por lo que para maximizar sus ingresos la destilería debe producir 105 l del whisky del primer tipo y 117 l del segundo tipo. Con esta producción los ingresos serían de 3132 €.