Línea de Influencia

LÍNEAS DE INFLUENCIA
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Introducción
El concepto de la lı́nea de influencia es útil para establecer las condiciones más desfavorables de
solicitación en estructuras que presentan un comportamiento lineal y soportan cargas móviles, por
ejemplo puentes.
Una carga móvil produce distintos efectos como ser: reacciones, esfuerzos internos (Mf , Mt , N, Q),
desplazamientos, etc.
El efecto considerado en cada caso se designa ”Incógnita” X. En el caso lineal es suficiente determinar
el valor de i (x) de la misma para una carga unitaria 1 (x) actuando en la posición genérica definida
por la coordenada x.
El valor de la incógnita producida por una carga móvil P actuando en x es:
X(x) = P i(x)
(1)
Donde:
X(x) : valor de la incógnita X producido por la carga P acutuando en x.
i(x) : coeficiente de influencia que depende de la coordenada x.
Se denomina lı́nea de influencia de una incógnita X al diagrama cuyas ordenadas η (x) en una cierta
escala repesentan al coeficiente de influencia definido en (1). La lı́nea de influencia es una representación
gráfica de la ”influencia” variable i (x) según la posición de la carga P.
En el curso de Estática se estudian las lı́neas de influencia para reacciones y esfuerzos internos en
estructuras isostáticas. Aplicando el pricipio de Trabajos Virtuales se puede demostrar que el diagrama
de desplazamientos verticales es igual a la lı́nea de influencia en una cierta escala.
En el presente capı́tulo se extiende el concepto de lı́neas de influencia al caso de estructuras deformables, en general hiperestáticas. Se comienza determinando las lı́neas de influencia de desplazamientos
y giros, y se continúa con las lı́neas de influencia de esfuerzos internos y reacciones en sistemas hiperestáticos.
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Teorema de Reciprocidad para sólidos linealmente elásticos
El Teorema de Reciprocidad, que es sumamente útil desde el punto de vista conceptual y práctico,
surge como corolario del principio de Trabajos Virtuales (T.V.) aplicado a sólidos linealmente elásticos.
A continuación se demuestra este teorema para el caso de una viga simple.
Supóngase un estado de cargas I, asociado a las cargas P1I , P2I , ..., PnI , para el cual se determina el
estado de solicitaciones internas y reacciones, y otro estado II asociado a otras cargas P1II , P2II , ..., PnII .
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Aplicando la ecuación de T.V. para el estado I y tomando como desplazamiento virtual el desplazamiento elástico provocado por las fuerzas del estado II se obtiene:
¸
Z
M I χII dx + QI γ II dx = 0
{z
}
|i=1 {z } |
Trabajo fuerzas externas Trabajo fuerzas Internas
n
X
·Z
PiI δiII −
(2)
Nótese que los desplazamientos δiII son causados por las cargas PjII pero se refieren al punto de
aplicación de las cargas PiI . Recı́procamente, se puede plantear:
m
X
·Z
PjII δjI
Z
II I
−
¸
Q γ dx = 0
II I
M χ dx +
(3)
j=1
Suponiendo proporcionalidad entre tensión y deformación:
¡ 1 ¢ I
¡ 1 ¢ I
χI = EI
M
γ I = AcG
Q
¡
¢
¡
¢
1
1
χII = EI
M II γ II = AcG
QII
Reemplazando estas expresiones en (2) y (3) y restando miembro a miembro se obtiene:
n
X
PiI δiII −
i=1
m
X
PjII δjI = 0
∴
Pn
I II
i=1 Pi δi
=
Pm
II I
j=1 Pj δj
(4)
j=1
El Teorema de Reciprocidad se sintetiza en la expresión (4) que expresa que el trabajo de las fuerzas
del estado I a través de los desplazamientos de sus puntos de aplicación en el estado II es igual al
trabajo de las fuerzas del estado II a través de los desplazamientos en el estado I.
Es importante destacar que el teorema de reciprocidad es sólo válido para sistemas lineales, mientras
que el principio de T.V. es aplicable a cualquier sistema de fuerzas en equilibrio.
Entre las aplicaciones del teorema de reciprocidad para sistemas linealmente elásticos se destacan dos:
i) Probar la simetrı́a de la matriz de Flexibilidad en el método de las Fuerzas, y de la matriz de
Rigidez en el método de los Desplazamientos.
ii) Trazado de lı́neas de influencia de reacciones y solicitaciones en sistemas hiperestáticos y de
deformaciones en sistemas isostáticos e hiperestáticos.
A manera de ejemplo, el valor numérico del giro (en unidades consistentes) en el extremo de una viga
simple causado por una carga unitaria (1 Kg) actuando en el centro de la misma es por reciprocidad
igual al desplazamiento transversal del centro de la viga causada por un momento unitario (1 Kg×m)
actuando en el extremo.
θA = δc
(5)
Como ejercicio, el lector puede calcular por separado θA y δc y comprobar la validez del teorema.
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Lı́neas de Influencia como aplicación del Teorema de Reciprocidad
En el curso de Estática se aplicó el principio de T.V. para determinar las lı́neas de influencia de sistemas
isostáticos. En esta sección se desarrolla un planteo similar aplicando el teorema de reciprocidad para:
a) Probar que la elástica causada por una fuerza unitaria es la lı́nea de influencia en una cierta
escala.
b) Determinar la escala y el signo.
3.1
Lı́nea de influencia del desplazamiento de un punto en una viga
En la viga de la figura interesa determinar la influencia i (x) del descenso del punto central C.
Se considera como estado I al correspondiente a la carga P colocada en x. El estado II corresponde a
una carga unitaria en el punto para el cual interesa determinar la lı́nea de influencia del desplazamiento.
Supóngase conocida a través de cualquier procedimiento de cálculo la elástica η (x) correspondiente al
estado II. Por el teorema de reciprocidad:
~1 · δc = P η (x)
Por definición de coeficiente de influencia:
δc = P · i (x)
sustituyendo se tiene:
η (x) = i (x)
3.2
(6)
Conclusión
La lı́nea de influencia del desplazamiento de un punto coincide con la elástica asociada a una carga
unitaria aplicada en dicho punto.
3
4
4.1
Lı́neas de influencia en sistemas hiperestáticos
Lı́nea de influencia del momento flector
A los efectos de ilustrar el desarrollo de la lı́nea de influencia del momento flector en un sistema hiperestático se considera la viga continua de tres tramos indicada en la figura en la cual se determinará la
lı́nea de influencia del momento flector en el centro del tramo de la izquierda. Para ello, se introduce
una articulación en la sección en la que se desea la lı́nea de influencia del momento.
θ
θ
θ
θ
η Para aplicar el teorema de reciprocidad se definen dos estados de carga, designados como I y II que
se indican en la figura. El estado I consiste en una carga unitaria aplicada en la sección x y el estado
II en dos momentos unitarios iguales y opuestos aplicados en la articulación introducida.
Por reciprocidad se tiene:
¢
¡
(7)
−P (x) · η (x) = −M̄c · θiI + θdI
Por otro lado, el giro relativo nulo de las barras que concurren a la articulación para la estructura
original se garantiza a través de la siguiente ecuación de compatibilidad de giros:
¢
¢ ¡
¡
(8)
Mc · θiII + θdII + θiI + θdI = 0
es decir:
¡ I
¢
θi + θdI
¢
Mc = − ¡ II
θi + θdII
(9)
donde Mc es el momento flector debido a la carga unitaria P (x) = 1 en la sección donde se introduce
la articulación. Utilizando (7), la ecuación (9) toma la siguiente forma:
Mc = −
P (x)
η (x)
¡ II
¢
M̄c θi + θdII
(10)
y como P (x) = 1 y M̄c = 1 se obtiene finalmente:
η (x)
¢
Mc = − ¡ II
θi + θdII
(11)
En conclusión, la lı́nea de influencia del momento flector Mc es igual a la elástica de la viga η (x)
producida por el momento
M̄c =¢1 aplicado a ambos lados de la articulación introducida en la sección
¡
de interés. El término θiII + θdII es un factor de escala.
Desde el punto de vista operativo sólo es necesario determinar la elástica η (x) del estado II, ya
que las deformaciones correspondientes al estado I se eliminan directamente al aplicar la ecuación de
compatibilidad (8).
4
5
Otras formas de obtener las Lı́neas de Influencia
La propia definición del coeficiente de influencia proporciona una forma simple de calcularlo. Recordando la expresión (1):
X (x) = P i (x)
se observa que para una carga P unitaria el coeficiente de influencia es igual al valor de la incógnita.
Por lo tanto, la colocación de una carga unitaria P=1 en una posición genérica x permite obtener el
valor de la incógnita por cualquier método ( trabajos virtuales, tres momentos, Castigliano, etc ).
El método de la elástica ( reciprocidad ) tiene gran importancia conceptual ya que permite anticipar
sin ningún cálculo y en forma aproximada donde debe actuar una carga para producir la máxima
influencia. Sin embargo, la utilización de programas computacionales de cálculo permite automatizar
el cálculo de las lı́neas de influencia. En el caso de un reticulado para el que resulta necesario trazar una
lı́nea de influencia para cada barra, se puede utilizar un programa para determinar el esfuerzo en todas
las barras para varias posiciones de la carga móvil y finalmente seleccionar la máxima solicitación en
cada barra. En el caso de una viga continua, el programa puede calcular el momento flector y el corte
en el centro de cada tramo y sobre los apoyos para varias posiciones de la carga, y luego determinar los
valores máximos de las solicitaciones en los puntos prefijados listándolos con los resultados finales. El
cálculo manual de las lı́neas de influencia requiere un trazado para cada incógnita de interés mientras
que un programa de cálculo puede proporcionar simultáneamente todas las incógnitas prefijadas.
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